Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Misha Verbitsky ([info]tiphareth)
@ 2010-09-23 01:57:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: tired
Музыка:Pantheon - ORION
Entry tags:math, vshe

темы для "курсовой"
Кстати,
темы для "курсовой"
(научная или реферативная работа, которую
обязан писать каждый студент матфака вышки, каждый год).
Реферативное мне скучно, так что получилось сочинение
в жанре "решите сами либо найдите в гугле ответ".

Кладу сюда, чтоб не потерялось. Комменты welcome.

1 курс

А. Докажите теорему Тихонова о
метризации (любое нормальное топологическое
пространство со счетной базой метризуемо).
Пользуйтесь литературой.

Б. Докажите теорему Островского:
любая норма на Q эквивалентна архимедовой
либо p-адической. Пользуйтесь литературой.

В. "Тело" есть ассоциативная алгебра с делением.
Докажите, что любое конечное тело коммутативно.

Г. Постройте счетное, связное хаусдорфово
топологическое пространство. Может ли оно
быть компактно? Решение лучше поискать
в литературе (Гуглем, например), самостоятельно
найти такую штуку будет трудно.

2 курс.

А. Пусть T -- (гладкий) диффеоморфизм S^2, сохраняющий
ориентацию. Докажите, что он изотопен тождественному.

Б. Аменабельная группа есть группа G, снабженная инвариантной
аддитивной положительной мерой на кольце всех подмножеств
(можно считать, что мера G равна 1). Докажите, что
Z^n аменабельна, а свободная группа F_n от двух и более
образующих не аменабельна. Докажите, что группа, содержащая
F_2, не аменабельна.

В. Докажите "альтернативу Титса": если группа Ли
не разрешима, она содержит свободную группу F_2.
Решение поищите в литературе, если не получается.

Г. Определим группу, свободно порожденную
классами конгруэнтных треугольников
на плоскости Лобачевского, и профакторизуем
по соотношению A = \sum A_i, если
треугольник A разбит в объединение
треугольников A_i, пересекающихся
по границам. Найдите, какая группа
получится.

Д. Пусть на кольце Q рациональных чисел
задана метрика d, причем сложение и умножение
непрерывны в d, а пополнение Q по d связно и
локально компактно. Докажите, что эта метрика
задает вещественную топологию.

Е. Пусть G -- компактная, связная топологическая
группа, которая содержит подгруппу G', изоморфную Q/Z,
причем G' плотна в G. Докажите, что G изоморфно окружности.


3 курс.

А. Если вы не знаете определение орбиобразия,
найдите в литературе. Определите неразветвленное
накрытие орбиобразий. Найдите все двумерные орбиобразия,
не допускающие неразветвленных, гладких накрытий
(указание: все они рода 0 и 1). Решение этой задачи
можно поискать в Гугле, спросить у кого-нибудь,
либо сделать самостоятельно.

Б. Пусть G -- компактная группа Ли с левоинвариантной
римановой метрикой $g_0$. Решите уравнение потока
Риччи $g_t' = - 2\Ric(g_t)$ в классе левоинвариантных
метрик. Найдите, к чему сходится.

В. Гиперкомплексная структура есть набор трех
интегрируемых комплексных структур I,J,K, которые
удовлетворяют кватернионным соотношениям. Постройте
левоинвариантную гиперкомплексную структуру на группе
SU(3) (она была построена независимо Домиником
Джойсом и физиками Ph. Spindel, A. Sevrin, W.
Troost, A. Van Proeyen, и излагается в куче мест;
если не получится самостоятельно, в архиве.орг
найдите статью Grantcharov, G., Poon, Y.
"Geometry of Hyper-Kahler Connections with
Torsion" и изучите). Гиперкомплексное
многообразие допускает связность
без кручения, которая сохраняет I,J,K
(такая связность называется связностью
Обаты, и она единственна; ее конструкция
приводится в статье Каледина "Integrability
of the twistor space for a hypercomplex manifold",
доступной архиве.орг). Найдите голономию связности
Обаты на SU(3). Ответ на этот вопрос науке
неизвестен, и работу, где оно вычисляется,
можно будет опубликовать.

