Делини, Чжени's Friends
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Below are the most recent 25 friends' journal entries.

    [ << Previous 25 ]
    Thursday, July 2nd, 2020
    deevrod
    11:55p
    Как бы нам обустроить Америку
    Только ленивый уже не ругал того обстоятельства, что в США всего две партии, и любое отклонение от генеральной линии одной приводит в другую. Юзер [info]azrt доказывает исходя из этого что нужно голосовать за либертарианцев, поскольку среди них имеются люди, комбинирующие агенду двух основных партий (и тем самым ЛП США могла бы стать центром конденсации для тех, кто не разделяет линий обеих партий вполне). Мне наоборот кажется, что это очень хлипкое равновесие, типа болота в Конвенте, и потому нежизнеспособное. Ясно, что появление чего-то вроде 'третьей партии' скорее необходимо, но чего именно?

    В телеграм-чате юзера [info]r_l одни немолодой русский экспат в Калифорнии некоторое время назад постоянно давал ссылки на хронику текущих в США событий (с подчёркнуто демократических позиций). Осознав свою некоторую чрезмерность, он перестал туда постить, заведя свой собственный чат; но вместе с тем он поощрил интерес некоторых участников (живущих в Европе) к его постам, сказав: я думаю, что интерес к ситуации в США со стороны европейцев -- очень позитивное явление в целом. Это навело меня на банальную мысль.

    В России же на самом деле тоже две партии, хотя и не институционализированные и потому гораздо более рыхлые, партия 1937-го и партия 1956-го. Обе партии имеют свои пантеоны и свои календари памятных дат, где-то пересекающиеся, но больше расходящиеся. Вместе с тем, политический климат в России был бы гораздо более ядовитым, если бы он не проветривался живительной идеей русофобии, по большому счёту внепартийной. Русофобия сильно отличается от антиамериканского сентимента людей, которые пишут слово 'Америка' как 'AmeriKKKa': эти люди имеют на самом деле вполне американофильский взгляд, не распространяя понятия 'AmeriKKKa' скажем на борьбу за гражданские права (или 'вторую борьбу за гражданские права', как они называют текущее безумие). Русофоб отрицает ценность всей России как таковой вместе со всей её историей (добавляя к этому фундаменту какие-то обертона -- либеральные ли, коммунистические или даже националистические, как А. К. Толстой или Широпаев).

    Кажется, именно это то, чего недостаёт жителям США: понимания того, что вся история этого государства, начиная даже не с революционной войны, а с отцов-пилигримов -- идиотская мышиная возня, менее интересная, чем история любого квадратного дюйма бургундской почвы. Кажется, в том или ином виде эти идеи присутствуют во всех европейских странах (Antideutsch в Германии, изрядная литературная традиция, включающая Доде и Селина, во Франции). Русскому конечно проще признать полную мусорность своей истории (мягко говоря, не блещущей деятелями, соизмеримыми с отцами-основателями). Ну а что, французам вменять в ничтожество свою революцию (или хотя бы Наполеона) их величие не мешает. Во всяком случае, зато никому не придёт в голову хвалить граждан Объединённой Европы за интерес к рядящейся в ризы Гитлеров и Черчиллей батрахомиомахии; ну и может наконец-то вместо негров люди доброй воли полюбят мексиканцев.

    Current Music: Владимир Ланцберг - концерт в Казани, 1996
    Wednesday, July 1st, 2020
    deevrod
    7:31p
    Подражание Кричеверу
    Обёрнута в бумагу, в снег, в булгур,
    Как некая Италия при дуче,
    Вокруг смотрелась в каждом направлении
    Открытая хрущёвская вселенная.

    Над суммой лестниц, в кубе арматур,
    Где в коридоре лампочка не вкручена,
    Стоял я, инфицирован грядущим,
    Перед тобой, беременною будущим.

    Как компас возле полюса дурной
    Листов нахлёст враздробь вспылав: утих,
    И из-под крыши полетел воробушек

    Якобиевой вязкою волной
    Сквозь трёхпериодический эфир
    Из жидкокристаллических Черёмушек.
    Tuesday, June 30th, 2020
    grigori
    10:34p
    Вильям Гибсон, оказывается, большой ценитель группы кино, и они даже вместе с Рашидом Нугмановым написали сценарий фильма "ЦИТАДЕЛЬ СМЕРТИ", про ленинград будущего, казаков, и паука Бориса с ядерной боеголовкой. На роль главного антагониста, харизматичного телеведущего Доктора Друга (видимо, нечто среднее между Бастером Френдли, Кашпировским и Маргаритой Симоньян) планировался Девид Бирн.



    По команде князя казаки салютуют шашками пауку Борису, который взбирается на автодрезину. Казаки ликуют, а обитатели метро съеживаются от страха при виде движущегося по туннелю паука. Голос Друга за кадром объясняет, что мир и безопасность возможны только при реставрации феодального строя и почему не осталось иного выхода.


    Current Music: Со мною вот что - Таврия мокрый асфальт
    deevrod
    8:49p
    Квантовая теорема Бертини
    В тот четверг [info]kaledin сделал мне внушение, мол я слишком нахально пользуюсь болезненным процветанием комплексного анализа, не исчерпав бесхитростных пуританских граблей и веялок абстрактной алгебры. Думать через пучки занятие вправду довольно лёгкое, подобное сельскому труду; но в то же время (и это роднит абстрактную алгебру с алгебраической топологией) такими важными и привычными мелочами городской жизни, как гладкость, приходится пожертвовать.

    Пусть у нас опять C алгебраическая кривая, \alpha, \beta две голоморфные 1-формы на ней, и они задают отображение пучков T \to O + O с коядром E. Композиция стрелок T \to O + O \to K, где последняя стрелка задана как (\beta, -\alpha), равняется нулю, что устанавливает отображение E \to K, являющееся изоморфизмом в случае, когда формы \alpha и \beta не имеют общих нулей. Последовательность когомологий запишется как H^0(O+O) \to H^0(K) \to H^1(T) \to H^1(O+O) \to H^1(K); как мы обсуждали ниже, образ H^0(K)/H^0(O+O) = H^0(K)/<\alpha, \beta> будет касательным пространством к листу малого изопериодического слоения. В случае, когда C лежит на абелевой поверхности, а \alpha и \beta два голоморфных дифференциала на ней, этот связывающий гомоморфизм будет устроен следующим образом: рассмотрим голоморфную 1-форму как сечение голоморфного нормального расслоения при помощи формулы присоединения; тогда линейные комбинации форм \alpha и \beta будут ограничениями на кривую сдвигов на торе, и соответственно не будут менять комплексной структуры на кривой, а все остальные 1-формы будут задавать какую-то нетривиальную деформацию кривой.

    Если же дивизор Y общих нулей форм \alpha и \beta непуст, то пучок E не является обратимым. На кривой, однако, всякий пучок может быть отфакторизован по подпучку-небоскрёбу так, чтобы получился локально свободный пучок; в данном случае это будет некоторое линейное расслоение L. В таком случае H^1(E) = H^1(L), и по формуле Серра мы можем вычислить H^1(L) = H^0(L^* \o K)^*. С другой стороны, мы знаем, что морально это пространство должно быть пространством, двойственным пространству квадратичных дифференциалов, делящихся и на \alpha и на \beta, то есть дивизор нулей которых более Z_1+Z_2-Y (где Z_1 и Z_2 это канонические дивизоры нулей \alpha и \beta). Итак, по-видимому, L^* \o K = K^2(Y - Z_1 - Z_2), или же L = T(Z_1 + Z_2 - Y). Поскольку дивизор Z_1+Z_2 биканонический, имеем L = K(-Y). Это, если вглядеться, очевидно. Соответственно, пучок E получается как расширение O_Y \to E \to K(-Y). Заметим, что образ H^0(O+O) \to H^0(E) не пересекает подпространства H^0(O_Y): формы \alpha и \beta как раз имеют нули достаточных порядков, чтобы попадать в H^0(K(-Y)). Если опять же эти наши два класса приходят с абелевой поверхности, то их общие нули соответствуют клювообразным особенностям образа вложения. В этом случае сглаживаемость очевидна: кривая большого рода на абелевой поверхности высекается гиперплоскостью, а общее сечение гладко по теореме Бертини. В связи с этим утверждение о разводимости нулей дифференциалов можно было бы иронически назвать 'теоремой Бертини для квантовой абелевой поверхности'.

    Хотелось бы сказать, что раз H^0(O_Y) отображается в H^1(T) инъективно, то все нули можно разводить независимо -- достаточно взять вектор с ненулевой позицией только в данном нуле. Это, однако, неверно. Рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода три и две 1-формы на ней, имеющие два общих нуля. На гиперэллиптической кривой рода три, напомню, каноническим является всякий дивизор вида x + s(x) + y + s(y), где s -- гиперэллиптическая инволюция. Тогда h^0(O_Y) = 2, а пространство H^0(K(-Y)) исчерпывается нашими двумя формами, и ограничение связывающего гомоморфизма H^0(O_Y) \to H^1(T) высекает всё Зариски-касательное пространство к малому изопериодическому слоению. Однако из соображений размерности для проекции в изотропный грассманиан видно, что малое изопериодическое слоение для кривых рода три одномерно. Что нам нужно понять в данном случае, так это следующее: лист малого изопериодического слоения является пересечением двух листов большого изопериодического слоения; является ли оно в данном случае нетрансверсальным по всей своей длине (что означало бы, что нули развести нельзя вовсе), или же оно нетрансверсально только в одной точке (что означало бы, что нули разведутся, но сразу оба)?

    Заметим однако, что этот случай очень вырожден. Эйлерова характеристика \chi(E) равняется с одной стороны g-1, а с другой deg(Y) + h^0(K(-Y)) - h^1(K(-Y)). Отсюда видим, что h^0(K(-Y)) = g-1 + h^1(K(-Y)) - deg(Y). Ясно, что h^0(K(-Y)) < g: не существует точки, в которой бы обнулялись все голоморфные 1-формы. Следовательно, h^1(K(-Y)) \leq deg(Y); в нашем случае это равенство. Хотя шут их знает, может оно всегда равенство.

    Current Mood: hungry
    Saturday, June 27th, 2020
    deevrod
    12:35a
    Беда, коль пироги начнёт печи сапожник
    , а сапоги тачать пирожник -- не могу уже долгое время никак комментировать никакие свежие новости любого уровня, кроме как так. Наверное поэтому занимаюсь в основном тем, что пеку пироги изо всякого мусора. Прошлый раз был из шелковицы, найденной по дороге от дома до польского магазина, и совершенно никем не тронутой; сегодня получился из побочных продуктов приготовления лимонада (яблочного жмыха и лимонных очистков -- хорошо хоть отварную мяту постеснялся добавлять). Очень интересует вопрос приготовления теста на сметане; для шелковичного пирога это было продиктовано необходимостью (сметаны пара ложек оставалась, а молока не было; пришлось разводить водой -- ну и в итоге получилось нечто среднее между коржом и сдобой, только я немного пересолил), а сейчас уже одним интересом (взял масла как бутербродов на 5-6, сметаны 4 ст. ложки, стакан молока, 1 ч. ложку без горки разрыхлителя, и 4 или 5 с 1/2 стаканов муки; на начинку пошли три тёртых яблока сорта Опал и цедра с двух лимонов), и всё это пеклось 28 минут при 200 градусах. Что получилось, сказать пока не могу, ибо даже не достал ещё из духовки.

