Настроение:	tired
Музыка:	Рада и Терновник -- Холодные времена
Entry tags:	геометрия, геометрия/задача Каповича

Изопериодические деформации гиперэллиптических кривых
Добрый анон дал ответ под предыдущим постом, благодаря которому удалось не только разрешить противоречие в математике, но сбить одним выстрелом с орбиты сразу два чайника Ресселя. Запишу отдельно, потому что действительно очень красиво.

Пусть \iota -- гиперэллиптическая инволюция. Как мы уже обсудили, она действует на H^0(K) минус-единицей, а как она действует на H^1(T)? Довольно легко видеть (например явно написав векторные поля на склейках), что классы, на которых \iota действует тождественно, это вектора, касающиеся гиперэллиптического локуса. Но у инволюции есть два собственных подпространства, другое для собственного числа -1. Допустим, что \iota^*v = -v. Тогда: v(\alpha \o \beta) = -(\iota^*v)(\alpha \o \beta) = -v(\iota^*\alpha \o \iota^*\beta) = -v(-\alpha \o -\beta) = -v(\alpha \o \beta). Стало быть, такой класс аннулирует всякий разложимый квадратичный дифференциал. В частности, на гиперэллиптической кривой образ отображения умножения H^0(K)^2 \to H^0(K^2) (точнее его линейная оболочка) это не всё пространство квадратичных дифференциалов (что я некритично ранее полагал верным всегда), а лишь его небольшая часть. Поскольку деформация v сохраняет периоды формы \alpha тогда и только тогда, когда выражение v(\alpha \o ...) тождественно равняется нулю, это значит, что такие деформации сохраняют периоды всякой голоморфной формы. Из предыдущего поста следует, что достаточно потребовать сохранения периодов двух форм -- отсюда следует сохранение периодов всех остальных. По-моему прикольно.

Это, конечно, не вступает в противоречие ни с теоремой Торелли, ни с тем, что малые изопериодические листы (локусы в пространстве Тейхмюллера, комплексные структуры в которых сохраняют периоды какой-то пары форм) для пар форм без общих нулей гладки. Такая деформация существует только в первом порядке; соответствующие малые изопериодические листы имеют максимальное касание (их касательные пространства совпадают) -- но в дальнейшем расходятся. Мне в университете выдали планшет, я бы теперь смог на докладе по телевизору красивую картинку нарисовать. Но тут на доклад маловато наблюдений.

Что это нарушает, так это моё некорректное представление о поведении деформаций, изопериодичных для трёх форм разом. Напомню, что если имеются три формы \alpha, \beta, \gamma, то деформация может сохранять их периоды, если только соответствующий ей функционал из H^0(K^2)^* тождественно зануляется на линейной оболочке объединения L_\alpha \cup L_\beta \cup L_\gamma, где L_\omega \subset H^0(K^2) есть g-мерное подпространство, определяющееся как множество мономов \omega \o ?. Для общей тройки форм эта линейная оболочка -- это всё (3g-3)-мерное пространство H^0(K^2) (и тогда деформация, сохраняющая периоды наших трёх форм, постоянна), однако это правило не является всеобщим. Я по наивности полагал, что для того, чтобы получилось всё, достаточно потребовать, чтобы попарные пересечения L_\alpha \cap L_\beta, L_\beta \cap L_\gamma и L_\gamma \cap L_\alpha были одномерными (меньше они быть не могут из-за существования мономов \alpha \o \beta, \beta \o \gamma и \gamma \o \alpha), и соответствующие прямые не лежали в одной плоскости (что в силу специфики ситуации равносильно тому, чтобы эти прямые просто были попарно разные). Это конечно неверно: для гиперэллиптической кривой, как мы видим, попарные пересечения одномерны, и вместе с тем подпространства L_\omega заключены, как в тюрьме, в собственном подпространстве \iota в H^0(K^2) с собственным числом +1 (соответственно, аннуляторе собственного подпространства \iota в H^1(T) с собственным числом -1).

Я кстати из-за подобной ошибки очень плохо написал олимпиаду Эйлера в восьмом классе: в одной из самых простых задач я стал писать какое-то соотношение на НОДы трёх чисел, из соображений 'нарисуем три круга Эйлера и рассуём простые по тому, какие числа из этих трёх они делят', но из-за того, что у простого есть ещё и кратность вхождения, моя формула оказывалась неверной. Нарратив закольцевался; хорошо.