anti_oles' Journal

решения.
Задача 1.
Разложение a(x-x₁)(x-x₂) имеет корни, а сам трёхчлен, если дискриминант его меньше 0, не имеет корней. Потому и невозможно.
Задача 2.

Дискриминанты
D_1 = 4(b^2 - a^2*c^2)>=0
D_2 = 4(a^2*c^2 - b^2)>=0
Следовательно, D_1 = D_2 = 0
b^2 = a^2*c^2

Для начала рассмотрим всякие вырожденные случаи.
1) a = 0
Тогда b = 0.
И уравнение 4-ой степени [(a²x²+2bx+c²)(bx²+2acx+b)=0] превращается в 0 = 0
2) b = 0
Тогда или c = 0, или a = 0. В обоих случаях аналогично получается 0 = 0
3) с = 0
Аналогично первому случаю b = 0, уравнение 0 = 0

Итак, далее, считаем, что все три переменные не равны 0.

Возможны 2 случая.
I. b = ac
Корень первого уравнения(кратности 2) равен -b/a^2 = -ac/a^2 = -c/a
Корень второго уравнения(кратности 2) равен -ac/b = -ac/ac = -1

Эти корни могут либо совпадать, либо не совпадать.
1) Они совпадают, -с/a = -1
Тогда ур-ние 4-ой степени имеет единственный корень = -1
И сумма из одного элемента равна произведению из него же.
Ответ: корень = -1
2) Они не совпадают, -с/a!=-1
Сумма корней = -с/a - 1
Произведение корней = c/a
Приравниваем и получаем с/a = -0.5
Откуда -c/a = 0.5
Ответ: корни = {0.5,-1}

II.b = -ac
Корень первого уравнения(кратности 2) равен -b/a^2 = ac/a^2 = c/a
Корень второго уравнения(кратности 2) равен -ac/b = ac/ac = 1

Эти корни могут либо совпадать, либо не совпадать.
1) Они совпадают, с/a = 1
Тогда ур-ние 4-ой степени имеет единственный корень = 1
И сумма из одного элемента равна произведению из него же.
Ответ: корень = 1
2) Они не совпадают, с/a!=1
Сумма корней = с/a + 1
Произведение корней = c/a
Приравниваем и получаем 1 = 0
Этот случай, следовательно, невозможен.

Задача 3.
Пусть Z = y*(x mod (n/y))
Докажем свойства Z:
1) 0 <= Z < n
Действительно, 0<= x mod (n/y) < n/y
Умножаем это неравенство на y и получаем
0<= Z < n, что и требовалось

2) y*x - Z делится на n
y*x - Z = y*(x - x mod (n/y))
a)x - x mod (n/y) делится на n/y
b)y делится на y
Следовательно, y*(x - x mod (n/y)) делится на y*(n/y) = n,
что и требовалось

Эти два свойства и означают, что Z = x*y mod n

Задача 4.
Условие задачи означает, что сумма чисел равна 94,
и если из каждого вычесть по 6, то получится 52
94 - 52 = 42 всего вычтено
42 / 6 = 7
Ответ: 7 чисел.

Задача 5.
a) 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 способов. Действительно, первого бегуна можно поместить 8-ю стособами, второго - 7-ю и т.д.
b) 9! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9 способов.
ибо одну пустую дорожку можно считать новым бегуном с номером 9, и задача полностью аналогична предыдущей.