    Что касается предыдущего поста. Написать связывающий гомоморфизм будет непросто; но можно заметить, что деформация, сохраняющая голоморфность у форм \alpha и \beta разом, сохраняет её и у \alpha в частности; а потому должно быть возможно написать каноническое инъективное отображение H^0(K)/<\alpha, \beta> \to H^0(\O_Z)/const. Это делается довольно просто: по нашему предположению, \beta не обнуляется нигде в нулях \alpha, а потому можно написать отображение H^0(K) \to H^0(\O_Z), отправляющее 1-форму \gamma в вектор (\gamma(z_i)/\beta(z_i))_{i=0}^{2g-3}. Это отображение сразу обнуляет \alpha, а класс \beta он переводит в вектор (1, 1, 1, ... 1). Поскольку мы потом ещё факторизуемся по константам, то получится действительно отображение (легко понять, что инъективое) из H^0(K)/<\alpha, \beta> \to H^0(\O_Z)/const. Заметим, что образ будет подпространством размерности g-2 в 2g-3-мерном подпространстве. Это максимальная возможная размерность подпространства, изотропного относительно невырожденной симметричной билинейной формы. Поскольку на факторе пространства, получающемся из фактора координатного по вектору (1, 1, 1, ... 1), имеется естественное скалярное произведение, хочется предположить, что образ будет изотропен относительно этого скалярного произведения, а поскольку это образ не абы чего, а пространства голоморфных форм, хочется выводить это как-то из соотношений Ходжа-Римана. Но напрямую не получилось, ужасно всё жарко, нужно помыться, глаза болят от света. Может и не должно получаться так -- \beta-то отображается в вектор из одних единиц, а его скалярный квадрат равен 2g-2. Но после того, как мы его убили, с другой стороны, его квадрат стал как раз нулевой, потому что он сам стал нулевой; может оно ничему и не противоречит. Всё равно непонятно, зачем это нужно; ну будет малая изопериодическая деформация максимальным изотропным подмногообразием; и что?

    Current Mood: dirty
    Current Music: Электроники djs & dj ПельМэн – мон гуртын улисько
    Friday, June 26th, 2020
    deevrod
    1:53a
    Координаты относительных периодов для пары дифференциалов
    Пусть \alpha -- голоморфная 1-форма на кривой. Она определяет гомоморфизм пучков T \to \O, коядром которого является структурный пучок \O_Z нулевого локуса этой 1-формы. Точная последовательность когомологий читается:

    0 \to H^0(\O) \to H^0(\O_Z) \to H^1(T) \to H^1(\O) \to 0

    причём последняя стрелка, если её записать при помощи двойственности Серра как стрелку H^0(K^2)^* \to H^0(K)^*, будет просто отображением, двойственным к умножению на нашу 1-форму. Соответственно, ядро этого отображения -- касательное пространство к изопериодической деформации, сохраняющей её. Оно получается как фактор H^0(\O_Z) по константам. Это хорошо известная лемма в математической физике:

    Предложение. Пусть \alpha -- абелев дифференциал на римановой поверхности, и z_0, ... z_{2g-3} -- его нули. Тогда набор функций \int_{z_0}^{z_i}\alpha (т. н. 'относительные периоды') -- локальные координаты на листе изопериодического слоения.

    Пусть теперь \alpha, \beta -- две голоморфных 1-формы на кривой. Они определяют гомоморфизм пучков T \to \O + \O, коядром которого является некоторый пучок L. Если формы не имеют общих нулей, это линейное расслоение, изоморфное кокасательному. Вообще говоря его ранг подскакивает в общих нулях. Точная последовательность когомологий читается:

    0 \to H^0(\O) + H^0(\O) \to H^0(L) \to H^1(T) \to H^1(\O) + H^1(\O) \to H^1(L) \to 0.

    Вычисляя отсюда эйлерову характеристику, имеем h^0(L) = h^1(L) - 1 + g. Кажется, можно доказать следующее утверждение: H^1(L) канонически изоморфно пространству квадратичных дифференциалов, делящихся как на \alpha, так и на \beta (или может быть его двойственному). Соответственно, паразитические сечения у L возникают только тогда, когда формы \alpha и \beta зацеплены.

    Интересно понять, как устроен связывающий гомоморфизм H^0(L) \to H^1(T), особенно в случае, когда общих нулей нет и L = K. Этот гомоморфизм не получается, разумеется, из тензорных операций на расслоениях; как всегда это бывает со связывающим гомоморфизмом, он выражается через вычет или интегрирование (подобно как в вышеприведённой лемме для одного дифференциала). Но час уже поздний, сообразить не могу, да и режим я себе что-то опять сбил.

    Current Mood: sick
    Current Music: Мартиэль -- Сойти с чужого ума
    Monday, June 15th, 2020
    deevrod
    7:51p
    Тавтологическая 1-форма на пространстве модулей абелевых дифференциалов
    Пусть g > 1, обозначим за \Omega\T_g тотальное пространство расслоения Ходжа над пространством Тейхмюллера \T_g, и p -- проекция. Тогда можно определить на нём тавтологическую 1-форму \theta как \theta_{I, \omega}(v) = (dp_*(v))(\omega^2), пользуясь тем, что касательное пространство T_I\T_g канонически изоморфно H^0(K_I^2)^*. Эта форма нигде не обращается в нуль, поскольку у любого ненулевого абелева дифференциала квадрат не обнуляется хоть каким-то функционалом на пространстве квадратичных дифференциалов. Внешняя производная этой формы будет тем самым точной 2-формой. Однако она не может быть невырожденной, поскольку размерность dim \Omega\T_g = 4g-3 нечётна.

    Как вычислить эту внешнюю производную? Она имеет три компоненты: та, что определяется подстановкой двух вертикальных векторов, вертикального и горизонтального, и двух горизонтальных. В ограничении на слой, понятно, уже \theta тождественно зануляется, а тем самым и её внешняя производная, так что первая из этих компонент нулевая. Значение второй компоненты, легко видеть, выражается как d\theta(\alpha, v) = 2v(\alpha \o \theta). Как устроена горизонтальная компонента, я выписать в локальных координатах не смог. Э. Д., который навёл меня на мысль об этой форме, предположил, что интегральные кривые её ядра суть орбиты SL(2, R)-действия на пространстве модулей абелевых дифференциалов.

    Эта форма позволяет дать описание изопериодической деформации как симплектической редукции. Именно, ортогонал вертикального вектора \alpha, торчащего из точки (I, \omega) \in \Omega\T_g относительно 2-формы d\theta есть всё вертикальное подпространство плюс горизонтальные вектора, соответствующие функционалам, обнуляющимся на квадратичном дифференциале \alpha \o \omega. Пересечение ортогоналов ко всем вертикальным векторам (ортогонал вертикального подпространства), стало быть, есть линейная оболочка самого вертикального подпространства и горизонтального подпространства, состоящего из функционалов, обнуляющихся на всевозможных квадратичных дифференциалах вида \xi \o \omega, где \xi \in \Omega(I). Итак, если V_{I, \omega} = \Omega(I) -- вертикальное подпространство (в частности изотропное), то фактор V^\perp/V имеет смысл и канонически изоморфен касательному подпространству к листу изопериодического слоения, проходящему через точку (I, \omega). Если бы форма d\theta была невырождена, то этот фактор наследовал бы симплектическую форму. Это, конечно, не имеет места: изопериодическая деформация также нечётномерна, и имеет размерность 2g-3. Впрочем, это всё совершенно неважно, поскольку сама форма \theta ограничивается на листы изопериодического слоения нулём.

    Можно, конечно, дать аналогичную конструкцию для пары дифференциалов. Именно, рассмотрим расслоение 2-плоскостей Gr(2, \Omega\T_g) в расслоении Ходжа, и зададимся в нём какой-нибудь точкой (I, \varpi). Линейные комбинации произведений дифференциалов из этой плоскости \varpi составляют трёхмерное подпространство в квадратичных дифференциалах, которое аннулирует подпространство коразмерности три в касательном пространстве к Тейхмюллеру. Оттягивая его обратно в точку (I, \varpi) и повторяя эту операцию во всех точках, имеем распределение коранга три на пространстве модулей пар абелевых дифференциалов. Будем называть его тавтологическим распределением. Равно как для одного дифференциала, слои проекции на пространство Тейхмюллера и листы изопериодического слоения будут касаться этого распределения. Послойный грассманиан имеет размерность 5g-7, соответственно ранг распределения 5g-10. К сожалению, тензор Фробениуса в данном случае будет не внешней 2-формой, а внешней 2-формой с коэффициентами в расслоении ранга три, и поэтому сразу сделать заключение о наличии у него характеристического слоения, аналогичного тому, что нам с Э. Д. кажется слоением орбит SL(2, R)-действия, не представляется возможным. Из представленческих соображений кажется, что это распределение должно замыкаться за один шаг -- по крайней мере похожее, но однородное распределение на изотропном грассманиане Gris(2, V) с его родным распределением Hor_{\pi} = Hom(\pi, \pi^\perp/\pi) \subset Hom(\pi, V/\pi), кажется, замыкается за один шаг (и соответствующая ему нильпотентная алгебра есть кватернионный аналог алгебры Гейзенберга, абелева алгебра Ли размерности, делящейся на четыре, расширенная тремя симплектическими формами. Но полной уверенности нет. Для одного дифференциала получалась бы обычная алгебра Гейзенберга).

    Чтобы не заканчивать совсем уж вилами по воде, докажу линейно-алгебраическое утверждение, оправдывающее это моё сравнение.

    Утверждение. Отображение проекции Gr(2, \Omega\T_g) \to Gris(2, 2g) переводит горизонтальные подпространства (относительно тавтологического распределения, а не связности Гаусса-Манина) в горизонтальные.

    Доказательство. Про то, что на слоях проекции на Тейхмюллера проекция связностью Гаусса-Манина в когомологии является инъективной и горизонтальной, не стоит и заикаться. Значит, нам нужно показать, что лежащая в горизонтальных для связности Гаусса-Манина векторах часть тавтологического распределения переводится проекцией в горизонтальные касательные вектора к изотропному грассманиану.

    Но какие горизонтальные по Гауссу-Манину вектора лежат в тавтологическом распределении? Это подъёмы касательных векторов v \in T_I{\T_g} = H^0(K_I^2)^* таких, что v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0. Касательное пространство же к изотропному грассманиану в точке \pi -- это отображения из Hom(\pi, V/\pi) с нулевым следом, а из них горизонтальные -- те, что лежат в Hom(\pi, \pi^\perp/\pi). Но горизонтальный по Гауссу-Манину вектор v отображается проекцией в ограничение соответствующего ему оператора Кодаиры-Спенсера на плоскость \pi, и если v(\alpha \o \beta) = v(\alpha^2) = v(\beta^2) = 0, то этот оператор переводит вектора из \pi в операторы, ограничивающиеся на \pi тождественным нулём -- то есть спаривания относительно формы пересечения с векторами из \pi^\perp, что и требовалось. ■

    Маразм полный -- кажется, я это всё очень подробно уже прописал, и притом это очень окольными путями записанная тавтология. Типа, получается, что тавтологическое распределение это обратный образ однородного распределения на грассманиане. Возвращаясь к случаю одного дифференциала, выходит, что дифференциал тавтологической 1-формы должен быть обратным образом формы пересечения на когомологиях? Но это вроде как неправда.

    Current Mood: awake
    Current Music: АукцЫон -- 24-часовой концерт
    Thursday, June 11th, 2020
    deevrod
    3:29p
    Шифферовские вариации и тёплицевы операторы
    Капович доказал, что всякий класс первых когомологий на кривой можно представить мероморфной 1-формой с одним полюсом. Более того, кажется, этот полюс можно выбирать произвольно. Тем самым всякий класс когомологий на кривой с дыркой может быть представлен голоморфной формой. Пусть X -- кривая со связной границей, тогда отображение \Omega^1_{hol}(X) \to H^1(X, \C) сюръективно. Здесь \Omega^1_{hol}(X) обозначает голоморфные формы. Обозначим пространство их граничных значений B_X \subset \Omega^1(\partial X).

    Если мы заклеим границу диском по отображению f \in Diff(S^1), то комплексная структура на склейке устанавливается однозначно, см. ответ Ерёменко на mathoverflow. Формы из \Omega^1_{hol}(X), продолжающиеся внутрь диска по этой склейке, суть формы из B_X \subset \Omega^1(\partial X), лежащие в пересечении с пространством Харди (точнее, дифференциалы голомофрных функций на диске. Но это, с точностью до констант, и есть пространство Харди). Это пространство имеет размерность g, и отображением факторизации \Omega^1(X) \to H^1(X, \C) оно отображается в некоторое подпространство половинной размерности. Понятно, что если мы прокомпонируем отображение f с каким-то мёбиусовым преобразованием границы диска, комплексная структура на склейке не изменится. Тем самым, имеем отображение из 'малого универсального пространства Тейхмюллера' LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера, называемое вариацией Шиффера.

