Разговор о доказательстве
http://ivanov-petrov.livejournal.com/652733.html
ivanov_petrov@lj
Мне кажется, в доказательстве о доказательстве - что оно-то уж точно насквозь логизированное, разложимое, прозрачное, механическое и т.п. - упускается важный момент. Доказательство действительно является таковым - когда оно уже сделано. Когда имеется хорошая научная работа с доказательством, уместными и хорошо подобранными экспериментами, ясной логикой движения мысли - то все так и выглядит. Но есть и другая сторона - авторская. Та самая, на которой ученый ведет это самое доказательство.

И вот при проведении доказательства оно не является ни стройным, ни самоочевидным, тривиальным, прозрачным, логичным и пр. Я говорю именно не о стадии создания гипотез, а о доказательстве. Оно бывает "совершенное" - чужое доказательство, рассматриваемое как внешний продукт, и совершаемое - как собственная деятельность. И на этой стадии логика уводит в тупики, эксперименты показывают невнятную чушь, ясные ходы мысли не ведут никуда. Лишь постепенно всё складывается и образуется готовый продукт (конечно, я говорю о почти идеальном состоянии, не об ошибках, которых всегда хватает) - когда на выходе получается прозрачное и очевидное доказательство. Совершаемое доказательство - деятельность рациональная и творческая, в одно и то же время. И потому - рациональная и неразложимая, рациональная и не-механичная и т.п.

falcao@lj
Всецело поддерживаю сказанное. Сам неоднократно высказывал сходные мысли. Логика как инструмент познания, на мой взгляд, имеет узкое назначение и выступает лишь на стадии проверки уже готового.

"Нерациональных" методов многие боятся, на словах отвергают их, вслух не говорят, хотя сами используют сплошь и рядом. У меня прямо сейчас родилась мысль, что это сродни ханжеству. "Детей находят в капусте" :)

krf@lj
Получается, что полностью рациональной деятельностью можно назвать только чтение готового доказательства, сделанного другим. И то, если убрать в сторону вопрос понимания.

timur0@lj
Замечательное наблюдение про "совершенное" и совершаемое доказательство. У Адамара есть наблюдение по этому поводу: у некоторых математиков доказательство совсем не носит следов своего появления - в частности, к ним он относит Римана; а у других доказательство встроено в логику своего появления, в своего рода очевидность (прочитал и очевидно, что так оно и есть и как он пришел к этому); примером последнего служит Пуанкаре.

alisarin@lj
Ну вы же биолог, а не знаете Н.А. Бертштейна и его "сенсорно-моторного кольца" :))

Философия исходит из того, что "перцепция обслуживает ... деятельность". Поэтому перцептивные результаты проверяются использованием найденных решений в деятельности.

А теоретическая рефлексия представляет собой обобщение, последующую проекцию и развитие логическим путем деятельностно проверенных результатов перцепции. Существует даже такое философское направление "радикальный конструктивизм", у него есть влиятельные сторонники, утверждающее, что никаких других проверок наших представлений, кроме успешного завершения деятельности не существует. В общем я думаю, что и "точность математики может быть проверена в пределах стабильности физического объекта либо казуса". Но это моё мнение ... :)

dennett@lj
но ведь, насколько я понимаю, никогда и не утверждается, что научная деятельность рациональна в своих конкретных проявлениях. говорится, что ее цели и принципы рациональны, а также, что рациональны ее продукты. в полном соответствии с тем, что вы говорите.

flying_bear@lj
Интересная квазимысль к голову пришла. Вот сейчас воюю с некой конкретной задачей. Туго идет. Если же еще начну анализировать, что именно делаю и как - не решу никогда, гарантированно.

Глумливый вопрос (разумеется, не к Вам, а, наоборот, к любителям рационализировать и формализовать): зачем нужна философия науки, которая реальному научному творчеству, в лучшем случае, не помогает, а в худшем (и наиболее вероятном) - вредит?

С шахматной, например, теорией ситуация другая - держать в голове всякие общие принципы во время игры зачастую полезно. Видимо, потому, что там никто не пытался всерьез поднять теорию до метауровня, ограничивались более-менее эмпирикой. Отчего бы и в философии науки так не поступить? Мастера делятся опытом: Адамар, Пуанкаре и прочие. Гроссмейстеры, аналогично, пишут сборники избранных партий с комментариями, всякие книжки типа "Как я стал гроссмейстером", и прочее. А, что сверх, то... А?

ivanov_petrov@lj
Вроде как у Альшуллера - собрание "практических приемов"? Наверное, забавно... Я вот что могу вспомнить: те приемы, которые я открыл "сам" - мне помогают. То есть парился с какой-то задачей, потом вдруг она этак вот повернулась - точнее. вспомнилась в связи с совсем другим - удалось пробиться к решению - потом осознал прием... И теперь когда что-то решаю, иногда пробую его применить - и иногда получается. (Конечно. дело не в том, что прием шибко мой и т.п. - но я его для себя придумал и не интересовался, есть ли он где - конечно, есть...). А вот если я возьму сборник чужих приемов - я прежде всего начну не соглашаться, спорить, не понимать, ошибаться в способе применения и т.п. И толку не будет.

