Не только браузер, а любое устройство, где запускается телеграм - клиент на телефоне, клиент на компьютере, браузер и т.д, это как раз и называется сессия. Левый вебсайт не может его считать(если у тебя смог, то это действительно серьезный баг, выложи подробности, будет скандал). Фишинг это наёбка, да, где ты своими руками даёшь доступ. В случае телеграма надо либо вводить код, либо нажать на кнопку с подтверждением. Т.е. ты открываешь ссылку, тебе в существующую сессию приходит сообщение от телеграма вроде такого:
Name, мы получили запрос на авторизацию Вашего аккаунта в Telegram на telegram.org.

Чтобы принять запрос, нажмите кнопку «Принять» ниже.

Браузер: Firefox 143 on Windows
IP: xxx.xxx.xxx.xxx (xxxx, Russia)