.'s Friends
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Below are the most recent 25 friends' journal entries.

    [ << Previous 25 ]
    Sunday, October 6th, 2019
    azrt 11:04p
    Два тривиальных примера теорем о перфектоидах
    Когда я учил теорию перфектоидных пространств, то я всё время удивлялся как люди умудряются доказывать теоремы в такой огромной общности. Перфектоидные пространства почти никогда не нётеровые, даже подлежащие топологические пространства не являются нётеровыми (в отличии от Spec \O_{C_p}), интересные морфизмы почти никогда не являются морфизмами (топологически) конечного типа, нет разумной теории когерентных пучков, неизвестно является открытое вложение плоским морфизмом или нет, етц. Тем не менее Шольце (и другие) развили какую-никакую теорию, которая помогает решать некоторые *реальные* задачи (например) про этальные когомологии F_p-локальных систем на собственных (и гладких) жёстко-аналитических многообразиях. До Шольце никто даже не умел доказывать, что для собственных жёстко-аналитических пространств над C_p когомологии H^i(X, F_p) конечны! Доказательство Шольце использует теорию перфектоидных пространств критическим образом.

    Однако я в разумности этой теории убедился только когда проделал два упражнения по ``общей топологии'', которые на мой взгляд во многом проясняют что тут происходит.

    Я приведу два примера теорем про перфектоиды и их ``классических аналогов'', которые имеют очень простое доказательство.

    Пример 1: Для начала мне нужно определить понятие про-этального морфизма перфектоидных пространств (для простоты аффинноидных перфектоидов). Морфизм Spa(S, S^+) --> Spa(R, R^+) называется про-этальным, если есть фильтрованная система этальных морфизмов Spa(R_i, R_i^+)--> Spa(R, R^+) что пара (S, S^+) изоморфна пополненного копределу (colim(R_i, R_i^+))^. [Это определение не совпадает с определением про-этального морфизма нётеровых адических пространств]

    Это определение на первый взгляд максимально ужасно. В этом определении замкнутое(!) вложение точки в перфектоид является про-этальным морфизмом. Грубо говоря, в качестве системы этальных морфизмов нужно взять все открытые подмножества, содержащие нашу точку. Тогда по аналогии с комплексным анализом пересечение (предел) всех таких открытых будет ровно наша точка. Можно дать строгое доказательство, но это потребует некоторого аргумента, ортогонального теме этого поста. В частности, мы видим, что проэтальные морфизмы не обязательно открытые!

    Это определение задаёт понятие топологии, а именно: мы называем систему отображений (X_i)_{i\in I}--> X аффинноидных перфектоидов покрытием, если есть конечное подмножество X_j, таких что они в сумме сюрьективно отображаются в X. В частности, дизъюнктное объединение точек не является покрытием в этой топологии.

    Теорема 1: Для любого аффинноидного перфектоида Y представимый предпучок Hom_{Perf}(-, Y) является пучком в про-этальной топологии.

    Другими словами, мы можем клеить морфизмы в перфектоидные пространства относительно про-этальных накрытий. Выглядит как бред ибо проэтальные морфизмы, как мы видели, не обязаны быть открытыми. Даже с топологической точки зрения не очень понятно почему это должно быть верно.

    Однако следующее чисто топологическое утверждение проясняет что тут происходит. Перфектоидные пространства над точкой (Spa(C, \O_C)) это ровно проконечные множества, и эта биекция устанавливает изоморфизм категорий. Легко видеть, что любое отображение проконечных множеств является про-этальным, потому что любой морфизм проконечных множеств можно представить как предел отображений конечных множеств, а проэтальные морфизмы (между аффинноидами) замкнуты относительно пределов. При любом разумном определении этальных морфизмов, любой морфизм конечных множеств должен быть этальным.

    Используя эту эквивалентность категорий легко видеть, что Теорема 1 в этом игрушечном случае говорит следующее:

    Теорема 1': Для любого проконечного множества Y представимый предпучок Hom_{Profinite}(-, Y) является пучком в категории проконечных множеств (с компактными сюрьективными отображениями в качестве покрытий).

