Задачка:

Счетно ли множество всех конечных подмножеств натуральных чисел?

Верно ли такое решение (ответ -- счетно):

Запишем каждое подмножество как последовательность из нулей и единиц так, что на месте чисел, лежащих в подмножестве, стоят 1, а на месте чисел, не лежащих в подмножестве, стоит 0.
Например, {1,2,5} -- 110010000...

Теперь занумеруем все подмножества. Рассмотрим запись целых чисел в двоичной системе счисления. Будем брать двоичное число, записывать его наоборот (младший разряд слева) и приписывать справа бесконечно много нулей.

0 -> 0000000...
1 -> 1000000...
10 -> 0100000...
11 -> 1100000...
100 -> 0010000...
101 -> 1010000...
110 -> 0110000...
111 -> 1110000...
...

Так рано или поздно мы доберемся до любой конечной последовательности из нулей и единиц. Именно, чтобы узнать номер данной последовательности, обрежем ее по последней единице, за которой начинается бесконечность нулей (мы знаем, когда начинаются нули, потому нам известно, что подмножество конечно, и значит, известен его последний элемент -- последняя единица в последовательности). Затем перевернем получившееся число -- это и будет номер последовательности в двоичной системе счисления.

Предъявлена биекция между множеством и натуральными числами в двоичной записи. Нужно что-то еще?

Сопоставляем каждому числу подмн-во, содержащее только его - инъекция из чисел в подмножества.
Сопоставляем каждому подмн-ву его двоичный код (как вы это сделали, а спереди дописываем единичку, чтобы разное кол-во нулей впереди различалось), получаем натуральное число в двоичной записи - инъекция из подмн-в в числа.

По теореме Кантора-Бернштейна они равномощны.

Так получается короче ^_^

Зачем единичку, не надо единичку: я ищу последнюю единицу в двоичной записи подмножества, обрезаю по ней, и переворачиваю число -- то есть у меня эта последняя единичка выходит первой слева в получившемся двоичном числе.

Кроме того, у меня одна биекция, а у вас две инъекции. Но все это, видимо, детали. Ответ на мой вопрос, как я понимаю, да (т. е. решение верное)?

Было бы интересно узнать как те, у кого нет возможности посещать занятия в НМУ, сдают сессию и готовятся к экзаменам. Какие могут возникнуть трудности в такой ситуации и на что нужно обратить внимание в первую очередь? Особенно интересно как это делают люди живущие за пределами Москвы.

Хорошо бы вынести обсуждение в отдельную тему, но сам этого сделать не могу тк анонимус.

А где можно ознакомиться с оными лекциями?

Хотелось бы подробнее про "сдают минимум задач" для зачёта. Это можно сделать в конце семестра единовременно? Из общения с одним почтенным сообщником и чтения сайта сложилось впечатление что сдавать задачи надо в течение семестра. Ну и вообще не ясно, как преподаватель будет проверять всё сразу в конце семестра - это немало работы всё же.

Кстати, есть ли какой-нибудь отзыв о преподавателях, собирающихся читать первый семестр первого курса в этом году? Понятность лекций/сложность задач/соответствия между лекциями и листочками?

Спасибо.

Большое спасибо!
Кстати, а топология начинается не с первого семестра? Не разглядел её в списке курсов на осень.

кто где книжки берет? либоло нету же =(

Привет!

Никто не знает, какие задачи из восьмого листка по нмушной алгебре-2 обязательны к сдаче? А то там никаких не отмечено, а говорят, что они есть.

Расскажите, как кто в НМУ дистанционно учится. Понятно, что нужно смотреть лекции и решать задачи семинаров, но интересно следующее:
1) как сдавать задачи в течение семестра? (я так понимаю, их сдача необходима для того, чтобы сдать курс)
2) что делать, если видео нужной лекции не выложили?
3) как сдавать экзамены? (требуется ли приезжать более одного раза, или можно сдать экзамены в один день)

ну, похоже, Грин тут один отвечает обстоятельно. так что наверное вопрос ему.
могу ли я сдавать курсы не по порядку, например, в первую сессию сдавать курсы первого семестра (обязательные)и некоторые курсы третьего семестра или же вообще спецкурсы? преподаватели к этому нормально относятся? не дурной ли это тон со стороны студента. спасибо.