Г. Плоское аффинное многобразие есть фактор
открытого подмножества U в R^n по дискретной группе
аффинных преобразований. Геодезическая плоского
аффинного многообразия есть образ прямой из U.
Докажите, что каждое плоское аффинное
компактное многообразие содержит плотную
геодезическую. Ответ на этот вопрос мне
неизвестен (хотя, возможно, известен
специалистам).



(Добавить комментарий)

1 курс А
(Анонимно)
2010-09-23 09:06 (ссылка)
Неверно. Элемент t, чьи степени плотны в G, можно найти в любом торе G.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)

Re: 1 курс А
[info]tiphareth
2010-09-23 09:26 (ссылка)
Ступил, спасибо.
Поправил формулировку.

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-09-23 09:24 (ссылка)
К 3 курсу все студенты не разбегутся от такого хардкора?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 09:27 (ссылка)
Есть много простых реферативных задач, есличо

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-09-23 09:44 (ссылка)
> $g_t' = - 2\Ric(g_t)$
Во блин, а я всю жизнь ставил знак производной в TeX'е через \prime.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-09-23 17:46 (ссылка)
facepalm, как можно.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-09-23 13:55 (ссылка)
Поскольку на первом курсе А и Б именные, то красиво было бы и для В имя написать (Веддербёрн).

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 20:34 (ссылка)
Облегчать пациенту поиск в Гугле? Не уверен, что стоит,
получится совсем просто

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-09-23 20:38 (ссылка)
Ну, я ж только потому, что предыдущие были с именами — за автора В обидно стало. Могу стереть коммент.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-09-23 21:18 (ссылка)
не умничай тут, артём

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-09-23 21:58 (ссылка)
Молчу, Марьиванна, молчу...

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:55 (ссылка)
Да ладно, кому не лень будет посмотреть в Гугле, они найдут

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:55 (ссылка)
Кстати, не факт, что это Веддерберн, я слышал, что Дирихле

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-09-23 21:57 (ссылка)
Википедия говорит, что В. Ещё в книжке Джекобсона (одной из)...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:59 (ссылка)
Да, Дирихле про другое. Впрочем, у Веддерберна было неправильно

The original proof was given by Joseph Wedderburn in 1905, who went on to prove it two other ways. Another proof was given by Leonard Eugene Dickson shortly after Wedderburn's original proof, and Dickson acknowledged Wedderburn's priority. However, as noted in (Parshall 1983), Wedderburn's first proof was incorrect – it had a gap – and his subsequent proofs came after he had read Dickson's correct proof. On this basis, Parshall argues that Dickson should be credited with the first correct proof.

http://en.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%27s_little_theorem

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]ulysses4ever.livejournal.com
2010-09-23 22:03 (ссылка)
Любопытно, спасибо!

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-09-24 19:23 (ссылка)
Поскольку эта теорема — первая в книжке Андре Вейля с заманчивым названием «Основы теории чисел», пациентам, кажется, и так будет просто. :) В русскоязычном издании она там буквально на первой странице основного текста.

akater
(Пишу как аноним, чтобы получилось screened, на всякий случай.)

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-24 22:37 (ссылка)
Да черт с ним, найдут же, если поищут

(Ответить) (Уровень выше)


[info]dmitri83
2010-09-23 15:11 (ссылка)
А что за товарищ Такаси Такебе? В ВШЭ стали набирать иностранных преподавателей теперь и по математике?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 20:29 (ссылка)
Угу. Из ms.u-tokyo.ac.jp
Занимается чем-то типа интегрируемых систем.
По-русски говорит весьма бегло

(Ответить) (Уровень выше)


