Mathematics in Russian

Единственность единицы в позитивной форме

Формула называется позитивной, если она содержит в качестве логических связок только символы конъюнкции, дизъюнкции и квантификации (но не символ отрицания). Согласно Lyndon's positivity theorem утверждение первого порядка сохраняется при любом гомоморфизме между любыми двумя моделями тогда, когда оно равносильно какому-либо позитивному утверждению. Например коммутативный закон это позитивное утверждение, как следствие всякий гомоморфный образ коммутативной алгебраической системы коммутативен. Несложно придумать пример, когда свойство левой сократимости не выполняется в гомоморфном образе, но выполняется в исходной системе; из этого следует, что данное свойство равносильными преобразованиями невозможно привести к позитивной форме.

Если в произвольной магме существует единица, то выполняется свойство единственности единицы. Доказательство от противного: предположим, что существуют две единицы и , тогда . Следовательно всякий гомоморфизм сохраняет свойство , и, следовательно, эту формулу какими-то хитровыебанными равносильными преобразованиями можно привести к позитивной форме. Как это сделать? Я пытался. У меня ничего не получается. Помогите.

Comments

Расширение скаляров и гомологии

Если имеется гомоморфизм колец R \to S, то как известно, по нему строится функтор расширения скаляров ModR \to ModS. Eсли применить этот функтор к цепному комплексу свободных R-модулей, получится цепной комплекс свободных S-модулей. Если R - кольцо главных идеалов, то гомологии этих комплексов связывает теорема об универсальных коэффициентах.

Так вот вопрос - а что можно сказать, если R - не PID (например групповое кольцо от Z^n)? А будет ли легче, если интересны только старшие гомологии? А если S - поле, это никак не облегчит задачу?

Comments

Действие свободной абелевой группы нв цепном комплексе

Столкнулся со следующей конструкцией, которая выглядит как часть какой-то более общей науки, не знаю только какой:

Имеется цепной комплекс абелевых групп, на котором свободно действует свободная абелева группа конечного ранга ($\mathbb{Z}^n$). Действие группы коммутирует с граничными операторами, поэтому можно формально спроецировать комплекс на неприводимые представления $\mathbb{Z}^n$. Если считать характеры представлений независимыми переменными $z_1, \dots, z_n$, то все проекции вместе можно описать как цепной комплекс модулей над кольцом полиномов Лорана над $z_1, \dots, z_n$.

Прежде всего вопрос - такое описание факторизации по действию абелевой группы, как перехода к меньшему комплексу с коэффициентами в кольце полиномов Лорана от характеров - это же что-то стандартное небось? Что почитать на эту тему? И что можно сказать про связь циклов, границ и гомологий исходного комплекса и вот такого "фактора"?

И еще практический вопрос - какой пакет компьютерной алгебры годится, чтобы посчитать гомологии комплекса модулей конечного ранга над кольцом полиномов Лорана от нескольких переменных?

Comments

Вопрос о Демидовиче

Добрый день. Поиск через Google показал, что интересующая меня тема ни разу тут обсуждалась.

Вопрос к знатокам: скажите, плиз, Демидович Б.П. - Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для студентов математиков) - это толковый задачник или "вычислительный балласт"?. Если "балласт", то чем его лучше заменить?

Про задачник Кириллова и Гвишиани я в курсе) Но это уже функан, а мы пока до него не дошли :)

Уточняю, потому что есть и другая книга Демидовича - но только для технических вузов. Меня же интересует его пособие для университетов.

Заранее спасибо за ответ.

P.S. Нам на факультете адово выносят мозг упражнениям из Демидовича, но меня начинают терзать смутные сомнения по поводу этого....

Comments

http://lj.rossia.org/users/alinidurna/590.html?nc=5

Comments

Плюккерово вложение и рациональные линейные подпространства

Рассмотрим Плюккерово вложение Грассманиана Gr(n, k) в проективное пространство k-ой внешней степени C^n. В этом проективном пространстве рассмотрим рациональные подпространства размерности достаточно малой, чтобы их пересечение с вложенным Грассманианом имело размерность ноль. Точки пересечения не обязательно рациональны, но всегда алгебраичны.

Вопрос такой - что можно сказать про степень расширения Q, в котором лежат координаты точек пересечения? Я знаю ответ в паре частных случаев (например, при n=4, k=2 это всегда будет квадратичное расширение). И что читать, чтобы научиться такое решать?

Comments