    Напомню конструкцию расслоения Ходжа(-Харди) над универсальным пространством Тейхмюллера. Рассмотрим гильбертово пространствo L = L^2(S^1) / const как тривиальное расслоение над Diff(S^1), и определим в нём непостоянное подрасслоение HH \subset L, слой которого над точкой f \in Diff(S^1) равен f^*(H^2), где H^2 \subset L^2 -- пространство Харди. Поскольку для f \in PSL(2, R) имеем f^*(H^2) = H^2, это подрасслоение оттягивается с подрасслоения, определённого над LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R). Оно и называется расслоением Ходжа-Харди.

    Из этой картинки легко видеть, как устроена композиция отображения вариации Шиффера и отображения периодов. В тривиальном расслоении L \to LUT выбирается постоянное подрасслоение B_S, и рассматривается его пересечение с нетривиальным подрасслоением HH. Пересечение оказывается непостоянным расслоением ранга g, и изоморфно обратному образу расслоения Ходжа при отображении вариации Шиффера. Соответственно, проецируя B_S в когомологии, получаем эту композицию. Поскольку универсальное отображение периодов LUT \to \Lambda(L) в гильбертов лагранжев грассманиан голоморфно, а операции пересечений алгебраичны, получаем, что эта композиция голоморфна. Коль скоро отображение периодов из обычного пространства Тейхмюллера голоморфно и инъективно, отображение вариации Шиффера само голоморфно.

    Поучительно рассмотреть, как выглядит связность Гаусса-Манина на расслоении Ходжа-Харди. Именно, пусть b \in C^\infty(S^1) какая-то функция, так что b д/дt есть векторное поле на окружности. Тогда результат применения связности Гаусса-Манина к вектору h \in HH, то есть функции на окружности, голоморфно продолжающейся внутрь диска, таков: мы дифференцируем эту функцию по векторному полю, а затем проецируем на пространство Харди, то есть стираем все гармоники с неположительными номерами. Это, очевидно, есть оператор Тёплица с параметром b, а если расписать все производные, не путая производную по dz с производной по дуге окружности, получится оператор \nabla^{GM}_{b д/дt}h = T_b(z dh/dz). В связи с этим, к примеру, интересно было бы изучить, какой имеет смысл кривизна оператора Тёплица (то есть выражение [T_f, T_g] - T_{f'g - fg'}, или его аналог для вышеописанного модифицированного оператора Тёплица). Поскольку универсальное пространство Тейхмюллера однородно, эта кривизна может оказаться проще кривизны связности Гаусса-Манина в расслоении Ходжа над пространством Тейхмюллера.

    Но вообще надо понимать, что я выпускаю аналитические детали, и у меня с одной стороны банаховы или даже гильбертовы многообразия, а с другой многообразия Фреше, и всё сказанное это не более чем метафора, очень нечистоплотная, если пытаться выдать её за математическое утверждение. Например, тот факт, что подпространство B_S пересекает непостоянное подрасслоение HH по подрасслоению нигде не подпрыгивающего ранга (что должно следовать из склеиваемости комплексных структур), довольно сомнителен.

    Это я всё придумал, пока летел из Нью-Йорка в Атланту, а на следующий же день немедленно был облучён, имея возможность наглядно понять, какая чудовищная вещь Солнце, и как монструозен живущий в нём блейковский Бог, иже gives his light and gives his heat away. Руки до сих пор красные и немного болят. Не знаю как на это реагировать; зато перед этим залез на гору с портретами генералов Конфедерации. Когда слез, обнаружил при основании флагшток с флагом этой самой Конфедерации, под которым было очень сильно накурено марихуаной. Много ручьёв, и все чудовищно грязные: даже если вытереться как там искупался, потом всё равно приходится стирать одежду. Зато в одном из них с меня чуть было не унесло течением трусы; он же был наигрязнейший.

    Current Music: Burt Totaro -- The Hilbert scheme of infinite affine space
    Thursday, May 28th, 2020
    deevrod
    9:50p
    В пятой главе Нормы бросается в глаза то, что из писем Мартину Алексеевичу мы узнаём о нём и его круге гораздо больше, чем об авторе. Из пятого письма Мартину Алексеевичу мы знаем, что его отец погиб на войне; сам он в молодом возрасте воевал, был контужен, а после сделал 'ряд важных изобретений', имевших военные приложения. Примечательно, что имена мужчин его круга имеют отношение к военному ремеслу: Мартин значит 'Марсов', Алексей -- 'защитник', сын Саша -- 'защитник мужчин', про его коллегу Виктора Георгиевича и говорить нечего. Николай, ставший с самого начала мишенью критики сочинителя, несколько выбивается из этого ряда ('победитель толпы').

    Алхимический символизм в фигуре автора-садовника (который в самом первом письме сразу пишет про двадцать два градуса, про розы да про яблоки) довольно очевиден. Его постоянное обращение к алхимическому огню, сбрасывающему окалину, иногда бывает довольно пугающим (например, когда он пишет про войну 'вы тоже были опалены этим адским огнём, который пожёг всю нашу Страну'). Однако связного алхимического сочинения в его письмах углядеть нельзя. Вместе с тем, он довольно часто прозрачно пишет об оккультных материях. В первом же письме он пишет со слов 'Любани' о неком конфликте Николая с Мартином Алексеевичем. Этой Любови он доверяет, в то время как Веру, выступающей заодно с Николаем, он недолюбливает. В этом садовник мыслит сообразно с ап. Павлом, пишущим о трёх гностических добродетелях 'но Любовь из них большее'. Однако с точки зрения христианской ортодоксии места, где он пишет про Веру, подчас весьма сомнительны:

    Сегодня я ещё с сараем разбирался, а после рукой махнул — мокро всё, рвань, тряпки разные. Их всех посжигать надо к чёрту, это Вера всё барахло копила вот и гниёт. Там и калоши, и ботинки старые-престарые и разные тряпки — гора целая. Лежит и преет. А сверху течёт — ясно, ведь провалился ещё больше. Но щас ведь их не позжигаешь — мокрые, тлеть будут и не сгорят, а была б моя воля я это ещё десять лет назад к чёртовой матери позжигал — только место занимает. И лыжи разные ломаные и санки ржавые и сундук, который они когда Виктор умер сюда перевезли — уйма всего не нужного. А я всегда говорил — ну чего хранить дрянь эту? Что от неё проку? А Вера, знаете какая — нет и всё, пригодятся, я перешью. А чего там перешивать — там всё иструшилось в прах, плесневеет, да гниёт. Ну, ничего, вот солнце припечёт, я это вынесу, просушу и пожгу к чёрту. А Вера пусть ругается, я ей давно говорил.

    Сарай представляет для сочинителя вопрос большой важности, он прозрачно намекает на две притчи Иисуса (про дом, построенный на песке, и город на горе).

    Единственно что хорошо — цемент завезли и я прямо два мешка взял сходу. Это дело нужное, Мартин Алексеевич, никогда не пропадёт, а фундамент в сарае всё-таки надо делать каменный. Это я спорить готов с кем угодно. Там ведь низина и каждую весну вода по щиколку, он и подгнил-то от этого. На сухом месте он бы ещё десять лет простоял, а там в низине спрел вон как. А новый деревянный ставить — всё одно что деньги на ветер — всё равно сгниёт также, и оглянуться не успеем. Так что хоть вы и про деревянный говорили, а я вам точно говорю — это пустое дело, Мартин Алексеевич. Вы человек городской, а я с этим давно дело имею и точно говорю — каменный фундамент поставим — нас с вами перестоит и внуков наших. А кирпич я достану, это не волнуйтесь. Его немного надо, тут стройка в Киселёвке — там договориться раз плюнуть. Они за тридцатку машину белого кирпича привезут. Так что вы не волнуйтесь на этот счёт — всё будет в норме, а каменщика я найду, тут работяг хватает.

    Упоминание каменщиков тут, конечно, не случайно. Но гораздо более примечательно в этом смысле другое место:

    А главное — чтоб сарай быстро разобрать и дело с концом. А плотников тут нанять можно и говорят не дорого, тут работы мало у них. Каждый мужик топором помахать может и возьмёт недорого. А строить тут немного, да и я помогу, ведь тоже в плотницком деле мастак — как никак потомственный плотник, хоть и работал всё время кладовщиком.

    Что же это получается? Этот безымянный плотник (жена которого впрочем не раз названа по имени -- Машей), адепт королевского искусства, принуждённый всю жизнь работать кладовщиком (можно предположить, на каком-то военном складе), пытается вразумить своего господина, дать ему понять, что эти Николай и Вера, носители редукционистского мышления Модерна ('Они же этого ничего не понимают, бестолковые, им лишь бы разделить'), способны лишь проедать достояние предков и неизбежно приведут его имение к катастрофе -- но господин не внемлет. После совершения некоего алхимического делания, оборвавшего зависимость от Веры, садовнику стало очевидно, что эти самочинные кшатрии в сущности не отличаются от своих выродившихся потомков. Если истинный брамин вынужден пресмыкаться перед ними, что же тогда ожидает грядущего Сына этого плотника от Марии? Эта мысль в своей кошмарной убогости сподвигла сочинителя на путь юродства, священное безумие, переходящее в говорение на языках и наконец сливающееся в вопль de profundis, не предназначенный для человеческих ушей, вопль перед лицом Истины, в которую сей адепт проваливается в её непрестанном самооскоплении.

    Current Mood: tired
    Current Music: Владимир Ланцберг. Концерт в Екатеринбурге, 2002
    Tuesday, May 26th, 2020
    deevrod
    1:35a
    К Шиповнику, распятому на кресте времени
    Шиповник красный, гордый, горький мой!
    Приди, чтобы я пел, ко мне домой:
    Кухулина, что бил прилив семь дней;
    Иль как Друид согбенный из лесов
    Охомутал пенькой унылых снов
    Могучего владыку королей;
    Иль просто грустный образ твой, как встарь,
    Как песню звёзд в степи поёт радар --
    Приди ко мне, глаза мои открой,
    Обволоки смешных страстей мирок,
    Чтоб мог и я столкнуться с красотой,
    Впотьмах бродящей вдоль своих дорог.

    Приди, приди -- но всё ж оставь меж нас
    Твоим благоуханьем полный паз!
    Чтобы сквозь путь слепого червяка,
    Храп мышки, спящей в чашечке цветка,
    Иль мусорных трудов стотонный звон,
    Вдруг задержась, мы увидать смогли
    Взгляд дураков потерянных времён
    Несчастной перекопанной земли.
    И, как язык незримых чертежей,
    Пускай твой дух и взоры сих мужей,
    Наполнив парус, нас вернут домой,
    Шиповник красный, гордый, горький мой.

    Current Mood: embarrassed
    Current Music: Олег Гапонов -- Сердце, пой
    Wednesday, May 20th, 2020
    deevrod
    1:41a
    Ода на харассмент
    1.
    Не видать уже зари в небесах поблёклых,
    И грохочут фонари, отразяся в стёклах.
    Добрый вечер, милый Мышь! при таком-то свете
    что ты делаешь сидишь в этом кабинете?
    А в тот раз я клал мальбек к вам что ль в морозилку?
    Сейчас я сбегаю к себе принесу бутылку.

    для чего я не забрит был о прошлом веке?
    что за пустота горит, словно в неком эхе?..
    а? чего? ну посмотри там наверху орехи

    Всмысли в сердце есть метиз вовсе чувств неложных?
    И к кому скурился всклизь тринадцатисложник?
    -- На Дону цветёт арбуз во Флориде персик --
    Есть ли вправду этот груз чувств приятства спектр сих??
    словно Эйлер я глядел в горлышко на бездны,
    для чего такой предел? разве мне любезно
    расставлять среди травы сеть намёков мерзких
    как на запад из Литвы генерал Бангерскис?

