seminar: вопрос про семейства и касающиеся кривые

maniga
2014-02-13 19:11 (ссылка)

есть такая мысль.

пусть X --- тотальное пространство семейства, то есть
у нас морфизм X \to T, и X_t это кривые семейства. X вложено
в S \times T (S --- наша поверхность).

пусть наша поверхность произведение двух кривых C.
можно выбрать точку P на поверхности и точку t \in T
и выбрав локальные параметры a,b на T и x на C
ограничить X на инфинитезимальную окресность (P,t) в которой
X будет задаваться формальным рядом y \in k[[x,a,b]] (наверное,
требования, что S = C \times C, можно избежать, но не будем
пока об этом).

теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что
набор элементов x,y,y' --- последнее есть формальная
производная y по x --- имеет степень трансцендентности 3
(в поле k((x,a,b)), над базовым полем k).

тут две трудности. во-первых, не очень ясно, что дальше.
во-вторых, я не знаю, как обосновать, что задача сводится к
вопросу из предыдущего обзаца.

и может всё-таки есть какой-то внятный способ геометрически
понять ситуацию, без рядов?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	maniga 2014-02-13 20:31 (ссылка)
	> обзаца абзаца, абзаца! блин (Ответить) (Уровень выше)

katia
2014-02-13 19:53 (ссылка)

это утверждение вроде теоремы Сарда для проекции квадрата семейства (над базой)
на твою поверхность
(теорема Сарда говорит, что у дифференциируемого отображения подавляющее
большинство точек образа некритические). если не сообразишь сам, могу попытаться
написать формально.

ну или еще - если бы они в каждой точке все касались, то касательные прямые образовали
бы что-то вроде слоения, т.е. дифура, с бесконечным множеством решений через каждую
точку, а так не бывает.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

	maniga 2014-02-13 21:49 (ссылка)
	а как расслоённое произведение семейства над базой посылать в поверхность? (Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

katia
2014-02-13 22:27 (ссылка)

никак, конечно, извини. куда-нибудь еще посылать надо, и, может,
и не квадрат, а что-нибудь другое. но идея, надеюсь, понятна :)
трюк со слоением вроде бы совсем понятный (если там этих касательных
через общую точку не одна, а десять, то берешь накрытие, на нем уже
будет слоение).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

maniga
2014-02-14 02:46 (ссылка)

идея-то, понятно, состоит в том, что надо найти какое-то отображение и составить равенство из размерностей пространства откуда бьёт, куда бьёт, и общего слоя. но что-то не находится.

как использовать теорему про единственность решения дифференциальных уравнений я увидел. но что если мы не над C?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	katia 2014-02-14 07:31 (ссылка)
	я напишу, как со временем получше будет. (Ответить) (Уровень выше)

	maniga 2014-02-14 03:44 (ссылка)
	хотя если стремиться к чисто алгебраическому аргументу, то можно свести всё к рядам и доказать для них единственность решения дифура (или найти ссылку) наверное, так и сделаю в итоге. (Ответить) (Уровень выше)