контрпример к теореме ПБВ
Пусть A -- внешняя алгебра на трех порождающих X,Y,Z над полем из двух элементов F_2. Это коммутативная алгебра.

Определим теперь алгебру Ли B над A, натянув ее на базис x,y,z,[xy],[yz],[xz]
и задав скобку [x,y]=[y,x]=[xy], [y,z]=[z,y]=[yz], [x,z]=[z,x]=[xz], а остальные нули.
Тождество якоби выполняется потому что [a,[b,c]] тождественно равно нулю

u := X*x+Y*y+Z*z

H := идеал порожденный u, как A-модуль он натянут на u и X*[xy]+Z*[zy] и т.д.

v := XY*[xy] + YZ*[yz] + XZ*[xz]

пусть теперь f -- A-линейное отображение B в ассоциативную алгебру, которое уважает коммутант

f([ab])=f(a).f(b)-f(b).f(a)=f(a).f(b)+f(b).f(a) потому что характеристика 2 и a=-a

f(v) = XY*f([xy]) + YZ*f([yz]) + XZ*f([xz]) = f(u)^2

то есть если f зануляется на H, то f(v)=0

с другой стороны, v не лежит в H:

зададим A-линейную форму p на базисе так

[xy] -> Z
[yz] -> X
[zx] -> Y

а на x,y,z пусть p=0

p(H) = 0 (p(X*[xy]+Z*[zy])=XZ+ZX=0 и тд)

p(v) = 3XYZ = XYZ -- не равно 0, значит v не лежит в H

То есть B/H не допускает вложения в ассоциативную алгебру реализующую коммутант (класс v ненулевой, но будет всегда отправляться в 0)


---

То есть не любая алгебра Ли над коммутативным кольцом вкладывается в ассоциативную алгебру (с уажением комутанта), если под алгеброй Ли понимать произвольный модуль над коммутативным кольцом со скобкой Ли, без предположения о том что модуль свободен или что кольцо скалаяров типа кольцо главных идеалов или какие-то другие ограничения.