Попробую частями :)
1. Раньше можно было заходить на территорию монастыря (там еще французская школа была) на углу уже Лубянки и Сретенского бульвара - сейчас нет? Там все же получше с воздухом и местом чуть. Есть еще небольшие дворики между Костянским переулком и тем, что дальше к Сахарова.
2. Слинг или кенгурушка с лежачим положением (т.к. деть маленький) - если позвоночник в норме - то самое то.
3. Под слинги есть специальные куртки так чтоб можно было носить и внутри. В Москве, правда, только полукустарного производства. Я покупала, кажется, в Оранжевой маме. Если не найдете, могу порыть ссылочек, но ИМХО, в инете вполне можно найти. Чуть подрастете - там еще много славных прибамбасов :)
4. Опять же в слинге, нырнув в Цветной или Тургеневскую - что там Вам ближе (можно понять время с не самой давиловкой) выныриваете у какого-нито парка, т.е. рассмотрите вариант - нет ли в 10-15 минутнометрошной доступности чего-то подходящего. А вдруг?