[info]kaledin
2010-09-23 20:40 (ссылка)
2B -- tut che-to ne tak v opredeleniyakh. U Z^n, v silu invariantnosti, mera vsekh tochek odinakova? ili ty imeesh' v vidu invariantnaya otnositel'no dejstviya sopryazheniyami?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:16 (ссылка)
Мера конечных множеств равна нулю, очевидно.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-23 21:47 (ссылка)
Mera schetno-additivnaya, odnako. Po opredeleniyu, odnako. Z^n schetno.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:53 (ссылка)
Не, конечно-аддитивная

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:54 (ссылка)
"снабженная инвариантной аддитивной"
надо было, наверное, написать конечно-аддитивной, но я решил, что плеоназм

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-23 22:11 (ссылка)
Kakoj nafig pleonazm??? "mera" po opredeleniyu schetno-additivnaya vsegda. Luchshe ehtu shtuku voobshche meroj ne nazyvat'!! Tao, obrati vnimanie, govorit "mean".

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 22:59 (ссылка)
>"mera" po opredeleniyu schetno-additivnaya vsegda

да-да, а "аддитивная мера" это не "счетно-аддитивная",
а просто аддитивная.

Функция \mu:\mathcal{F}\to[0,\;\infty] называется конечно-аддитивной мерой (иногда объёмом), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. \mu(\varnothing)=0.
2. Для любых A,B\in\mathcal{F}

\mu A+\mu B=\mu(A\cup B)-\mu(A\cap B)

Особенности русской терминологии.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%80%D0%B0_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0

На будущее, лучше писать "конечно-аддитивная", ты прав.
Другое дело, что если кто-то ищет счетно-аддитивную инвариантныю
меру на Z, ему лучше поискать тему попроще.

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-23 23:49 (ссылка)
A, ok. No ty proyasni vse zhe.

>Другое дело, что если кто-то ищет счетно-аддитивную инвариантныю меру на Z, ему лучше поискать тему попроще.

Ne, nu oni zhe studenty. On vidit yavnyj marazm, kompleksuet, ...

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-24 00:09 (ссылка)
Угу, да, надо
у меня глаз замылился от чтения лекций про инвариант Дэна

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-23 21:18 (ссылка)
Я, кстати, писал как-то про конструкцию этой штуки, придумал ее сам и
очень впечатлился
http://lj.rossia.org/community/ljr_math/36932.html

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-24 01:37 (ссылка)
Mne smutno pomnitsya, chto tam nado bylo usrednyat' funkcii: tipa, dlya Z i lyuboj ogranichennoj f na Z posledovatel'nost' \frac{1}{n}(f(-n)+...+f(n)) skhoditsya, a dlya F_2 uzhe net... pokhozhe?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-24 02:23 (ссылка)
Скажем, что подмножества A, B группы конгруэнтны, если
gA=B для какого-то g. F_2 можно разбить на 5 (кажется)
подмножеств, A_i, причем F_2 конгруэнтно обьединению
A_1 и A_2, и конгруэнтно обьединению A_3, A_4, A_5.
Таким образом строится парадокс Тарского.
Для коммутативных (и даже разрешимых) групп
такого не бывает в силу аменабельности,
в частности, парадокс Тарского не работает
в R^2 и работает в плоскости Пуанкаре.

Собственно, определение аменабельности
придумано фон Нойманом в процессе медитаций
над парадоксом Тарского, аменабельные группы
движений - это те, для которых трюк Тарского не работает.

С суммированием это наверное вот этот аргумент
http://en.wikipedia.org/wiki/Følner_sequence
но он изрядно мутный и пакостный

Такие дела
Миша

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-24 03:28 (ссылка)
>но он изрядно мутный и пакостный

Voobshche da, no dlya svobodnykh grupp i dlya Z^n vrode dovol'no prosto poluchaetsya. Ideya v tom, chto beresh' shar diametra N v word metric, i smotrish', naskol'ko velika raznica mezhdu ob'emom ego dlya N i N+1. Esli polinomial'nyj rost, ona mala po sravneniyu v ob'emom shara, inache togo zhe poryadka.

