[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| September 27th, 2008 | |
|---|---|
| 09:35 pm [Link] |     Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия? История с мотивацией, интерпретацией, выводами и примечаниями 0. Мотивация Люди вот спорят: то ли математика — лишь служанка физики, то ли физика — лишь подопечная математики, или же это вообще В очередной раз я пытаюсь ответить, почему студенты понимают всё меньше и меньше. Для меня является аксиомой утверждение о том, что когда эта проблема будет решена, споры про служанок и подопечных закончатся, и тогда мы «все вместе сядем и начнём считать», в точности, как предлагал примирять спорщиков Лейбниц (ну, если не ошибаюсь, это именно он так говорил; а вообще-то надо будет проверить). 1. История Математикам очень свойственна любовь к отображениям. «Отображением» они уважительно называют то, что простые люди (типа «инженеров») называют функцией. У функций, помимо уважительного имени «отображение», есть и сакральное имя «морфизм», но морфизмами математики называют только те функции, которые устроены очень хорошо, образцово-показательно. А простым людям слово «морфизм» ни к чему. Впрочем, уважительное обращение к функции по имени «отображение» и в самом деле очень полезно. Если встретите где-нибудь функцию f : X → Y — не стесняйтесь называть её время от времени отображением множества X в множество Y, а если, к тому же, образ множества X при отображении f совпадает со всем множеством Y, то можно даже назвать f отображением множества X на множество Y. Это сразу выдаст в вас искушённого человека, а не «просто инженера». Математики, на самом-то деле, только изучением отображений и занимаются, поэтому немудрено, что они их так любят. Скажу больше: математики настолько любят отображения, что очень часто посвящают им знаменитые своей строгостью математические определения. Вы думаете, кривая — это такая изогнутая линия? Математики думают иначе: кривую они определяют как некоторое отображение, образом которого является эта самая изогнутая линия.1) Это далеко не единственный пример, это тенденция. Обычные люди называют семейством набор {x1, x2, x3, …} (конечный или бесконечный) занумерованных элементов, но математики называют семейством некоторое отображение, образом которого является этот набор.2) Совсем смешно получается, когда простые люди называют представлением чисел (векторов, функций и т.д.) запись этих чисел (векторов, функций и т.д.) в какой-то специальной форме, а математики в ответ на это начинают твердить, что представление — это на самом деле некоторое отображение, образом которого является та специальная форма, в которой мы записываем числа (векторы, функции и т.д.).3) Неизвестно, почему математики поступают именно так, намеренно запутывая простых людей своими выдумками, — но неизвестно лишь до поры до времени, пока сам не станешь математиком и не обнаружишь с удивлением, что эти запутанные определения, в которые математики норовят вставить слово «отображение» или даже словечко похлеще («морфизм»), очень даже естественны. И тогда простые люди, уже ставшие математиками, начинают объяснять тем простым людям, которые только готовятся стать математиками, что кривая это отображение, семейство это отображение, и представление — тоже… Удивительно, но так и в самом деле повторяется из года в год. Студенты приходят на лекции, выслушивают непонятные определения, тратят годы на то, чтобы понять, о чём в этих определениях на самом деле идёт речь, а впоследствии (некоторые из них) рассказывают те же самые непонятные истории новым студентам, всерьёз удивляясь: «Ну чего же тут непонятного, ребята?». Получается, что возможны только два варианта: либо «устаревшая математика» в доступном изложении, либо «современная математика» в недоступном изложении. Всё это может приводить к следующим двум убеждениям: (1) современная математика — занятие для избранных; (2) классическая, то есть, «устаревшая» математика — блюдо для тупых и отсталых, а также для «простых инженеров». И что же дальше? 2. Интерпретация Как (1), так и (2) — заблуждения. Прежде всего, «устаревшей математики» не бывает, а бывают: а) устаревшее изложение; б) ставшие неактуальными задачи. К пункту б) мы ещё как-нибудь вернёмся, но в другой раз; пока же обратим внимание на а) — тут тоже хватает материала для размышлений. Итак, есть устаревшее изложение и есть современное изложение. Именно в этом уверено абсолютное большинство математиков, и хорошо, потому что это чистая правда. Беда4) в том, что в наши дни разница между современным и устаревшим изложениями чувствуется особенно остро, а вот разница между современным и модернистским изложениями, увы, нередко не чувствуется вообще, и два этих понятия сливаются в единое целое, как точки в нехаусдорфовом пространстве. И правда, казалось бы, чего тут чувствовать — современный и есть модернистский. Однако в данном случае лингвистическое сходство обманчиво, и присутствует оно не в той области, где надо. Модернистская художественная литература запомнилась человечеству, в частности, тем, что зашифровывала мысль. Это был такой художественный приём. Модернистская научная литература точно так же зашифровывает мысль, а вот к чему он нужен, этот приём, нам пока не известно. Не исключено, что он также художественный: возможно, Кафка и Фолкнер, «Улисс» и «Петербург»5) настолько по нраву пришлись впечатлительным интеллектуалам, что они решили и о математике писать так, чтобы понять их тексты можно было только после исследования, расшифровки, разгадывания загадок, вхождения в искусно сплетённый лабиринт из бисера. А возможно, модернисты-писатели всего лишь почувствовали своими фибрами тьму помешательства, постепенно обволакивающую человечество, и их труды явились не причиной омодернизирования реальности, а лишь одним из её признаков.6) Как бы то ни было, положительное для искусства далеко не всегда положительно для науки и образования. Наличие постмодернистской ямы, в которую скатилась математика и в которую вполне могут упасть (если ещё не упали) все дисциплины, с которыми она связана, является тому подтверждением. 