Это не к тому, что такие штуки не стоит делать. Напротив - очень забавно и интересно - набор методических-эвристических правил, которые помогают в решении научных задачек. Но вот - по крайней мере о себе - я сомневаюсь, что это поможет... Что-то всё только через собственный пот и ошибки - а на чужих эвристиках не очень получается

Одна поправка: если не научили. Некоторые эвристики слышал от хороших людей, они пронизаны приводимыми ими примерами, воспоминаниями об их личности и проч. - и вот эти, хоть и "не мои". мне иногда помогают

flying_bear@lj
Так а что такое вообще "научная школа"? Память о личных эвристических приемах учителя. Которые, отчасти, заимствованы им от своих учителей. Так оно и передается.
То же самое, мне кажется, относится и к учебе по книгам - кого выбираешь себе в небесные покровители, так сказать. И здесь, примерно, как с литературой (http://flying-bear.livejournal.com/319710.html): выбираешь себе авторов, с которыми находишься в резонансе. Опять же, дело не в оценке величия того или иного ученого, а в "совместимости" подходов. Я достаточно хорошо знаю работы, например, Эйнштейна, или Бора, но для меня их "приемы" абсолютно бесполезны. А Дирак кажется вообще инопланетянином. При этом все трое, разумеется, были и есть гении первого ранга. Восхищаться могу, пытаться подражать - нет. А вот Ферми, например - это то, как я сам хотел бы работать и как даже пытаюсь, только усилено и улучшено до безумной степени.

Еще аналогия - переливание крови. Если не своей группы - умрешь. Своей - может жизнь спасти.

buddha239@lj
Забавно. Мне вот нравятся и не нравятся разделы науки, нравятся или не нравятся конкретные работы - потому, что не понимаю какие-то моменты. Но индивидуальности авторов я не воспринимаю - разве что на уровне, что такой-то часто пользуется алгебраической топологии, а такой-то любит страшные формулы. Соответственно, для меня нет никаких персональных методов, а воспользуюсь я любым методом, который, как мне кажется, может привести к результату без того, чтобы я умер в процессе.:)

sunnykitten@lj
Мне кажется, проблема в том, что доказательство вообще выходит из сферы науки. Оно относится к логике и математике, которые (как нас учили на мехмате) вообще не наука, а язык науки. Язык же, особенно такой богатый, как логика, дает неисчерпаемые возможности для творчества.

"Рациональное" доказательство, т.е. чужое, пообструганное-приспособленное к ситуации - в такой аналогии подобно тупому воспроизведению заученных стихов, ну или цитат из классиков марксизма-ленинизма. "Дважды два четыре" и "Мой дядя самых честных правил" - одного порядка заявления, вам не кажется?

"Если бы люди были автоматами, каковыми их считают бихевиористы, психологи не смогли бы придумать ту изумительную чушь, которую они называют бихевиористской психологией". Но сам по себе бихевиоризм возник не случайно - был такой период абсолютизации рационального познания, а поскольку именно в этот период была зачата и выношена Научно-Техническая Революция, "истинные ученые" склонны для доказательства своей истинности обращаться к рационализЬму. По сути, как к авторитету.

ivanov_petrov@lj
Для меня нова мысль о том, что доказательство - вне сферы науки. А что тогда внутри? И математика - не наука? Совсем прямо?

А что люди не автоматы - всецело поддерживаю. Мне нравится контрпример... Кажется, Гюрджиев на лекциях обожал объяснять слушателям, что они - автоматы, причем дурные автоматы. Очень эту мысль украшал, обосновывал... Но тем не менее оговаривался: на 99% автоматы. Все-таки 1% и он признавал.

sunnykitten@lj
Математика не наука, потому что у нее нет предмета. Метод есть, а вот предмета - нет.

Ну где можно потрогать тот самый треугольник, который не деревянный, не стеклянный - просто треугольник? И где можно потрогать абстрактное два? Не два яблока, не два землекопа, а просто два?

Если так рассуждать, в сфере науки оказывается 1) исходная ситуация (гипотеза и/или факты) и 2) выводы из нее. А этап логического вывода не зависит от того, что именно за ситуация и что за факты. Это не наука, это - логика. Или математика. Где только не применяются интегралы, а процесс интегрирования остается тем же. Но в итоге будет главным то, ЧТО именно мы интегрируем.

yurvor@lj
Я бы вообще всех помирил. Одной фразой. Вот этой -

Рациональное - это воспроизводимое иррациональное.

Грубо говоря, любой элементарный/атомарный логический переход есть иррациональное. Так что совершённое доказательство - это набор этих логических переходов, состыкованных между собой. Догадка, гипотеза - это такой большой иррациональный шаг. Её доказательство - это разбиение этого большого шага на мелкие воспроизводимые шажочки. Как сама гипотеза, так и поиск доказательства есть вещи иррациональные. А вот результат - исключительно рациональный.

