Там будет спектральная последовательность вместо точной. На старших при этом будет как раньше (а дальше будут члены с высшими функторами Tor). Если S поле то может и легче, но не сильно -- нетривиальность контролируется Tor^R(-,S), т.е. проблем не в том, что S плохое само по себе, а в том, что оно не плоское нас R.

Большего в такой общности сказать по-видимому нельзя.