    мне пожалуйчто кранты от вискаря с токаем:,
    ,ДА ЭТО ты или не ты или кто такая??

    что ты что ты сделала пяьная калёная
    то акула белая то зима зелёная?? ::

    распростёр большой судья свой сладкий жгутик,
    и остаолсь бепонятным торжествп:
    государсвтво лоб серебряный как Путин
    посадило за решёточку его!

    2.
    Бог весть какой судьбой
    Меж Бруклином и Квинсом,
    Меж мною и тобой
    Прочерчена граница.

    За годом год и день
    Как буквы в телеграме
    Встаём из восьми стен,
    Идём бродить кругами

    И тёплый гирос есть
    В даунтаунах жизней наших --
    А близ границ их жесть
    Скрежещет к небу страшно!

    на картах не отмечены
    китайские склады
    консерв из человечины
    кладбищенские лбы
    ручей магнитной гущей
    дрожит над ним пловущей
    Дантист и Адвокат
    и ржавых рельс Испуг
    станков гринпойнтских стук
    и таллий в облаках !

    Работал и устал
    С Уолл-стрит летит крупье
    В свой довоенный дом
    В мерцании ночном.

    а я иду к тебе
    в светящийся квартал

    не устрашась агонии
    неловкостей и ран,
    как Кобрисов по коням,
    в висмутовый туман.

    3.
    Попомни, разум, и выспри ввысь
    Из сей премерзостной оторочки,
    Что твой рассудок от чёрных схизм
    Никола спас, как детей из бочки.
    Тебя покроет его жупан;
    Не зри акабов латинских стран,
    И не убойся внучат Агари:
    Из недр каланков везёт на шлюз
    К верхам атласским налипший груз
    Контрабандист, как той ночью -- в Бари.

    Ты ли тот то ли кот то ли конь то огонь
    отвращаешься как колесо от грязи???????
    ты уже через день или вроде того
    будешь вновь между строчек своих жалюзи
    через базы, склады, речпорты, гаражи
    наблюдать, как на волнах солёных дрожит
    наркотрафика крымский бильярд;
    и отнюдь не просохнет пучина страстей,
    но помилует чёрных забытых людей
    их святой Николя де ла Гард.

    4.
    Я бормотал сквозь магнит
    Заре в полночном окне,
    Суровой, как Ириней
    Из фермионной брони:

    'Как можно думать о ней,
    Когда блуждают огни,
    Как протопоп Хомейни
    На рукавах ильменей?'

    Клубок рогозов и розг
    Впился в неверящий мозг,
    Стучится рыба углами,

    Как шарф, затянутый в шнек, --
    И валит с запада снег
    На циферблат, словно пламя.

    5.
    Нельзя всю жизнь не спать,
    не вечно ж в небе свет.
    Закат надцати лет
    как и любой закат
    однажды прогорал
    в ночи своих кобыл
    куда был зван корабль,
    который так поплыл
    лежавши на песке --

    а я припоминал
    стекло в такой руке
    и в спешке приложил
    бессмысленный свой рот
    как Навин солнце чтоб --
    а уж метнулся флаг
    гудок бежит орёт
    и я желал всех благ
    и свет всходил как в гроб.

    6.
    Я валялся, врываясь в осенние дали,
    Воплощая на полке желание спать,
    И за окнами мимо огнями моргали
    То Курдюм, то Чулым, то Чардым, то Каргат.

    И мне виделись тени остовов гигантских,
    Застревая в снегах, как в прокисшей кутье,
    И вставали с роскошных полей итальянских
    Кондорсе, Лансере, Матрине и Нодье.

    Я проснулся, их строем опять успокоен,
    И, в окно поглядев, серым снегом ослеп:
    Там скелеты сгоревших давно колоколен
    Пробегали обратно опорами ЛЭП,

    И никто был не мил, не умён и не гибок,
    И одни провода лишь под ночью звенят! --
    Словно море, отхлынув, оставило рыбок,
    И они помирали на сухости дня.

    Но когда оно снова нагрянет во власти
    И матёрую землю разроет опять,
    Куда деться беднягам от этой напасти
    Кто уже навострился аером дышать?

    Поезд ехал, кренясь, по железной дороге
    В заповедных лесах, недоступных для нас,
    В городах догорали побитые боги,
    Свой пресложный рефлектор уставя на Марс,

    Глаз напрягши до немочи, Скиапарелли
    Сеть каналов своей роговицы чертил,
    А Сатурн и Титан как две свечки горели,
    Обнимая орбитой утраченный мир.

    7.
    привет что делаю я тут
    да я его сюда привёл
    хотя конечно по уму
    он должен был привесть меня

    да что ж тут можно не понять
    а я не понял, погоди,
    ты что такое говоришь,
    каких шесть лет тому назад?)
    пойдём, ещё налить тебе?
    как может быть, что только раз
    всю жизнь исследовал мой глаз
    стальных полётов лебедей

    не льётся золото икон
    из православия на киот:
    ткнул пьяный вектор из высот
    в того кто был таким как он

    лишь только простынь отогрев
    я рожей лопуха утрусь
    я с головой нырну в маглев

    а впрочем полежу ещё
    ну опоздаю так опоздаю
    нужно напиваться до такой степени, чтобы переставать различать Дмитрия Каледина и Дмитрия Петелина
    но уже не сегодня
    пошли по холоду к метро
    параллельные камни

    а что, собственно, снег может ответить
    а я про тебя ничего не понимаю,
    но это не конец света
    Monday, May 4th, 2020
    deevrod
    7:49p
    Garbage in, garbage out
    Про то, что Дежнёв прошёл Беринговым проливом за более чем полвека до Беринга, но сказка об его экспедиции затерялась в коленчатых потёмках допетровской волокиты, и царю-антихристу пришлось снаряжать новую экспедицию (собственно, Беринга), чтобы установить, смыкается ли Азия с Америкой, потому что когда его Лейбниц спросил об этом, он не нашёлся что ответить, довольно хорошо известно. Реальность, однако, очень возможно, гораздо смешнее.

    Есть любопытный текст иезуита Авриля. Вскоре после установления русско-французских дипломатических отношений он был отправлен в Москву с целью добиться разрешения иезуитам ездить в Китай сибирской дорогой. Ему этого разрешения не дали, поскольку Сибирь всё ещё плохо контролировалась и могла была легко быть захвачена иностранцами. Из таких же опасений ранее было запрещено хождение морским путём в Мангазею, притом не только иностранцам, но и россиянам. Авриль благоразумно отказался от попытки совершить это путешествие в неофициальном порядке: как ему объяснили, его в лучшем случае пропустили бы до Тобольска, а там он был бы в столь же неофициальном порядке убит.

    Википедия в статье об Авриле морочит голову, утверждая, что он якобы был в России дважды, притом первый раз в январе-феврале 1687 года, но получил отказ в своих домогательствах якобы из-за бесчестья, нанесённого послу Долгорукому в Париже (куда тот приедет только летом того же года). По утверждению Полевого, Авриль был в России в 1685 и 1686 году, прибыв из Персии через Астрахань, был несмотря на хлопоты кн. Голицына выслан в Польшу, откуда вернулся в Москву немного погодя, столь же неуспешно. Вне всякого сомнения, однако, что он был в России в 1688 году или позже: на обратном пути, будучи в Смоленске, он общался с воеводой Мусиным-Пушкиным (будущим графом), о котором я и хочу сказать. Вполне возможно, что Авриль действительно был в Астрахани -- его сведения содержат данные о дороге из Москвы в Китай через Астрахань, Бухару и далее по Великому Шёлковому пути, которой пользовались купцы-мусульмане -- однако с тем же успехом он мог получить эти сведения от татар в Москве.

    Впрочем, про Мусина-Пушкина.

    Открытие бегемотовой кости сделано было жителями острова, откуда вышли, по словам москвитян, первые колонии, населившие Америку. Вот что узнали мы о том от смоленского воеводы Мусина-Пушкина (Vaivode de Smolensko Mouchim-Pouchkim), одного из умнейших людей, каких только я видел, в совершенстве знающего все земли за Обью, ибо он долго был интендантом в канцелярии Сибирского Департамента (Intendant du le Chancellerie du departement de la Siberie).

    Спросивши нас в разговоре, какой мы с ним имели, каким образом, по мнению нашему, населилась Америка, когда мы сказали ему все, что обыкновенно о том думают, он отмечал нам, что по его мнению есть догадка, правдоподобнее нашей.

    "За Обью, — продолжал он — находится огромная река, называемая Кавойна (Kawoina), в которую впадает другая, именуемая Лена (Lena). В устье первой из них, впадающей в Ледовитое море, есть большой и весьма населенный остров, весьма замечательный ловлею бегемотов, животного водоземного (behemon, qui est un animal Amphibie), зубы коего весьма дорого ценятся. Островитяне часто приезжают к берегам моря за ловлею бегемотов, и так как ловля их требует много труда и времени, то обыкновенно привозят они с собой свои семейства. Часто случается, что захватывает их здесь вскрытие моря и бедняков уносит неизвестно куда, на огромных кусках льду, отделяющихся один от другого.

    Не сомневаюсь, что многие из охотников, таким образом захваченных, доплывают на льдинах к северному мысу Америки, весьма недалекому от этой части Азии, оканчивающейся Татарским морем. Меня убеждает в мнении моем то, что американцы, обитающие на выдавшейся далее других в море в сей стороне части Америки, одинакового вида с островитянами, которых ненасытная жадность прибытка подвергает погибели или опасному переезду в чужую сторону".

    К тому, что говорил нам воевода, можно прибавить еще и то, что на американском берегу находят многих животных, которые также водятся и в Московии, особенно бобров, которые могли перейти туда по льду. Такая догадка кажется мне тем основательнее, что в Польше видел я, как огромные куски льду целиком плывут от Варшавы и уплывают далеко в Балтийское море. Надобно бы, для удостоверения в деле столь важном, разведать об языках, коими говорят два упомянутые, похожие один на другой народы, живущие один в Азии, другой в Америке, ибо если бы открылось сходство в языке, то и сомнения в сходстве их более никакого не оставалось бы.

    Весьма много любопытного могли бы мы узнать от упомянутого смоленского воеводы, который, без сомнения, может быть назван одним из самых просвещенных москвитян, но мы боялись вопросами навлечь на себя подозрение. Заметив из ответов его, что он опасается причинить себе откровенностью какие-нибудь неприятности при дворе, где и без того его редкие достоинства навлекли ему много врагов, мы не смели докучать ему нашим любопытством.


    Отрывок этот, конечно, не внушает особого доверия -- Авриль смешивает тут моржовый клык и мамонтову кость, пишет о впадении Лены в Колыму -- но совсем уж буйного полёта фантазии в себе не заключает (в частности, предыдущую должность Мусина-Пушкина -- второй судья Сибирского приказа -- он указывает достаточно точно). Под 'американским берегом' из предпоследнего абзаца следует понимать, конечно, Квебек и Землю принца Руперта, где в XVII веке промышляли бобра в фантастических количествах; однако осведомлённость воеводы о внешнем виде американцев, живущих на 'выдавшейся далее других в море части Америки' (Алеутской гряде?) несколько удивительна. В любом случае, о том, что Азия оканчивается 'Татарским морем', а не смыкается с Америкой, он говорит вполне определённо.

    Нельзя сказать, чтобы это доказывало, что в России были известны результаты экспедиции именно Дежнёва -- в конце концов, он никаких алеутов не наблюдал -- но другие попытки пройти тем же путём будто бы были безрезультатны из-за льдов (а Дежнёву повезло только из-за того, что зима 1648 года была необыкновенно тёплой; это обстоятельство вызывает даже сомнение в том, что Дежнёв действительно открыл пролив, но мне кажется, его реабилитирует то, что его отчёт в якутских архивах отыскал Миллер, большой русофилией не отличавшийся). Важности экспедиции Беринга, которая, в отличие от дежнёвской, была научной, это не умаляет. И всё же незнание Петра I о существовании Берингова пролива выглядит в этом свете довольно удивительным.