Спасибо за ответы.
Про лекции -- нет, не про комплан, я вообще планирую только с осеннего семестра начать учится. А вообще, экзамены проходят близко друг к другу по датам? Например, для меня возможно приехать в Москву не более, чем на четыре-пять дней.

Да, и ещё один вопрос вдогонку -- все ли курсы планируют выкладывать на erb-files? Основные курсы первого семестра интересуют по большей части.

Может кто-нибудь выложить email-адреса преподавателей курсов первого семестра? Хотел бы написать им насчёт сдачи задач дистанционной, но на сайте НМих не нашёл.

Особенность преподавания математики заключается в том, что материал рассказывают, предполагая, что полезность его станет очевидна потом, т.к. для объяснения этой полезности нужны ещё не изученные термины.

Вопрос в том, кто где берёт мотивацию?

У меня есть серьёзные сомнения в том, что люди, занимавщиеся математикой когда-то стремились быть полезными обществу. Это, мне кажется, плохая мотивация для такого поведения, которое требуется для занятия математикой (нужно от многого отказаться, много быть в одиночестве и так далее). Полезность, по-моему, всегда была продуктом побочным, стимулирующим общество математиков терпеть, слушать, а потом ещё и кормить. Но сами математики, как мне кажется, движимы какими-то другими внутренними потребностями. Тот факт, что большой кусок современной математики стал обществу не доступен и (пока) не нужен - не следствие изменения мотивации и большего чем раньше отрыва учёных от реальности.
Я тут, разумеется, обощаю и, следовательно, какие-то случаи из виду упущены, но общая картина, думаю, такая.
Кроме того бывают экстремальные ситуации (вроде войн и других кризисов), когда математики должны мобилизовываться вместе со всеми остальными и заниматься тем, что нужно, а не тем, чем хочется (разгадывать вражеские коды или строить ядерную бомбу, к примеру). Но, опять же, мобилизуют их в таких случаях другие, гораздо более резкие и решительные люди, и не всегда на добровольной основе.

Если А - коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, u из A, A/(u) - факторкольцо по главному идеалу (u) и u = vw, где v,w из А - необратимы. Почему v и w не могут лежать в (u)?

Прошу прощения, здесь A - кольцо главных идеалов, а потому вопрос снимается.

Мне не очевидно, как из равенства v = vwk следует равенство wk = 1 в кольце, где могут быть делители нуля. И потом, разложение на необратимые множители не единственно даже там, где есть основная теорема арифметики.
Я не утверждаю, что только в кольцах главных идеалов утверждение верно, вероятно, есть и другие. Но в общих коммутативных ассоциативных кольцах с единицей - вроде нет.

Кольцо главных идеалов предполагается целостным по определению (по определению Винберга, по-крайней мере), так что там как раз из первого равенства второе следует.

Ну уж это совсем просто: v = vwk => v(1 - wk) = 0. Делителей нуля нет, v - не ноль по предположению => 1 - wk = 1 - kw = 0 (кольцо коммутативное) ну и отсюда обратимость w.

На здоровье. Не за что извиняться, конечно.

Товарищи, есть ли у кого-либо видеозапись 3-й лекции по алгебре-1? Либо можно ли ждать в ближайшем будущем на erb-files?
Была бы очень признательна за ответ.

А почему у вас в жежешечке нельзя оставлять анонимные комментарии?

Видимо, так стояло по дефолту, а я не сильно "заморачивалась".
Если это важно, сию настройку комментариев изменила.

Первое. У Вас первые четыре листочка уже решены? А то я бы поспрашивал кое-чего кое-где у умных людей...