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-24 09:12 (ссылка)
Так я же говорю, придумал простое доказательство
http://lj.rossia.org/community/ljr_math/36932.html

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-24 10:35 (ссылка)
Тут важно, что без ультрафильтров такой аргумент не работает,
и в принципе не может, а применение ультрафильтров далеко не прозрачное

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]kaledin
2010-09-24 14:38 (ссылка)
V smysle, postroenie ne rabotaet? da ne, vrode rabotaet -- beresh' lyubuyu meru, usrednyaesh' po gruppe vysheopisannym obrazom?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-24 15:51 (ссылка)
не, не работает
оно зависит от аксиомы выбора, например, а твое не зависит

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-24 15:53 (ссылка)
Апропос - я сегодня рискую остаться без принимающих задачи в 19:20
Денис (сегодня) точно не придет, например

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-09-23 21:28 (ссылка)
Миша, как вам матфак ВШЭ, и состав который там? Может что нибудь годное из него получится?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 22:00 (ссылка)
Пока все очень нравится, но я недолго там

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]defolt
2010-09-23 22:24 (ссылка)
В смысле у вас там не постоянное место работы?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-23 22:51 (ссылка)
я пока вообще не оформлен
но вроде да, постоянное

(Ответить) (Уровень выше)


(Анонимно)
2010-09-24 19:19 (ссылка)
Все это словоблудие не имеет никакого отношения к нуждам Русского народа. А пора бы опомниться и задуматься, кому всё это выгодно.

(Ответить)


(Анонимно)
2010-09-24 22:27 (ссылка)
ТеХовские теги в вордовском документе выглядят как пришельцы из другого мира

(Ответить)


[info]defolt
2010-09-24 23:53 (ссылка)
Миша, что думаете, хорошо студенту на матфаке вышки?
Есть ли смысл идти или НМУ и книжек дома хватит с головой?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-09-25 00:07 (ссылка)
Думаю, хорошо. Если есть мозги, сдавать нефиг делать. Идти имеет смысл для живого общения, с Мишей например.

Теоретикам хорошо, они имеют дело с незамутненной реальностью. Нам же, системщикам и вообще айтишникам, надо общаться с реальностью замутненной, например с существующей хардварной индустрией. Мы ее воспринимаем как внешнюю среду, как в "За миллиард лет до конца света", но надо как минимум об этом знать. Тогда мы со временем всё сделаем охуительно, всё будет бесплатно и охуительно, ресурсы будут вращаться в цикле бесконечно и ваще.

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-25 00:27 (ссылка)
Лучше идти - в НМУ больше года-двух почти никто не выдерживает.
психологически трудно

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-09-25 01:11 (ссылка)
>психологически трудно

Всмысле психологически? Энтузиазм пропадает?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-25 01:34 (ссылка)
угу

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2010-09-25 01:41 (ссылка)
А почему? Не готовы к абстрактности?

(Ответить) (Уровень выше) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-25 02:28 (ссылка)
Большинству людей нужно обязалово, чтоб они чем-то занимались
полнейшая халява сбивает с фокуса

(Ответить) (Уровень выше)


[info]justpasha.livejournal.com
2010-09-26 22:31 (ссылка)
насчет 2 курс, В:

Вообще-то альтернатива Титса для произвольных линейных групп, и доказательство довольно замысловатое. Для групп Ли получается в две строчки, по модулю теории групп Ли. Или типа это и имелось в виду?

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]tiphareth
2010-09-26 22:55 (ссылка)
Это реферативная задача - надо выписать внятное доказательство
из литературы. Учитывая, что в стандартных учебниках ее нет, непростая

(Ответить) (Уровень выше)


[info]tiphareth
2010-09-26 22:56 (ссылка)
все-таки второй курс, у них групп Ли нет даже

(Ответить) (Уровень выше)


[info]rus4
2010-09-29 19:43 (ссылка)
В 1Г знаю два примера: один "арифметический" и один "бесконечномерный". Интересно было бы понять, как они связаны.

(Ответить)