    Объяснение, которое мне кажется разумным с учётом последнего абзаца цитаты, заключается в том, что открытие Дежнёва было засекречено из тех же соображений, из которых запретили ходить морем в Мангазею и не разрешили Аврилю проехать в Китай через Сибирь, причём до такой степени, что сами центральные власти о нём забыли. Легко представить себе, что Мусин-Пушкин поделился этим важным открытием с просвещённым человеком, понимая, что иначе оно сгинет без следа в атмосфере идиотской секретности. Про экспедицию Беринга, также приготовлявшуюся секретно уже после смерти Петра I, Мусина-Пушкина, давно занимавшегося другими делами, думается мне, не спрашивали.

    И всё же переоценивать свидетельство Авриля я бы не стал. Например, он пишет о неком большом населённом острове при устьи Колымы, несомненно баснословном. Это обстоятельство стало мишенью едкой критики Миллера в 'Описании морских путешествий...'; вместе с тем в своей гениальности он замечает, что если этот мифический остров изъять, то оставшиеся сведения Авриля и Мусина-Пушкина становятся весьма ценными. Совсем с натяжкой можно было бы считать, что кто-то из них перепутал Колыму и Анадырь, и тогда этот остров мог бы быть островом Св. Лаврентия (остров Врангеля плохо подходит на роль места, посредством которого может осуществляться коммуникация Азии с Америкой). В таком случае 'выдающаяся в море далее других часть Америки' может быть нынешним полуостровом Сьюарда, что перекликается с легендой о русском поселении Кынговей, традиционно размещаемом на этом полуострове. Но это совсем уж вилами по воде; а хотел я сказать не о том.

    Current Mood: amused
    deevrod
    1:42a
    Мнимая пятимерная SO(3)-геометрия
    Пятимерное представление SO(3) даёт интересный контрпример, а именно вещественную трёхмерную кубику, на которой транзитивно действует алгебраическими преобразованиями группа Ли (в частности, эта кубика гладка). Напомню, что это пятимерное представление есть подпредстваление в симметрическом квадрате тавтологического представления SO(3), перпендикулярное к тривиальному подпредставлению, натянутому на евклидову метрику -- иначе говоря, симметричные 3-на-3 матрицы с нулевым следом. На нём имеется кубическая функция f(A) = Tr(A^3). Почему SO(3) действует на ненулевых симметричных 3-на-3 матрицах с Tr(A) = 0, Tr(A^3) = 0 (с точностью до умножения на скаляр) транзитивно? Всякая вещественная симметричная матрица диагонализуема с вещественными собственными векторами, попарно перпендикулярными друг другу (находим один собственный вектор, и из соотношения (Av,w) = (v,Aw) вытекает, что матрица сохраняет ортогонал к собственному вектору и на нём также действует как симметричная матрица). Если собственные числа A равны a, b, c = -a-b, то Tr(A^3) = a^3 + b^3 - (a+b)^3 = -3ab(a+b) = 3abc. Таким образом, если Tr(A^3) = 0, то одно из собственных чисел A нулевое, а два других с точностью до умножения на скаляр это \pm 1. Конечно, любые две такие матрицы переводятся друг в друга действием ортогональной группы, потому как она действует транзитивно на ортонормальных реперах.

    Все те же самые формулы можно написать и для комплексификации; таким образом, SO(3) будет действовать на трёхмерной комплексной кубике. С другой стороны, группа автоморфизмов гладкой гиперповерхности в \CP^n, за вычетом гиперплоскости, квадрики и K3-поверхности, конечна; таким образом, эта кубика обязана быть особой. Группа SO(3, \C) действует на ней с открытой орбитой (что видно из модификации вышеприведённого рассуждения); оно ломается только в том месте, где мы ортонормируем собственный базис симметричной матрицы: над \C собственный вектор может оказаться изотропным. Заметим, что в таком случае характеристический многочлен этой матрицы имеет кратный корень: в противном случае из-за условия (Av,w) = (v,Aw), применённому к собственным векторам, следует, что они должны быть попарно перпендикулярны друг другу, и изотропность одного из них означает, что скалярное произведение имеет ядро. Следовательно, либо A^3 = 0, либо её собственные числа равняются a, a, -2a. Во втором случае собственное число -2a имеет собственный вектор; поскольку он ортогонален корневому подпространству, соответствующему корню a, он содержится в ортогонале к изотропному собственному вектору (но притом не равен ему). В базисе, где e_1 это изотропный собственный вектор, а e_2 собственный вектор с собственным числом -2a, матрица A примет следующий вид:

    a 0 b
    0 -2a 0
    0 0 a


    В случае нильпотентной матрицы, кажется, тоже вклеивается нечто двумерное, расслоённое над CP^1, проективизацией изотропного конуса. Было бы занятно, есло бы можно было определять пятимерную SO(3)-структуру в терминах некого мнимого данного, подобно как можно определять комплексную структуру как пару мнимых подпространств. Но понять это я уже не могу.
    Friday, May 1st, 2020
    deevrod
    12:34p
    О кривизнах Липшица-Киллинга некоторых четномерных тел
    Задачи выпуклой геометрии можно переводить на язык дифференциальных форм (но, вообще говоря, не обратно). Именно, телу K \subset R^n можно поставить в сответствие (1,1)-форму на многообразии GL(1,C)^n следующим образом. Рассмотрим на сопряжённом пространстве R_n функцию f(y) = \int_{x \in K} e^{y(x)}dx (преобразование Лежандра опорной функции тела K). Оттянем её на GL(1,C)^n вдоль естественной проекции z \mapsto \log |z|, и напишем dd^c от неё. Получившуюся форму обозначим \omega_K. Оказывается, что если K_1, ... K_n -- выпуклые тела в R^n, то их смешанный объём может быть выражен как интеграл \int \omega_{K_1} \wedge ... \wedge \omega_{K_n}. Более того, если брать утверждения выпуклой геометрии, переводить их таким образом на язык дифференциальных форм, а затем механически подменять GL(1,C)^n произвольным n-мерным кэлеровым многообразием, а формы \omega_{K} -- формами кривизн некоторых линейных расслоений, иногда будут получаться верные утверждения, притом чисто алгебраико-геометрические. Каноническим примером здесь служит неравенство Тессье-Хованского, получающееся из неравенства Александрова-Фенхеля на смешанные объёмы. На самом деле, других примеров я не знаю, если кому интересно, читайте Громова (pdf, 1,5 МБ).

    Смешанный объём это форма пересечения на вторых когомологиях; а на компактных гиперкэлеровых многообразиях, как известно, из неё извлекается корень, то есть существует квадратичная форма Бовиля-Богомолова q такая, что q(\alpha)^n = \int \alpha^{2n}, где 2n -- комплексная размерность (это называется соотношением Фуджики). Было бы смешно, если бы можно было её определять в выпуклой геометрии на каких-то классах тел. Тривиальный случай -- семейство тел, гомотетичных друг другу; или например случай n=1. Естественный кандидат это тела в R^4 вида X \x Y, где X, Y \subset R^2, но что-то форма у меня не пишется. Если мы задали квадратичную форму Q с условием Q(X)^n = Vol(X) на некотором классе тел, будем называть тела этого класса Q-гипервыпуклыми.

    Если единичный шар B является Q-гипервыпуклым, то можно сразу выразить геометрически значение Q(K, B) для любого Q-гипервыпуклого тела K и, более того, найти соотношение на кривизны Липшица-Киллинга его границы. Именно, по формуле трубки имеем Vol(K + \eps B) = Vol(K) + \eps Area(\partial K) + \eps^2/2 Mean(\partial K) + ... (если кто не верит, может посчитать для многогранника). С другой стороны, Vol(K + \eps B) = Q(K + \eps B)^n = (Q(K) + 2\eps Q(K, B) + \eps^2 Q(B))^n; раскрывая скобки и группируя степени параметра, получаем:

    Vol(K) = Q(K)^n
    Area(\partial K) = 2nQ(K)^{n-1}Q(K, B)
    Mean(\partial K) = 2nQ(K)^{n-1}Q(B) + 4n(n-1)Q(K)^{n-2}Q(K, B)^2

    Первое равенство мы уже предположили, а из второго имеем Q(K, B) = Vol(K)^{(1-n)/n}Area(\partial K)/{2n}. Подставляя это соотношение в выражение на интеграл средней кривизны, получаем некое условие на среднюю кривизну. Возможно, оно равносильно изопериметрическому неравенству; в таком случае мы бы доказали, что шар не принадлежит никакому нетривиальному семейству гипервыпуклых тел.

    Current Mood: hungry
    Current Music: Алла Пугачева ft. Snoop Dogg - Из Ниоткуда
    Wednesday, April 29th, 2020
    deevrod
    1:34a
    Штыки, чай, найдутся
    Обнаружил в своей достаточно бесталанной графомании странный цикл, придающий ей всё же некоторый интерес. Немецкая колония Сарепта-на-Волге была после обороны Царицына переименована в город Красноармейск (о чём там и написано), и при образовании в 1928 году Нижневолжского края сделана центром его Красноармейского района, точнее, Сталинградского округа сего края -- о наличии у уравнения x^3=1 корней с положительной мнимой частью большевики тогда ещё не знали. Через три года Сарепта была прирезана к Сталинграду, но, оказывается, Красноармейский район остался, пока в 1960 году не был по своему новому центру переименован в Светлоярский.

    Задумавшись об этом, понял, что в моём наоборот, очень хорошем вирше -- с рифмой, лучше которой я никогда в жизни не придумаю -- через запятую перечислены две колонии, которые обе были переименованы в Красноармейск. Тоже несознательно, конечно. Вообще-то обе эти колонии лютеранские, но если их присутствие в тексте, написанном от имени чернеца-иезуита, хотя бы понятно (персонаж, к которому обращается лирический герой, выбрасывался стопом из Саратова в начале трассы на Бальцер, идущей дальше на Волгоград), то наличие там же (Усть-)Золихи, также лютеранской, является ошибочным: сочинитель по всей видимости имел ввиду неподалёку лежащую католическую колонию Бэр, переименованную в Каменку, с сохранившимся очень красивым костёлом (есть фотография в википедии).

    К этим двум Красноармейскам примыкает ещё село Красноармейское, бывшая колония Брабандер, смешно сказать, Куккусского округа, где в малолетстве бывал отец математика Г. Я узнал об этом случайно, когда Г. рассказывал о жизни своего деда, по имени кажется Хаима-Маркуса. Он был поляк по нации, но имел место жительства в Берлине из-за межвоенного антисемитизма в Польше. Когда в Германии начались гонения на евреев ещё худшие, он также совершил не самый удачный выбор и эмигрировал в совок. В 1939 году таким образом он оказался гражданином воюющего государства, был интернирован и выслан в Якутию, где работал в одном из гулаговских золотодобывающих поселений, кажется на Алдане. Через два года он оказался напротив, гражданином союзника по антигитлеровской коалиции, и поселение, в котором они жили, было повёрстано в вольные, причём бывший гулаговский начальник при отъезде уступил Г.-деду свой дом. Но он там прожил недолго, и его перевели в зачищенную немецкую колонию -- как сказал мне Г., Барабанду. До этого его рассказа я слышал это слово, но только когда мой папа разговаривал с моим младшим братом, в значении 'очень далёкое место' -- и я думал, что это имя вымышленное, по созвучию с Бармалеем, барракудой, Голкондой и контрабандой. Однако я довольно быстро сообразил: когда я играл во freeciv (а я обычно играл за поволжских немцев), она мне всякий раз предлагала назвать новую колонию 'Брабандер'.

    Сейчас обнаружил, что в книге памяти Пермской области есть Фёдор Иванович Кенфт, родившийся в 1912 г. в селе Барабанда Саратовской области. Но он во всех списках Мемориала такой один, а родившихся в Брабандере 406 (причём это очевидно не все депортированные, там несколько тысяч населения было). Он в Перми жил; а ещё в Пермь оказывается выселяли сибирских немцев, но не на вечное поселение, а в формате 'трудармии', где они ещё хуже мёрли, чем в Казахстане. Но при этом в чём-то им повезло больше: немцам из села Побочино Омской области удалось при помощи буржуазной Германии после 1991 года завод построить и даже поместить фрактуру на свой герб, в то время как тезоименитая колония Бееренфельдского округа, от которой она отпочковалась, исчезла без следа. Вообще история с тем, как уже на последнем издыхании совка немецкое общество 'Возрождение' нашпиговали гебешными агентами и раздули в Саратове моральную панику против возвращения немцев и восстановления Немреспублики, очень поганая и позорная. Хотя какая российская история не такая.