По поводу последнего листочка по алгебре, там в 7.3 в задачке дано условие

Покажите, что всякий ненулевой элемент , удволетворяющий соотношению , получается из некоторое двумерной плоскости описанным образоm

1) выполняется всегда же вроде?

2) Что значит "описанным образом"? Через базисы подпространства? Алсо, не понял, при чем тут двумерная плоскость, с геометрией у меня совсем провал.


Спасибо.

Спасибо, ступил.

Да, в задачах 2.6, 2.7 имеется в виду именно вот эта теорема Ферма и её стандартное доказательство (видно же, что задачи разбиты именно на его стандартные шаги). По крайней мере я другого не видел ни в книжках (смотрел Винберга и Алуффи) ни в сети. Кстати, что это за книги, на которые Вы ссылаетесь?
Смысл, по-видимому, в предположении что студент лекциями не ограничивается а активно роется где только можно и/или читает параллельно какой-то учебник (в этом смысле книжка Винберга великолепна - там и для этой задачи почти всё рассказано в девятой главе (последнего издания) очень прозрачно). Я боюсь даже думать, что в аудитории сидит непренебрежимое количество людей, способных на это самостоятельно только по лекциям без подсказок. Если экзамен расчитан на таких, то я зимой поеду в Москву зря.
У меня 2.6 и 2.7 решены, можно что-то спрашивать.

Как у Вас со второй половиной листочка 3 и производящими функциями (у меня не решена 4.5)? И не знаете ли Вы в каком смысле в первой задаче шестого листочка пересечение подпространств U и W является подпространством их внешней прямой суммы?

Это Вы их придумывали?

Просто там написано "рассчитал". Стало быть, опечатка.
Я не думаю, что это очень страшно. Такие задачи богаче идеями, нежели более простые упражнения и их полезно увидеть и осознать. Тут, к примеру, видно, что переход к другому факториальному кольцу позволяет получить нетривиальную информацию по Z и много другого-прочего. На лекциях времени нет на это, что происходит на семинарах - я не знаю. Но так или иначе умение рыться, находить и встраивать найденное в свою систему знаний - полезный навык.
Вот когда подобная задача появляется на письменном экзамене - это да, печально. Посмотрим, как с этим обстоят дела в НМУ. В моём ВУЗе экзамен почти всегда сдавался на ура любым, кто нормально работал в семестре, но там не писали на сайте про талантливую молодёжь.

Я тоже люблю задачи, которые могу решить сам гораздо больше тех, над которыми кучу времени думаешь, потом находишь где-то идею решения и понимаешь, что не придумал бы никогда. Опять же, мне в своё время давали именно такие, но они в основном бывали очень элементарны, а представить непростую задачу в таком виде, чтобы она всё-таки решалась - требует серьёзного мастерства и времени. Кроме того, уровень слушателей всё-таки разный и не всегда точно представляется лектором.
Смирнов в этом смысле вполне адекватен, по-моему. По крайней мере пока.

За совет с задачами большое спасибо.

Запрос в скайпе послал. Я тоже так подумал, но решил сначала глянуть в лекции, прежде чем решать. Завтра уже досмотрю шестую, будет понятно, надеюсь.
Кстати, по-моему, в задаче опечатка. Там слева написано U+V, при том, что V - объемлющее пространство, то есть U+V это просто V. Должно быть, мне кажется, U + W.

4.5 Вы решали через производящие функции? Листочек вроде называется так, а обязательных задач на них - одна. Либо я туплю и с их использованием задачи решаются красивее и проще...

Послал запрос на второй ник.

Вы построили самый первый изоморфизм в шестом листке? Я что-то запутался. Кстати, я там ниже про тригонометрические многочлены глупости написал. Самое простое - действительно к ним переходить. Там нужно только знать, что никакой многочлен от sin, cos степени меньше 2 не обращается в нуль как функция, а мы это, вроде, знаем из первой части задачи.

Я пробовал (x,x), (x,0) и вот Ваш (x,-x) - никак не могу корректно определить отображение...

