[Recent Entries][Archive][Friends][User Info]
| October 19th, 2008 | |
|---|---|
| 11:20 pm [Link] |     Вернёмся к вопросу о классификации. ![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo-lj.gif) dmitri_pavlov@lj считает очевидным, что анализ — это то, где существенно используются неравенства. Кто или что формирует общественное мнение в этом вопросе, я так и не знаю. У меня такое впечатление, что это вообще фольклор, а ключевых текстов и документов на эту тему нет. Фольклор — ибо слишком уж разные мнения на эту тему у разных людей, и бессмысленно пытаться писать ключевые тексты об этом, потому как не становятся они ключевыми, всё время выпрыгивает кто-нибудь и предлагает «тоже справедливое», но чуть ли не противоположное мнение.Как бы там ни было, около года назад у меня имелось точно такое же мнение об анализе и алгебре: анализ это математика неравенств, а алгебра — математика равенств. Но такая парадигма мне показалась нехорошей через некоторое время, потому что если принять слово «математика» за нулевой уровень иерархии, а на первом уровне оставить только два слова («алгебра» и «анализ»), то математика вся будет какой-то насквозь дуальной. К этой позиции я обнаружил у себя две претензии: 1) геометрия это не синтез алгебры и анализа, это скорее синтез (алгебры&анализа) и чего-то внешнего по отношению к (алгебре&анализу). К этому мы вернёмся ниже, а пока перейдём ко второму пункту; 2) (метафизическая претензия) с общефилософской точки зрения дуализм олицетворяет рацио, а вот «троичный» (например) подход, сохраняя этот алгебро-аналитический дуализм в себе, имеет и нечто другое в пороховницах. Человечество решило, что троичное значит иррациональное, и оно так решило неспроста. Так вот, я считаю, что иррационального в математике больше, чем кажется. Мало того, что иррациональных чисел больше, чем рациональных, — это аргумент схоластический и недостаточно хорошо действует на публику, которая достаточно далеко ушла от этого примера — дело прежде всего в том, что мысль (1) «математика есть лишь очень сильно развитая и эволюционировавшая бинарная логика» хороша, но хороша лишь на определённом этапе, скорее на начальном. Я сужу по себе: я пришёл к выводу (1) во времена, когда я был то ли в первом, то ли во втором семестре. (1) несколько лет оставалось моим фундаментальным убеждением, и я не думаю, что было бы ошибкой классифицировать его как «религиозное» (я просто не могу придумать термина лучше). Сейчас я стараюсь Детям можно объяснять (1), чтобы они ничего не боялись, но выросших детей надо от (1) оберегать, чтобы у них что-то получилось. Но нас сейчас беспокоит не столько это. Я говорю о том, что разделять математику на алгебру и анализ, tertium non datur, я не хочу. Вопрос о том, помещать физику (или её аналог) на 1-ю ступень иерархии или же на (-1)-ю (выше слова «математика») или, быть может, рядом, как известно, очень быстро обрастает лесом лирических отступлений, и вообще, это отдельная сложная задача. Мы сейчас и не об этом. Мы о геометрии. Геометрия понимается в такой общности, чтобы оказаться по соседству с анализом и алгеброй, то есть, топология, скажем, будет веточкой геометрии. Но правда ведь: главное, парадигмообразующее топологическое понятие «окрестность» в общем случае не имеет никакого отношения к равенствам-неравенствам, это понятие имеет созерцательное происхождение. Так уж сложилось, что сильные топологии соответствуют нормам (или, там, метрикам), и окрестности задаются неравенствами. Но это частный случай. Фундаментальная идея (которая проявляет себя в полной мере в пространствах со слабой топологией) здесь совсем другая, и даже если очень хочется задавать окрестности неравенствами, это далеко не всегда можно делать.* Если считать, что алгебра — это математика равенств, а анализ — это математика неравенств, то перед нами автоматически возникает дихотомия, которую не преодолеть. Третье место (и последующие места) при таком подходе обязано пустовать, это подход слишком авторитарный. Наверное, он по-своему хорош (я пытался создавать классификацию на его основе как-то), но мы лучше пойдём другим путём. Подробнее о нём будет в следующий раз, а сейчас я скажу про предлагаемые методы классификации. Вместо «равенств-неравенств» я попробую классифицировать дисциплины по набору ключевых понятий (для алгебры это будут гомоморфизм и отношение эквивалентности, для анализа производная и дифференциал, для геометрии, наверное, кривая и окрестность**). По собственным числам оператора, так сказать; по характерным точкам, вокруг которых происходит самое главное и интересное. Критерий выбора: эти понятия должны быть настолько просты, чтобы их понимали школьники (и я, между прочим, давно и сильно жалею, что в обязательную школьную программу не включено отношение эквивалентности, потому что это ничуть не менее важно, чем «уметь сдачу отсчитывать») и чтобы они отражали, какими методами пользуются в соответствующих дисциплинах. Я хочу, чтобы ключевые понятия были выбраны так, чтобы они проходили красной нитью через всё соответствующее направление математики. Цель этой затеи можно сформулировать так же, как формулирует цель В. Босс в предисловии к своим «Лекциям», с незначительными изменениями. Цель в том, чтобы дать понятное (как минимум) и к тому же интересное (как почти*** максимум) каждому**** изложение о том, что вообще представляет собой современная математика. Классификация играет в этом основную роль. Ведь это очень сильно действует на раннем этапе обучения: «дело обстоит так-то и так-то», «других решений у уравнения нет», «все поверхности второго порядка бывают только трёх типов», «простые конечные группы слишком большим разнообразием не отличаются: [...]»*****, etc. Хочу отметить, что у меня здесь нет научно-популярных интересов. «Научно-популярное» рассматривается как факультатив, как чтение на досуге, я же думаю о том, какой самая настоящая общеобразовательная программа должна быть. К тому же, я и сам не понимаю, что такое современная математика (раз у меня трудности типа такой:**), и это неплохой способ разобраться. Наконец, я ещё не видел ни одной схемы обучения математике, которая меня устраивала бы целиком и полностью, хотя я видел очень хорошие аппроксимации таких схем (я специально решил не говорить о таких схемах в единственном числе). А вопрос об оптимальном обучении для меня очень важен потому что... ну, не знаю, людям нравится вышивать или футбол регулярно смотреть, а я вот это дело люблю, так уж сложилось. ___________________________ * Это неформализованное утверждение. Но оно верно настолько, насколько нам это в данном случае нужно. ** Над ключевыми понятиями геометрии я ещё думаю. *** Я полагаю, предела совершенству нет. **** Конечно, здесь должна быть разумная нижняя граница по возрасту. Я думаю, что эти вещи средний учащийся может понять в 15 лет вполне, а в случаях, когда учащийся заинтересован в предмете, эта планка, конечно, должна быть на пару лет опущена. Личности, которые в 15 лет интересуются исключительно бандитизмом и пьянками, также исключаются из области наших интересов. ***** Ну, в этом примере дальше несколько длинно, и я опускаю. UPD: В комментариях dmitri_pavlov объясняет, что классификация уже есть, и я, таким образом, изобретаю велосипед, причём изобретаю его неправильно. Но я ещё сопротивляюсь. Tags: математика, образование |
| Comments | |
Спасибо. Вот если бы так сказали десять человек, я бы понял, что я пишу непонятно. А эти виртуальные десять (уже девять) человек всё молчат. (Reply to this) (Parent) | |
![[info]](http://lj.rossia.org/img/userinfo.gif){kind=small}