    А Хаима-Маркуса Г. в 1945 году отпустили в Австралию, куда его дядя уехал ещё в 20-х годах, и до самой смерти на завтрак он ел одну только рыбу.

    Это я всё к тому, на самом деле, что прочитал роман 'Дети мои' модной нынче писательницы Гузели Яхиной, про поволжских немцев. Понятно, что после Зулейхи ей не с руки немного писать про Сибирь; но всё-таки когда читаешь, не покидает ощущение, что написано не про то -- хотя, с другой стороны, фэнтези про поволжских немцев в сеттинге 20-х -- 30-х годов, о чём ещё мечтать-то. Иногда встречается полная графомания, подчас срывающаяся в неподдельную лирику -- но желания бросить, захлопнуть и не читать больше она не вызывает. Но думаю едва ли человек с хорошим вкусом согласится с такой моей оценкой.

    Current Music: Лёня Фёдоров -- Католики
    Thursday, April 16th, 2020
    deevrod
    9:11p
    Бирациональные соответствия между твисторами четырёхмерных многообразий
    Профессор Ривин, герой незабвенного 2016-го года, проснулся от спячки и немедля наретвитил в свой закрытый твиттер каких-то bluecheck-ов в жанрах 'РРРРЯЯЯЯЯ подумайте ж вы об икономике...' и 'позднесоветская критика, обвиняющая миниатюры Жванецкого в русофобии и неуважении к людям труда' -- только вместо людей труда там были пациенты мичиганского ралли против самоизоляции, а вместо Жванецкого -- другие твиттерские bluecheck-и, замечающие, что эти пациенты имеют цель свести лично вас в могилу. Ну в принципе весь героизм 2016-го года был примерно такой, чего греха таить.

    А я пытался думать вот о чём. Самый простой способ увидеть, что ортогональные комплексные структуры на V = R^4 параметризуются CP^1, безо всяких кватернионов, таков: оператор комплексной структуры определяется своим (1,0)-подпросстранством V^{1,0} \subset V \o C. Оператор ортогонален тогда и только тогда, когда это подпространство изотропно относительно комплексно-линейного продолжения скалярного произведения на комплексификацию; стало быть, в проективизации оно представляет прямую, лежащую на гладкой квадрике. Они параметризуются двумя CP^1-ами, соответствующими двум ориентациям. Таким образом, твисторное расслоение S^4, которое может быть описано как многообразие пар (гиперплоскость в R^5, комплексная структура на ней), есть многообразие прямых, лежащий на гладкой квадрике в CP^4: такая пара определяет изотропную плоскость в комплексификации, и плоскость вкупе со своей комплексной сопряжённой порождают гиперплоскость, на вещественных точках которой возникает естественная ориентация.

    Тут я пытался понять, почему прямые на квадрике в CP^4 параметризуются CP^3 -- это уже чисто алгебраико-геометрический факт, верный даже над полем из одного элемента. По уму, конечно, надо построить какой-то квадратичный оператор типа вложения Плюккера, но чуть более хитрый; вместо этого я стал явно выписывать стереографическую проекцию, и конечно не преуспел. Ведь как устроено бирациональное соответствие между двумерной квадрикой и CP^2? Это стереографическая проекция: она сперва раздувает центр проекции, а потом сдувает прямые, проходящие через него. Куда при этом переходят два семейства образующих? Все прямые одного семейства, как известно, пересекают любую прямую другого, так что после сдутия они перейдут в две грозди прямых, проходящих через точки CP^2, в которые сдулись сдуваемые прямые (это, между прочим, называется биполярными координатами). При стереографической же проекции трёхмерной квадрики на ней раздувается точка, а сдувается ворох образующих конуса, который квадрика высекает на своём касательном пространстве. Получается коника в CP^3. А куда переходят прямые, лежащие на квадрике? Всякая прямая пересекает касательное пространство к гиперповерхности; если прямая лежала на квардике, то она и пересекает его по точке, лежащей на квадрике, то есть как раз на сдуваемом конусе. То есть прямые на квадрике проецируются в секущие коники -- но не во всякие, а лишь те, что не являются хордами, и не все, а лишь те, которые те проходят через центр проекции; в общем, такое мутное рассуждение можно доконать, но оно только запутает то, что должно быть просто. В рассуждении об этом я, снедаем двоякой жалостью и двояким же презрением к себе, а к тому же и просто голодом (который и был одной из причин этого презрения), уже ничего не мог сделать. Ну в самом деле, сколько можно жрать? Тем более если ты такой тупой, даже элементарных вещей сообразить не можешь. А с другой стороны жалко, что теперь всё лето придётся сидеть в бессмысленном городе, и жалко, что не получается заниматься даже такой идиотской математикой, притом что хочется-то заниматься интересной -- чтобы там были алгебраические числа, алгебраические кривые, спектральные кривые, эллиптические кривые, эллиптические операторы, операторы Дирака, операторные алгебры, алгебра Вейля, алгебра Вейля, алгебры Ли, математическая физика, димерная модель, случайные блуждания, аменабельные группы, фундаментальные группы -- только не группы Галуа! но куда там, до групп Галуа ещё не всякому позволено.

    Впрочем, алгебры Ли тут как раз по делу. Я писал как-то, сидя в кафе в Бухаресте, про то, как при помощи теории Ли доказывать следующий фольклорный факт: круглая трёхмерная сфера с U(2)-инвариантной КР-структурой, проколотая в одной точке, конформно эквивалентна трёхмерной группе Гейзенберга с лево-инвариантной КР-структурой. У него, по всей видимости, есть голоморфный аналог. Tвисторы CP^2 с метрикой Фубини-Штуди -- это некоторое расслоение на пространстве флагов Fl = U(3)/U(1) x U(1) x U(1). Пространство флагов, конечно, рационально; но в данном случае верно большее: этот бирациональный изоморфизм можно выбрать таким образом, чтобы он переводил горизонтальное распределение (перпендикулярное твисторному расслоению) в горизонтальное распределение. Тем самым, в частности, плоские кривые с крестовыми особенностями в CP^2 (поднимающиеся в пространство твисторов как гладкие горизонтальные кривые в силу тривиальных причин) отображаются в горизонтальные кривые в CP^3 и тем самым суперминимальные поверхности в S^4. Это доказывает знаменитую теорему Брайанта о том, что любая кривая может быть реализована минимальной поверхностью в S^4 (и показывает, что она на самом деле гораздо интереснее). Это рассуждение принадлежит Лоўсону; но в качестве бирационального соответствия между твисторами он выписывает какие-то невнятные формулы, которые должны очевидно возникать из теории представлений нильрадикалов каких-то нехитрых алгебр. Это пытался сделать Фрэн Буршталь из Баѳского университета, но что-то застрял (PDF, 108,3 кБ), если только оно не вышло под другим названием. Может, надо доделать.

    Current Mood: sick
    Saturday, April 11th, 2020
    deevrod
    8:51p
    Шестимерная геометрия и браки в коммуне пансексуалов
    Многие геометры, например Громов и Дональдсон, замечают важность в четырёхмерной геометрии 'гомоморфизма Тартальи' S_4 \to S_3, заданного действием группы симметрий тетраэдра на трёхэлементном множестве совершенных паросочетаний его вершин (и аналогичного гомоморфизма SO(4) \to SO(3)). Громов вообще утверждает, что геометрия есть не более чем исторический способ думать о комбинаторике индексов; если это о чём-то и говорит, то о том, насколько сложна комбинаторика.

    Если думать про совершенное паросочетание как про инволюцию без неподвижных точек, то, вспоминая, что конечное множество есть 'векторное/проективное пространство' (по мне скорее сфера) 'над полем из одного элемента', можно заключить, что совершенное паросочетание на полном графе есть комбинаторный аналог комплексной структуры на векторном пространстве. Соответственно, множество совершенных паросочетаний на K_{2n} -- это комбинаторный аналог однородного пространства SO(2n)/U(n). При n = 2 никакой более структуры на этом множестве нет, поскольку любые два паросочетания можно перевести подходящей перестановкой в любые два другие. Однако при n = 3 это уже неверно: два паросочетания могут иметь общее ребро, а могут не иметь. Это определяет на множестве паросочетаний шестиэлементного множества структуру графа. При n > 3 там будут и грани большей размерности (наверное, этот комплекс носит специальное название, но я не нашёл его даже для n = 3).

    Соответствующая геометрическая картинка довольно прозрачна: на факторе SO(6)/U(3) существует семейство рациональных кривых, каждая из которых состоит из комплексных структур, относительно которых инвариантно некое присущее этой кривой двумерное подпространство. Кривые, проходящие через данную точку, параметризуются CP^2, и вообще этот фактор всего биголоморфен CP^3. Это довольно стандартный факт, [info]grigori любезно указал мне ссылку на статью (PDF, 124,6 кБ) Апостолова, Гранчарова и Иванова, где бегло об этм пишется.

    Опишем подробнее граф совершенных паросочетаний на K_6, который мы обозначим за Match(K_6). Для этого выберем раз навсегда вершину v \in V(K_6), впредь вершины, обозначаемые другими буквами, считая отличными от v. Этот выбор разбивает Match(K_6) на пять подмножеств, занумерованных вершинами, с которыми можно сочетать v. Эти подмножества трёхэлементны, и между ними имеются все рёбра (поскольку принадлежащие к ним паросочетания имеют общее ребро, начинающееся в v). Обозначим треугольник паросочетаний, для которых v ~ x, за T_x. Если \xi \in T_x, и y \neq x, то из \xi есть ровно одно ребро в T_y -- а именно в вершину, соответствующую паросочетанию, спаривающему v ~ y, x ~ \xi(y), и что там ещё осталось (здесь я снова пользуюсь конвенцией, согласно которой паросочетание это инволюция). Таким образом, для любой пары вершин x и y имеется естественная биекция между T_x и T_y. Однако эти биекции не задают тривиализации: композиция двух таких биекций отличается от сквозной биекции на транспозицию.

    Чтобы сказать, какую именно, зафиксируем опять вершину u \neq v, и построенными выше биекциями T_x с T_u зафиксируем 'локальную тривиализацию' V(Match(K_6)) = V(K_5) \x T_u. Оказывается, прямая биекция между T_x и T_y в терминах этой тривиализации есть транспозиция, неподвижной точкой которой является паросочетание u ~ v, x ~ y, и что там ещё осталось. Это не особо сложно проверить, но запись этого словами громоздка, проще нарисовать картинку для какой-то одной четвёрки, а потом воспользоваться S_6-инвариантостью всей конструкции. Вместе с тем, это полностью описывает рёберную структуру графа паросочетаний: он может быть представлен как 'расслоение' на треугольники над K_5 'с неплоской связностью'. Заметим, что выбор другой вершины v приведёт к другому 'расслоению'.

    Для SO(6)/U(3) параллельная картинка -- это твисторное расслоение. Выберем единичный вектор v, и отправим комплексную структуру I в вектор Iv \in S^4 \subset v^\perp. Слой этого расслоения параметризует ортогональные комплексные структуры на четырёхмерном пространстве \span{v, Iv}^\perp, то есть является рациональной кривой. Получающееся расслоение CP^3 \to S^4 со слоем CP^1 есть то же самое, что сопоставление прямой в C^4 содержащей её кватернионной прямой при рассмотрении C^4 как H^2. Слова 'то же самое' в данном случае бессмысленны, поскольку явного сопоставления кватернионной проективной прямой и единичной сферы в ортогонале к абы какому вектору я не привёл, но это можно сделать, просто мне лень. В этом расслоении имеется связность Эресманна, кривизна которой имеет коэффициенты в поворотах круглой сферы. У такого поворота имеется неподвижная точка; таким образом, пара касательных векторов к S^4 определяет конкретную точку слоя над ней (точнее, пару точек, отличающихся знаком). В этом выбор точки в S^4 параллелен выбору u в предыдущем абзаце, выбор касательных векторов -- выбору x и y. Соответственно, эта неподвижная относительно значения кривизны на этой паре векторов комплексная структура есть та, которая переводит v в u, сохраняет плоскость, натянутую на x и y, и определяющаяся этим одним из двух возможных способов, соответствующих двум ориентациям на этой плоскости.