Спасибо! Кстати, для пар (x,x) тоже работает, только отображать надо u+w\mapsto (u, -w) + U\cap W.

Упс. То-то удивится кто-то, получив мой запрос.
Я имею в виду доказательство через Гауссовы числа (Дедекинда, кажется). К нему подводит весь листок (что видно, когда уже знаешь решение). Его же излагают в учебниках по алгебре (какие я смотрел). Видимо другие ближе теории чисел и там пишут их (хотя кажется в Niven, Zuckermann, Montgomery тоже Гауссовы числа, но не уверен).

С третьим листочком у меня те же проблемы. Я вообще не уверен, что фактор - тригонометрические многочлены. Идеал, по которому факторизуем - да, поскольку в нём выполнено тождество как для синуса с косинусом. Но те, что в нём не лежат - почему будут тригонометрическими?
В Шафаревича лезть не охота, хоть и стоит на полке. Во первых, он сильно выше уровнем, во вторых, меня отталкивает его Основные понятия алгебры, так многими любимая. Если и алгем у него такой - обидно. Хотя отзыв читал хороший где-то. Ну и, опять же, должно же само решаться - обидно в книжку лезть пока что...

Это, по-моему, совсем не строго, потому что тригонометрические функции - это некоторые степенные ряды. А через окружность в школе они определяются тавтологически, по-моему. Вроде бы нестрого угол определён или что-то в этом роде. Мне кажется, что надо просто отобразить x на косинус, а y - на синус и посмотреть свойства отображения.

Я вдруг осознал очевидный факт - нам вообще не нужно переходить к тригонометрическим многочленам. Для мотивации это хорошо, но уже зная формулы урниверсальной подстановки мы же можем попросту перевести x и y в две соответствующие дроби от какой-то переменной z и дальше просто проверять, что это даёт эпиморфизм на C(z), у которого ядро - идеал (x^2 + y^2 - 1). Тогда всё можно сделать ни разу не сославшись на тригонометрические функции (тем более, что доказывать изоморфность тригонометрических многочленов чему-нибудь, на мой взгляд, не проще).

А не получится сопоставить умножение с пересечением, сумму с объединением, единица - объемлющее множество (соответственно нейтральность по отношению к пересечению), ноль - пустое множество? Мне всегда казалось, что именно по этой причине так называется...

Точно!

Решил почитать книгу Городенцева по алгебре. Сразу возник вопрос по поводу упражнения 1.2. Давно интересовало, как решать такие задачи с множествами. Объясните, если не сложно.
Задача: Можно ли выразить разность множеств через пересечение и объединение множеств?
Я сделал пару попыток, и мне кажется, что нельзя. Но как это доказать строго? Если бы было можно, то мне было бы достаточно предъявить такое равенство, взять произвольный элемент из множества справа, доказать одно включение, затем взять элемент из множества слева, доказать другое включение, тем самым доказать равенство. И все. Но, так как этого сделать нельзя, то надо доказать, что это принципиально невозможно.

Вообще, я тоже диаграммами это представлял. Мне кажется, я нащупал решение. Но тут чисто формальный подход. Если есть дав множества А и В и операции пересечения и объединения, то мы можем получить какое-то множество типа { x | (x e A) или ((x e B) и (x e А)) }. Ну или что-то в этом роде. В любом случае, логическими союзами и/или будут разделятся высказывания, что x принадлежит чему-то там. По определению разности, A\B := { x | (x e A) и (x (не e) B) }. В определении объединения и дополнения нет высказывания (x (не e) множество), получить его из комбинаций высказываний (x e A), (x e B) и союзов и/или нельзя.

А куда делся Капинус?

Был активен, создал сообщество
А потом пропал

Капинус относится к длинному списку героев, активно увлекавшихся математикой, доросших по уровню примерно до начала второго курса НМУ, а затем по тем или иным причинам махнувших рукой.

Death lies before us as we sail through the Ocean of Youth.

Сообщество умерло