ljr_math: Действие свободной абелевой группы нв цепном комплексе

kaledin
2019-07-06 14:42 (ссылка)

>формально спроецировать комплекс на неприводимые представления $\mathbb{Z}^n$.

Нельзя -- разложение на наприводимые представления бывает только над полем, и только для конечных (или редуктивных) групп. Т.е. (1) у Z даже над C полно представлений, которые не разлагаются в прямую сумму одномерных, и (2) даже если над C все было бы хорошо, для абелевых групп ничего не сработало бы.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

p_k
2019-07-06 15:23 (ссылка)

Забыл уточнить, в исходном комплексе группы цепей свободные, и кручение в гомологиях не интересует, так что можно считать, что это комплекс векторных пространств. Более того, в рассматриваемой задаче в группах цепей можно выбрать базис, сохраняющийся при действии группы, такой что в нем будет конечное количество орбит. Так что в этом смысле разложение по одномерным неприводимым представления строится явно (просто как ряд Фурье).

Вот пример, чтобы было ясно о чем я. Рассмотрим рисунок клеток на клетчатой бумаге, как симплициальный комплекс размерности 1. На нем действует Z^2, давая одну орбиту 0-симплексов и две орбиты 1-симплексов. После описываемой факторизации получится комплекс свободных модулей над Z[z_1, z_1^{-1}, z_2, z_2^{-1}]. В размерности 1 его ранг равен 2, в размерности 0 - равен 1, других размерностей нет. Граничный оператор в естественном базисе имеет вид

z_1-1
z_2-1

соответственно модуль 1-циклов порождается (z_2-1, 1-z_1) и т.д.

Это такой архетипический пример, реально стоящие задачи отличаются только большим рангом группы и сложностью симплициального комплекса.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2019-07-07 13:31 (ссылка)

Да, понятно.

Я бы сказал, что коэффициенты Фурье тут ни при чем: полиномы Лорана это просто групповая алгебра Z^n, а разлагать на непровидимые представления ничего не нужно. Однако я не думаю, что есть готовый алгоритм. Навскидку, лучшее, что можно предложить -- это рассмотреть фактор, и вычислить его когомологии (а он вроде как конечный симплициальный комплекс).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

p_k
2019-07-07 16:13 (ссылка)

Ну да, фактор тут будет конечным симплициальным комплексом, с коэффициентами в кольце полиномов Лорана (кстати, правильно ли я понимаю что в случае конечного комплекса наличие отрицательных степеней не важно для (ко)гомологий, так как граничный оператор можно всегда домножить на подходящий моном, который все равно единица кольца?). Но хотелось бы понять следующее:

1) У меня не проходит ощущение, что переход от большого комплекса с симметрией к меньшему комплексу с более сложным кольцом коэффициентов в этом примере есть частный случай какой-то более общей конструкции, которую я не вижу. Так ли это?

2) В практически важных случаях задача не подходит для расчета вручную (типичный пример - группа Z^6, комплекс размерности 3, в каждой размерности ранг группы цепей около 3000). Какой пакет компьютерной алгебры тут годится?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2019-07-07 17:22 (ссылка)

>с коэффициентами в кольце полиномов Лорана

Да нет, я имел в виду просто в Q. Обычные когомологии фактора. Если игнорировать кручение, то это точно то же, что инварианты Z^n в исходном комплексе когомологий.

Но если нужны не инварианты Z^n, а все когомологии (и действие Z^n на них), то да, это пример общей конструкции. Пусть отображение в фактор это f:X \to Y, тогда H^*(X,Q) это то же, что H^*(Y,R^*f_*Q), когомологии Y с коэффициентами в прямом образе постоянного пучка Q. Вообще говоря, это не пучок на Y, а комплекс пучков, но если все орбиты свободные, то будет просто пучок, а его значения - вот те самые свободные модули над рядами Лорана. Разумеется, это никак не помогает, это просто то же, названное высоконаучными словами... well, for what it's worth.

Как считать на компьютере не знаю, нникогда не делал этого.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2019-07-07 17:23 (ссылка)
	>Если игнорировать кручение Впрочем, если орбиты свободные, то все верно и с кручением. (Ответить) (Уровень выше)

p_k
2019-07-07 22:11 (ссылка)

Собственно весь вопрос возник когда захотелось чего-то большего, чем инварианты. Вначале возникла задача о гомологиях фактора, но с деформированным граничным оператором, который как раз можно было понимать как проекцию граничного оператора исходного комплекса на неприводимое представление с данным унитарным характером. Потом стало ясно что характер надо рассматривать не как параметр, а как формальную переменную, и менять кольцо коэффициентов - а тогда и костыль "разложения по представлениям" ни к чему.

Терминология важна, иначе народ друг друга не понимает (в нашем цеху к сожалению, случается изобретать велосипед).

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

kaledin
2019-07-07 22:31 (ссылка)

>костыль "разложения по представлениям"

Это не костыль, это здесь вообще ни при чем: разложения по представлениям не происходит (что и хорошо, потому что для Z его нет). Коэффициенты Фурье это разложение по представлением окружности, а не Z. Они типа двойственны по Понтрягину, т.е. функции на окружности и на Z можно в каком-то смысле отождествить, но это постороннее знание в данном случае: скажем, постоянной функции на Z будет отвечать вообще не функция на окружности, а что-то типа дельта-функции в единице.

Ну и проекции тоже не происходит на самом деле: это буквально тот же самый комплекс, просто по-другому интерпретированный.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

p_k
2019-07-08 12:46 (ссылка)

для Z его нет

Ну так и постоянной функции на Z в этом смысле тоже нет в группе цепей (там только функции отличные от нуля в конечном числе точек есть). Я к тому что подразумевается что всегда можно засунуть это пространство плотным образом в l^2, а там-то Фурье-преобразрвание определено как изометрия на L^2(S^1) с мерой Планшереля. Потом обнаруживаем что после преобразования граничные операторы действуют в L^2(S^1) поточечно, забываем, что это пространство классов функций и начинаем разглядывать действие на "значение функции" в точке.

Я потому и говорю что костыль, что в этом рассуждении происходит пару раз подмена объекта; оттого и возник вопрос, как сделать все чисто алгебраически.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

	kaledin 2019-07-08 14:40 (ссылка)
	>Я к тому что подразумевается что всегда можно засунуть это пространство плотным образом в l^2 Когомологии могут поменяться, кстати (чему много практически важных примеров). Надо аккуратно. (Ответить) (Уровень выше)

p_k
2019-10-27 13:43 (ссылка)

Мне все-таки кажется, тут можно без пучков обойтись. Вопрос-то на самом деле чисто алгебраический. В смысле - задано коммутативное кольцо R и абелева группа G. Имеется дифференциальный комплекс R-модулей X, и свободное действие G на нем, коммутирующее с дифференциалом. Выбрав по представителю на каждой орбите в качестве базиса, легко построить дифференциальный комплекс R[G]-модулей Y, вместе и изморфизмом (как R-модулей) X \to Y, коммутирующим с дифференциалом. Отчего будет H_*(X, R)=H_*(Y, R[G]) (опять таки, как изоморфизм R-модулей). Вопрос - а как можно построить Y естественно (не выбирая элементов на орбитах)?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)

p_k
2019-10-27 22:15 (ссылка)

Never mind, про неестественность было глупое замечание - просто не надо базис искать, и все будет естественно. Ну и вообще вопрос снят, интересовавшая меня конструкция - частный случай гомологий с локальными коэффициентами.

(Ответить) (Уровень выше)