    Геометрия твисторов четырёхмерной сферы не то что бы очень сложна, но нетривиальна и далека от завершения -- недавно Форстнерич положил статью про суперминимальные поверхности на архив например (суперминимальная поверхность в S^4 -- это такая, которая в твисторное расслоение поднимается всюду перпендикулярно слоям). Так что всё сказанное служит иллюстрацией к тому, до чего сложна комплексная стереометрия: если комбинаторика индексов у ней есть дискретизация небанального геометрического сюжета, то какова же геометрия?

    Current Mood: anxious
    Current Music: Дом Престарелых Аутистов -- Жуть
    Tuesday, April 7th, 2020
    deevrod
    12:13a
    На смерть кн. Мещерского
    Люди, которые любят резонёрски заламывать руки по поводу 'Бесов' (и в особенности их исторической основы), по непонятным причинам игнорируют абсолютно идентичных, только ещё более гадких в силу подментованности, деятелей противоположного толка, типа Манасевича-Мануйлова. Гипотеза 'потому что Говорухин про них ничего не писал', кажется, несостоятельна -- Просвирнин, осведомлённый о существовании кн. Мещерского, ставит в своих письмах Холмогорову его выше Достоевского, то есть омерзения не испытывает и отрекаться не намерен (впрочем, возможно это квантовый эффект, проявляющийся только на масштабах интеллекта этих корреспондентов).

    Между тем, в русской классической литературе эти деятели были убийственно, без излишнего многословия припечатаны -- Лесковым, в главах 'Соборян' про Термосесова и Борноволокова, причём ещё в конце 1860-х. В принципе, Лесков до конца дней не жалел красок для всего охранительного спектра -- и, в отличие от 'Бесов', которые вызывают оторопь только у людей безнадёжно застрявших в XIX веке (и видящих главную угрозу своему путиноидному благополучию в таких же замшелых реконструкторах типа жертв Пензенского дела), его 'Отборное зерно' во многом актуально и нынче.

    'Мы ленивы и нелюбопытны' -- это формула, значение которой в буквальном смысле невозможно переоценить; это некая константа русского пространства-времени, рождающая его во всей полноте из себя, как матка рожает попарно перпендикулярные вектора в гильбертовом пространстве -- себя собою составляя, собою из себя сияя и проч. Кто уличает другого в лености и нелюбопытстве, сам ленив и нелюбопытен; описать это нельзя, можно только забыть -- но само забвение будет при этом актом того же самого. Овраг нельзя перепрыгнуть, поэтому приходится перебираться через него маленькими шажками; мост, который построил Аяцков, ведёт к нему на дачу -- в то время как ров, идущий вкруг Инженерного замка, полон ледяной кладбищенской воды, и мост через него, стыдящийся своего молчаливого предательства, в тупом отчаянии поднят, уповая, что вечность может искупить один миг, ей предшествовавший. Ахилла содрогается в ознобе, а комиссар Данилка вместе с Михаилом Комиссаровым диктуют в Дирборне какую-то лапшу в разверстые уши Генри Форда, уже давно впав в безразличие к тому, на чью именно разведку они работают.

    Особенно конечно поражает воображение, что кн. Мещерский был внуком Карамзина.

    Current Mood: cold
    Current Music: FACE -- Салам
    Monday, April 6th, 2020
    deevrod
    12:53a
    Про то, как Николай I незадолго до Крымской войны написал Наполеону III 'ami' вместо 'frère', учат в школе, но как-то особо при этом не акцентируют внимания на том, что Бонапарты как благородный дом известны с XIII-XIV веков, в отличие от Романовых, про которых немифологические сведения до середины XV века на самом деле отсутствуют. Это, впрочем, не особо важно -- Наполеон III был сам по себе комическим персонажем, к тому же юридически отрешённым от наследования престола, да и Николай I реально был из готторпской династии.

    Некоторым сходством обладает, оказывается, история Семёна Порошина, учителя математики у будущего Павла I. Он был уволен от этой должности и отослан от двора под предлогом оскорбления, нанесённого графине Шереметевой (состоявшего в том, что он к ней посватался), через три года после чего помер 28 лет от роду. Так вот: Порошины -- прямые потомки князей Дорогобужских, правда, правивших в каком-то странном Дорогобуже -- не смоленском, а тверском, ныне не существующем. Но в любом случае Рюриковичи (в отличие от Шереметевых, идущих от того же баснословного Андрея Кобылы).

    ---

    Придумал картинку, проясняющую некоторые явления для приводимых многообразий. Пусть имеется сглаживание приводимой поверхности, представляющей склейку двух гладких поверхностей X_0', X_0'' вдоль гладкой кривой C, тотальное пространство \XX которого гладко. Задача: доказать, нормальные расслоения N_{C / X_0'} и N_{C / X_0''} взаимно обратны. Представим на мгновение, что для компоненты скажем X_0' выполнена теорема о трубчатой окрестности. Если бы она сама была слоем расслоения, то соседние слои были бы графиками голоморфных сечений нормального расслоения; в данном же случае соседние слои (собственно, сглаживания) будут графиками мероморфных сечений нормального расслоения N_{X_0' / \XX} с полюсом вдоль кривой C (притом из того, что сглаживание -- это расслоение, а не произвольный пучок поверхностей, следует, что полярное множество этого сечения не пересекает его нулевого уровня). Но это всё равно что сказать, что C есть нулевой уровень локального голоморфного сечения конормального расслоения N^*_{X_0' / \XX}, а по формуле присоединения это значит, что N^*_{X_0' / \XX}|_C = N_{C / X_0'}. С другой стороны, в силу трансверсальности X_0' и X_0'' нормальное расслоение N_{C / X_0''} изоморфно ограничению N_{X_0' / \XX} на C, откуда следует требуемое.

    Отсюда, к примеру, становится ясно, почему невырожденная 1-форма на кривой в окрестности простой особенности есть пара 1-форм на ветвях, одна из которых имеет в особенности нуль, а другая полюс того же порядка, и тому подобные вещи, которые обычно можно только запомнить.
    Friday, April 3rd, 2020
    deevrod
    12:10p
    Асе Г.
    То башка заболит, то плечо, то матрас уже будто продавлен,
    то гляжу в запустевший цветущий проезд из последних окон
    и не знаю, как ты там теперь оживляешь собою Род-Айленд,
    вдоль по глючной системе зеркал отправляя послание в Бонн.

    Да чего там: я знаю одни логарифмы грошовых трагедий,
    и мне бестолку вам докучать, любопытствовать -- мол, расскажи
    как киты под Нантакетом спят, по Кейп-Коду гуляют медведи,
    как твои голоса раздаются из этой рыбацкой глуши.

    А весной не линяет лишь солнечный зайчик: от азбучных истин
    я в берлоге нью-йоркской своей охмелел, охуел и оглох.
    И пускай я не смог удержать от себя нужный social distance,
    но наверно всеблаг массачусетский четырёхбуквенный бог,

    раз хоть кто-то из нас был прикольней тупых артефактов рефракций --
    на вантоз, на колхоз, на погост, на восток хоть на милю одну.
    Эх, тебе если вдруг надоест избегать конуры конурбаций,
    возвращайся всегда возвращясь сюда возвращайся к вину.
    Thursday, April 2nd, 2020
    deevrod
    1:04a
    Универсальное пространство Тейхмюллера
    http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=92

    Кэлерова геометрия универсального пространства Тейхмюллера и коприсоединенных орбит группы Вирасоро

    А. Г. Сергеев

    Это я в связи с предыдущим постом. Идея такая: если взять два единичных диска и склеить их по диффеоморфизму окружности, получится CP^1, и образ граничной окружности будет контуром, определённым с точностью до проективного преобразования. Два таких контура будут эквивалентны, если и только если соответствующие диффеоморфизмы отличались на граничные значения мёбиусова преобразования диска; таким образом, пространство таких контуров как многообразие Фреше есть однородное пространство Diff(S^1) / PSL(2, R). Оказывается (это теорема Альфорса-Берса), условие на диффеоморфизм можно ослабить до дифференцируемости в смысле Соболева; фактор группы таких квазиконформных гомеоморфизмов по группе мёбиусовых преобразований есть универсальное пространство Тейхмюллера, в том смысле, что в него вложены все пространства Тейхмюллера поверхностей всевозможных родов.

    Фактор пространства функций на окружности по константам (в данном случае соболевских), как я и писал, допускает невырожденную симплектическую форму \omega(u,v) = \int_{S^1}udv, и, как утверждает Сергеев (со ссылкой на Нага и Суливана), отображая диффеоморфизм f \in Diff(S^1) в подпространство H_f, в которое он переводит пространство граничных значений голоморфных функций на единичном диске, имеем отображение Diff(S^1) / PSL(2, R) в гильбертов лагранжев грассманиан.

    Что он не упоминает -- это того, что это отображение можно мыслить как отображение периодов. Об этом, однако, уже в названии своей статьи говорят Нам и Сулливан; но к сожалению их текст пересыпан жаргоном (вроде 'квантовые комплексные структуры на окружности'), который, кажется, сейчас устарел. Они пытаются дать в этом контексте решение задачи Шоттки, замечая, что всякое подпространство, реализуемое таким образом, содержит плотное подпространство, замкнутое относительно умножения (и полагая, что это достаточное условие). Вместе с тем они, кажется, ничего не говорят о том, как это универсальное отображение Торелли связано с отображениями Торелли для обычных пространств Тейхмюллера. Мне кажется, связь на это могло бы пролить рассмотрение этого образования не как отображения в лагранжев грассманиан, а как вариацию структур Ходжа (например, попытаться понять смысл отображения Кодаиры-Спенсера).

    А вообще конечно мне кажется, что можно поступать ровно наоборот. В самом деле, всякая риманова поверхность рода g с одной дыркой определяет отображение фактора Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера Teich(g), полностью аналогичное описанному в первом абзаце -- заклеиванием по диффеоморфизму. И в самом деле, Нам и Суливан в конце упоминают некое 'отображение Кричевера', которое по римановой поверхности с одним проколом и ростком координаты в этом проколе, а также тривиализованному в этой координате линейному расслоению над поверхностью строит подпространство в L^2 от единичной окружности, получающееся как граничные значения мероморфных сечений этого расслоения, имеющих полюс только в проколе. Для канонического расслоения, говорят Нам и Суливан, и некого специального выбора 'данных Кричевера', они могут восстановить это подпространство по своему лагранжеву подпространству. В общем-то неудивительно, но связь этого со всем остальным остаётся туманной.

    Current Mood: sick
    Monday, March 23rd, 2020
    deevrod
    7:34p
    Что за тучи крадутся,
    И зачем добрались мы
    В опустевшие призмы,
    Не заметив свой Лютцен?

    Но в упрямстве капризном
    Дурака-себялюбца
    Вновь в холодные блюдца
    Я склоню свои линзы,

    Чтобы зёрна граната
    Исчислять всем бессмертным
    Городком безуездным,

    И гулять по канату,
    Протяжённом над бездной
    Между Омском и Дерптом.