Если посмотреть на науку с двух сторон - как на результат и как на процесс, то результат будет рациональный, а процесс (перехода между результатами) - иррациональный.

caveman_jackob@lj
Насколько я понимаю, термин "рациональное" - из разряда тех философских терминов (бытие, истина, красота, добро и т.д.), которые служат не инструментом, а целью: это не операциональный термин, а такой, вокруг которого ходишь кругами, постепенно наращивая понимание и проясняя его внутреннюю структуру. Не - "чем", а - "ради чего".

Пожалуй, не "рациональное" может стоять прилагательным при "доказательстве", а наоборот: через окно "доказательства" мы можем попытаться разглядеть (разумеется, только в одном ракурсе), что такое "рациональное".

Одна из характеристик рационального - всеобщность, верифицируемость. Доказательство - инструмент этой верифицируемости, всеобщности: любой желающий, если он мыслит непротиворечиво, пройдя этот путь, получит тот же результат. Интуиция и откровение не дают такой гарантированной всеобщности.

Но! Не нужно забывать, что отец доказательства и рациональности - Парменид - написал не трактат, а поэму, в которой он получает свои доказательства как настоящее откровение: визионерская сцена вознесения к вратам царства богини Дике написана очень красочно и убедительно (все помнят эти дымящиеся втулки колес и заклепки на воротах). Не думаю, что это сделано только престижу ради (дескать, получено от самой Дике!).

"И благосклонно богиня меня приняла и сказала..."

faceted_jacinth@lj
Недавно в комментах к одному из своих последних постов (где про неожиданное появление аксиомы выбора в качестве следствия чего-то там) sowa, говорил очень странные вещи -- что вся эта Гильбертовская заморочка с формализацией как минимум математики хороша в качестве чего-то белого, воздушного, а на деле математики вовсе не думают в терминах аксиоматики и что он сам не поручился бы за то, что хоть какую-то часть современных результатов (доказательств) можно разложить до аксиом. По крайней у меня такое впечатление сложилось о его точке зрения.

Я что-то не решился тогда лезть и выяснять, как это так, всё-таки я как-то чересчур теоретически знаю о разнообразных автоматических верификаторах доказательств, но вот -- мнение профессионального математика. Не знаю, что и думать =)

nature_wonder@lj
Любопытно вы зашли к этой теме, со стороны научного доказательства. Фактически речь идет о принципах мышления вообще - один из ключевых пунктов дискуссии в области Искусственного Интеллекта (могут ли машины мыслить, описывается ли мышление алгоритмом и т.п.). Хотя вы так вопрос не ставите, но это, по-существу, он.

algebraic_brain@lj
Как мне кажется, формализованное в той или иной степени доказательство - это лишь способ договориться и понять, что обсуждаемое понимается корректно всеми сторонами. Формализация - это пробный камень, но никто его не отождествляет с золотом.
Кроме того, ведь если просто взять и посчитать количество формул длины скажем не более 100 в формальной теории и количество возможных доказательств, это будет астрономическое число. Никто и никогда не держит столько ерунды в голове, и даже сами доказательства со временем забываются, но многие держат в голове добротное знание. Что же представляет из себя это знание - это и есть тот кроссворд, который я пытаюсь разгадать, остановившись на самом формализованном виде знания, на математике.

schwalbeman@lj
Заметим, что интеллектуальная деятельность, к которой полностью применимы слова ''автоматическое - то есть совершенно прозрачное, разложимое, логическое - вплоть до "машинного", "программно-воспроизводимого"'', могут тоже заводить в тупик, выходить из тупика, спотыкаться, напоминать своим поведением слепого щенка - и при этом достигать в конце концов своих целей. Именно таковы, к примеру, разные поисковые алгорифмы, алгорифмы глобальной оптимизации. Такая программа совершенно рациональна и формализована (an sich), а ведет себя, как творческая личность, т.е. по-дурацки.

buddha239@lj
А как Вам такая идея: нерациональное бывает сокращением и упрощением рационального? Например, в инструкции к пылесосу нет рассуждений о том, почему он работает так, а не иначе.:) Их туда можно добавить, что сделает инструкцию более "научной", но никому это не нужно - нужно только, чтобы пылесос работал.

Вот я, например, не в состоянии оперировать (и даже просто держать в памяти) все актуальные мне разделы математики. Вместо этого, я представляю (примерно), какие методы и определения где работают. Я не помню большинства доказательств, и уж точно не помню (если речь не идет о моем конкретном участке работы), почему так делать можно, а вот так - нельзя. Получается что-то вроде поваренной книги, с помощью которой я варю свой суп.:) Кстати, именно по этому меня не особенно интересует общая история математики - она относится к тем знаниям. которые мне мой суп сварить не помогут. То есть, глобально математика (та, что уже есть, а не та, которая только в процессе построения) - наука весьма рациональная, но конкретные математики могут лишь гордится этим, а сами изучают каждый свою страничку кулинарной книги.:)