3. Выводы Я охотно верю, что модернистское математическое изложение навсегда повергло своего позитивистского предка, добродушно щипавшего травку в XIX веке, в результате естественного отбора. У тех идей (теория множеств, абстрактная алгебра, математическая логика), без которых не было бы модернизма в математике, несомненно, больше светлых сторон, чем тёмных. В то же время я ни капли не сомневаюсь, что откат неизбежен. Jurgen Jost считает, что этот откат на самом деле и следует именовать постмодерном в науке. Сейчас я мог бы противопоставить модернизму авангард, но я этого делать не хочу, потому что примеров авангардистского изложения математических идей наверняка крайне мало (я не могу припомнить ни одного, хотя небезызвестная книга У. Рудина по основам анализа имеет в себе немножко этого авангардистского заряда), а главное — потому что их и не должно быть много. Потому что от авангардной эстетики один шаг до банального ангажирования публики, а это уж в точности та самая псевдонаука, о которой нынче наслышаны все. Между прочим, свою лепту в размножение таких авангардистов внесли и модернистские обороты типа этого: 2). История про «отображения», с которой я начал этот рассказ, даёт не единственный и не главный, но наглядный даже для постороннего человека пример того, как математическое образование создаёт преграды самому себе. Собственно ответ на вопрос, почему студенты понимают всё меньше и меньше, изложен в п.2. 4. Примечания 1) Более точное определение: кривой в (топологическом) пространстве E называется непрерывное отображение f : [0; 1] → E. 2) Более точное определение: семейством {xi}iєI элементов множества X называется отображение f : I → X. (В скобках замечу, что этот пример даже среди себе подобных выглядит натуральным мракобесием.) 3) Более точное определение: представлением (группы) G в (пространстве) X называется гомоморфизм f : G → Aut(X). 4) Некоторые заслуженные пожилые академики полагают, что это даже катастрофа. 5) Авторства Дж. Джойса и А. Белого соответственно. 6) Человеку с тем уникальным, свойственным только России, отношением к искусству, скорее захочется поверить в первую версию. Человеку более прагматического склада ума и характера — во вторую. ______________ История рассчитана на весьма широкий круг читателей. UPD: На этот раз комментарии превалируют в большом lj. Tags: математика, образование |
| Comments | |
Есть такие понятия как конкретное и абстрактное мышление. Последнее присуще сравнительно небольшому количеству людей, как заявляют результаты исследований. Обычно (по мере необходимости) абстрактное мышление можно развить. Среди этих математиков (даже не так важно, думаю, математиков ли) предостаточно тех, кто погружается в науку с ракурса именно мышления конкретного. Потом развивается абстрактное. Или не развивается. Я не могу осознать, почему и (как это от первого лица мыслится) у человека не может быть абстрактного мышления. А вот Кафку, Фолкнера и Белого с товарищем Джойсом попросила бы не выравнивать. Главная проблема образования вообще и математического в частности - в том, что называется системным научным кризисом. Человек за свою жизнь не может освоить ядро культуры, т.е. тот минимум, который необходим для качественного развития и прогресса цивилизации. Оно слишком объёмное для человеческого мозга. Специализация, частично решающая эту проблему, как кажется, уже исчерпала себя. Научная и образовательная инфраструктура уже прияла более-менее оптимальную форму, и за счёт этого тоже нельзя получить большого выигрыша. Даже качественные скачки в политике государств, такой как введение обязательного 20-летнего образования, не решат проблемы. Её может разрешить только усовершенствование самого человека как элемента цивилизации. (Reply to this) (Thread) > Человек за свою жизнь не может освоить ядро культуры А есть какое-то общее описание, что в это ядро входит? (Reply to this) (Parent) То есть, откуда вообще уверенность что это ядро объективно существует, что составленный перечень чего-то-там будет единственно верным. В области культурного целеполагания понятия об истинности размыты. Условно говоря, можно считать ядром объединение знаний из средней школы и по всем университетским специальностям. А вообще споры об этом (например, в рамках дискуссий по системному кризису образования) не прекращались бы - если бы в них был смысл. А так смысла нет, потому что всё равно ни одному человеку не освоить и малой его доли. Культутное ядро - это больше теоретическая конструкция. Существует некоторая параллель со средним (общим) образованием: школа должна была бы давать знания обо всём понемножку из этого ядра. Но на данный момент школьное образование не даёт и отдалённого представления о современной науке и технологии, и ему даже не ставится цели формирования такого представления у учащегося. Решается более узкая задача - подведение десятилетним образованием школьника к осознанному выбору дальнейшей специализации (и та решается плохо, конечно). Всё же непонятно, что это за ядро такое, которое "всё равно не осилить". Получить общее представление о том что бывает - не так уж и сложно. Вот углубить это знание по всем фронтам - это нереально, но оно и не нужно. (Reply to this) (Parent) | |
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}