    Current Mood: cold
    Current Music: letaon -- может быть, однажды
    Tuesday, March 17th, 2020
    deevrod
    7:20p
    Теорема типа Богомолова-Каповича для комплексных функций на окружности
    [info]oort спрашивает: если есть риманова поверхность с краем, состоящим из одной окружности, как выглядит пространство функций на крае, получающееся как ограничения голоморфных функций на поверхности? Например, для единичного диска это пространство Харди, то есть функции, имеющие в ряду Фурье ненулевые коэффициенты только при неотрицательных гармониках. Мы выяснили, что если на факторе пространства всех функций по константам ввести симплектическую форму \omega(u,v) = \int udv (легко видеть, что она корректно определена), то такое подпространство будет лагранжевым. Именно, пара голоморфных функций есть голоморфное вложение в \C^2, и ограничение голоморфной формы площади на образ тождественно нулевое. С другой стороны, его интеграл вычисляется по формуле Стокса ровно как вышеуказанный интеграл.

    Занятно, что такая пара функций на границе уже определяет риманову поверхность однозначно: если есть две таких поверхности, то локально они представляют графики голоморфных функций, совпадающих на границе. Стало быть, по принципу единственности они совпадают локально, и из компактности римановой поверхности следует, что это одна и та же поверхность. Было бы интересно, если бы к примеру её род можно было бы определить аналитически в терминах этой пары функций (через связанные с ними операторы Тёплица -- если можно как-то определить паллиатив операторов Тёплица, не выбирая какого-либо подпространства, чтобы на него проектироваться). Есть какая-то похожая вещественная наука имени Арнольда, где по одной функции на сфере выясняется, каковы должны быть числа Бетти заполняющего его тела -- точно уже не помню.

    Ну и вообще совершенно неясно, какие пары функций заполняются хоть чем-то, а какие нет. Казалось бы, большинство не должны заполняться ничем даже при условии лагранжевости.

    Вообще геометрия пространства узлов в \C^2 небанальна: касательное пространство к узлу есть пространство сечений нормального расслоения, которое есть расслоение вещественно трёхмерных подпространств с ко-КР-структурой (то есть выделенным вещественным линейным расслоением и комплексной структурой на факторе по нему). Имеющееся на нём слоение (локальные листы которого -- пространства узлов, лежащих на голоморфной ленте, восстановленной через данный узел) имеет то свойство, что касательные вектора к нему суть сечения, лежащие в этом выделенном линейном подрасслоении. Если что-то можно сказать про это пространство, интересно, какая часть этого переносится на пространство узлов в K3-поверхности (когда никаких координат нет, а голоморфная форма площади есть). Впрочем это наверняка изучено вдоль и поперёк в теории струн.

    Current Mood: hungry
    Current Music: Death in June -- Last Europa Kiss
    deevrod
    12:23p
    Солт-Лейк-Сити
    Я упал как гроздь с ореха,
    Как Вавила Молодой,
    Как картонка, как каретка,
    Как горчичная Сарепта
    Перед красною ордой.

    Что такое эта память?
    Отчего она звенит
    И сочится, словно камедь,
    Если надо было падать
    Как пророк Иосиф Смит?

    Кто такие атаноры,
    Юрим-таммим!? разве так
    Восходил на эту гору
    Губернатор Бригам Янг?

    Сверзнись, Божия корона!
    Провались в такой тар-тар,
    Где со снежного Сиона
    Льются воды Ахерона,
    И впадают в Светлояр.
    Monday, March 9th, 2020
    deevrod
    1:59a
    Над туманом плывёт башенный звон
    Анонимный вуйнер хочет от меня, чтобы я писал про математику, а не про мысли за ковырянием в зубах. 'Да какая уж тут математика', -- написал бы я ещё неделю назад -- но всё меняется самым непредсказуемым образом. Юзер [info]mazurka (я был уверен, что это был [info]azrt, но он отнекивается) в одной из ярославских школ сочинил пронзительно лирический и очень толстый вброс на форум типа dxdy, в котором поэтически высказывалась связь между высокими достижениями человеческого разума и 'разнообразными недомоганиями', а в связи с этим спрашивалось, 'сколько раз блевал В. И. Арнольд'. Этот вопрос тут был бы как нельзя кстати.

    Если бы я был Чернышевским, то Годунов-Чердынцев будущего заметил бы некоторую несообразность в том, что я сюда пишу -- один из недавних постов под соответствующим тегом был бы куда уместнее лет пять с половиной тому назад (когда напротив, ничего подобного я не писал, по крайней мере в такой форме). Конечно, он бы (будь он по правде Годунов-Чердынцев, а не проекция моих нехитрых комплексов) тут же заметил, что оно взялось не из ниоткуда, и отследил бы ещё парочку указаний, которые привели к этому казусу -- но какая разница; в конце концов это веяние, поначалу даже забавное, выродилось в неуместный и очень неудобный рудимент, мешающийся при всякой осмысленной деятельности. К тому же оно отягощалось недавно прочитанным Майринком (бог с ним, что я родился на рождество Иоанна Предтечи, а фамилией отличаюсь от главного героя только на один символ -- у него там ещё 'кузен Джон Роджер' имеется). Но закончилось оно ещё внезапнее, чем началось: в рамках то ли нигредо, то ли либидо я смешал вино с какой-то бразильской тростниковой гамырой, и получил нечто гораздо более убойное чем всё, что мне до того доводилось видать. Я заблевал всю линию L и половину себя, не приходя в сознание дошёл от метро до дома, и проснулся в удивительно чистом состоянии рассудка (что впрочем объясняется не столько алхимией, а тем, что Теодор Гертнер -- упрежу инсинуации анонимного вуйнера, в моём случае он случился женского пола -- дал мне таблетку до того, как я уснул). Там же в метро я потерял своё копьё Хоэла Дата -- но наутро стало ясно, что не столько потерял, сколько принёс в жертву: обстоятельства его появления у меня были бы крайне неправдоподобны (Годунов-Чердынцев явно счёл бы эти обстоятельства порождениями невежественных россказней), и обрекали меня на лестное, но довольно бестолковое положение. Проснувшись-таки в пять утра, я погляделся в зеркало (под ним тоже было наблёвано -- интересно, когда успел и зачем). В самом же зеркале виднелось что-то ангельски красивое, с тем самым тёмным пятнышком, из которого, по словам Кончеева, в будущем прорастает глаз (третий) -- впрочем, оно тоже оказалось корпускулой блевоты. А жаль, был бы глаз в середине левой щеки (как у всех нормальных ангелов).

    Было это в ночь на среду; я по средам ничего не ем, и в этот раз тем более не мог отступиться от этого правила. Было сравнительно просто, но эффект это возымело: в четверг вечером стал читать опус про схлопывания, и он пошёл совсем-совсем легко, как самогон (о чём я уже писал -- неужели анонимному вуйнеру не хватило этого, чтобы удостовериться, что я не только лишь ковыряюсь в зубах?). Казалось, даже во дни, полностью посвящённые безделью, я узнавал что-то новое (в то время как последние полгода только забывал даже в те дни, когда тщался учиться). В четверг я в Коламбию не поехал -- надо было зуб делать (сфотографировали и перенесли ещё на две недели вперёд), а пятницу поехал, и случилось совсем уж нечто невообразимое. В Коламбии очень маленькие туалеты; я первым делом зашёл туда, и почти сразу за мной профессор Гр. (не наш, соседский). Ещё немного погодя, из собственно кабинки туалета вышел профессор Кр. (тоже соседский, но в некотором смысле и наш). А я за месяц где-то до этого спрашивал с разницей в неделю обоих по моей диссертации; Гр. ответил, что ответ на мой вопрос неизвестен и скорее всего очень сложен, а Кр. сказал, что это довольно хорошо известно, и написано в одной из его общих статей с Гр. (вкупе с его объяснениями, элементарными с виду, но совершенно невнятными, это повергло меня в некоторый диссонанс -- как и то, что ничего из сказанного им ни в одной статье я не нашёл, притом что явно имел воспоминание, что слышал это от него во время его доклада в Санкт-Петербурге). И тут мы столкнулись все трое на полутора квадратных метрах туалета; я едва смог сдержать смех.

    Чего я совсем уж не ожидал -- так это того, что Кр. потом меня, уже в коридоре, подозвал к себе, и между нами состоялся приблизительно такой разговор:

    -- Ну что, разобрались?
    -- Честно говоря нет, я прочитал статью, которую вы упоминали, про иерархию Уилби или что-то такое...
    -- Нет, это не совсем то))
    — Да, мне тоже так показалось. К тому же вы сказали, что это совместная статья с Гр., а когда я ему задавал тот же вопрос, он ответил, что ответ ему неизвестен и скорее всего вопрос очень сложный...

    Но Кр. только улыбнулся. Тут из туалета вышел Гр.

    -- А помнишь, у нас был такой кусок текста, довольно большой... Неопубликованный, у меня не сохранился. Может у тебя сохранился?
    -- У меня всё хранится! :)
    -- Ну, там нули, совместные, и координаты какие-то на этом пространстве... и что их можно развести...
    -- А, ну это на архиве лежит. Но там не очень просто найти. (обращаясь ко мне) Вот, видите, название статьи? (жмёт на ссылку с предыдущей версией) А вот тут название уже совсем другое, и пересечения по тексту там более-менее нет.

    Читать это, как и любую русскую математику, было гораздо труднее. Но там довольно прямым текстом написано, что таки да, дивизор из моего вопроса у матфизиков давно уже называется Wilby times [в целях беллетризации я немного поменял фамилию, а то ходят тут всякие], и притом этот Уилби -- научный дед одного из наших профессоров (которого я впрочем даже в глаза не представляю). Сегодня, опять весь день проваландав, стал смотреть запись доклада Кр., и тут открылось то, чего ну вообще никак не может быть.

    Моя бакалаврская работа по существу заключала в себе оценку на размерность компактных аналитических циклов в пространстве периодов SO(3,n) / SO(2) x SO(1,n), довольно очевидную -- в нём имеется линейная система дивизоров вида SO(2,n) / SO(2) x SO(n), которые проходят в достаточно большом количестве направлений через любую точку, а с другой стороны биголоморфны некоторым областям в аффинном пространстве (сиречь допускают глобальные голоморфные координаты), и значит каждый компактный цикл пересекается с ними по чему-то нульмерному -- то есть не может иметь размерность более единицы. Но пространство периодов -- это бедный (однородный) родственник пространства модулей кривых M_{g, n} (некомпактифицированного). Можно задаться вопросом про оценку на размерность компактных циклов в нём. В статье Гр.-Кр. производится некая конструкция, которой моя приходится бедной родственницей: именно, они рассматривают мероморфные 1-формы с двумя полюсами, все периоды которых вещественны (чёрт знает, как такое бывает, но у них получается очень убедительно), и смотрят на изопериодическое слоение для таких штук. Это слоение голоморфно вдоль, а поперёк только лишь вещественно аналитично. Один из листов такого слоения -- это (если я ничего не путаю) локус Гурвица; на нём есть координаты -- точки ветвления соответствующей гиперэллиптической кривой. Они эти координаты обобщают, рассматривая мнимую часть первообразной своего мероморфного дифференциала (в силу вещественности периодов это однозначная функция); координатами на их листах служат критические значения этой мнимой части (то есть значения в нулях дифференциала). На каждом листе критические значения -- это многозначная гармоническая функция; но в силу вещественности значения можно упорядочить, и получить координаты, которые являются кусочно-гармоническими функциями. Заметим, что максимум гармонических функций есть субгармоническая функция; стало быть, первая координата субгармонична, и в ограничении на любой компактный аналитический цикл локально постоянна. Но при этом условии субгармонична вторая координата; и т. д. Стало быть, компактный аналитический цикл пересекает это слоение по конечному множеству точек, из чего вытекает оценка на его размерность, которую гипотетически предположил ещё Арбарелло (впрочем, она очень далека от того, чтобы она достигалась, или во всяком случае чтобы про это было известно).

    В моём случае аналогичные координаты -- в духе 'рассмотрим в подходящей нормировке первообразную первого дифференциала и вычислим её в нулях второго, а потом наоборот -- получится, с учётом закона взаимности, ровно 2g-1 координата' -- должны давать ответ на мой вопрос о том, действительно ли движение вдоль двоякоизопериодического слоения разводит нули. Но час уже поздний, думать буду завтра.

    Current Mood: amused
    Current Music: Гр. Полухутенко -- Весна
    [ << Previous 25 ]
About LJ.Rossia.org