    Но что это значит явно? Явно это значит, что если у меня есть сюрьективное отображение проконечных множеств X' --> X, то непрерывные отображения X-->Y находятся в биекции с непрерывными отображениями g:X' --> Y, такими что g\circ p_1=g\circ p_2, где p_i:X'\times_X X' --> X' есть две проекции. Ещё более конкретно это значит, что непрерывные отображения X-->Y в биекции с непрерывными отображениями X'-->Y, постоянными на слоях X'-->X. Но это ровно условие на то, что X'--> X является отображением топологической факторизации (U\subset X открыто <=> прообраз открыт). И это оказывается автоматически выполнено в нашем контексте!

    Теорема 1'': Любое непрерывное сюрьективное отображение f:X --> Y является топологической факторизацией при условии, что X квази-компактно , а Y хаусдорфово.

    Доказательство: Пусть U\subset Y множество, такое что f^{-1}(U) открыто в X. Мы хотим показать, что тогда U открыто в Y. Так как X квази-компактно, то мы видим, что Z:=X -- f^{-1}(U) обязано быть квази-компактным как замкнутое в квази-компакте. Тогда Y -- U= f(Z) тоже квази-компактно как образ квази-компакта, из хаусдорфовости Y мы видим, что Y -- U обязано быть замкнутым. Значит U -- открыто.

    Теперь заметим, что проконечные множества (с проконечной топологией) -- это ровно квази-компактные, хаусдорфовые, вполне несвязные топологические пространства. Следовательно, Теорема 1' доказана.




    Вторая вещь, которую я хотел обсудить -- это зануление когомологий на аффинноидных перфектоидах.

    Теорема 2: Пусть X=Spa(A, A^+) аффинноидный перфектоид, тогда H^i(X, \O_X)=0 для любого i>0. (На самом деле теорему можно усилить и показать, что зануляются на самом деле и этальные когомологии \O_X, но это уже сложнее увидеть в классическом мире)

    Как мы уже выяснили, аналогом перфектоидных пространств служат проконечные множества. Я докажу ``аналог'' этого утверждения для проконечных множеств. На этот раз аналогия будет не совсем точной, но достаточной, чтобы убедиться в том, что эта теорема может быть верной.

    Теорема 2': Пусть X -- проконечное множество, тогда H^i(X, Z)=0 для любого i>0.

    Нужно сказать, что я беру реально когомологии X в смысле когомологий пучков. Проконечные множества (практически) никогда не являются CW комплексами, поэтому сингулярные когомологии дают неправильный ответ на таких пространствах.

    На самом деле можно показать, что когомологии любого пучка на X зануляются в размерности в положительных степенях (https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A3G). Но я дам доказательство, которое ближе к доказательству, которое реально работает в контексте перфектоидов.

    Док-во: Любое проконечное множество можно записать как фильтрованный предел конечных, поэтому мы можем написать X=lim X_i, где каждое X_i является конечным множеством. Теперь воспользуемся https://stacks.math.columbia.edu/tag/0A37, чтобы заключить H^p(X, Z)=colim H^p(X_i, Z). Но каждое X_i -- конечное множество! Поэтому H^p(X_i, Z)=0 для p>0, поэтому H^p(X, Z)=0 для p>0!
    Friday, October 4th, 2019
    deevrod
    10:57p
    Снова над Новосибирском
    Без разных высокоблагородий,
    Простертый, словно царица клякс,
    Кому стоишь лопатобородей,
    Чем миллионщики или Маркс?

    Зачем на храмы и катакомбы
    Металлургический Маймонид
    За десять лет до нейтронной бомбы
    Ширшова профиль влепил в зенит?

    Каким дыханьем вы нынче святы,
    Покуда некому всё равно
    Снимать коуровские закаты,
    Глядеть в сиреневое окно?

    Уснут в заре смотровые башни
    Под звук промышленной литии,
    И над слоями листвы опавшей
    В кольце отчаявшихся НИИ

    Не будут камни сырой Европы
    Глотать рабочих и христиан,
    Но будут белки скакать чрез тропы,
    Как самолёты -- за океан.
    Thursday, September 26th, 2019
    deevrod
    8:44a
    Октавы на возвращение обратно
    Не стану петь о всяком вздоре;
    Что мол нам не познать инцеста,
    Мол не гулять при свете моря
    Под руку вдоль по Ядринцевской
    что я вообще тебя не знаю
    что я Вован из копипасты
    и поплывёшь ты сиз-косастый
    по Эри, а не вдоль Дуная.

    То не свинец скрозь грифель тянут,
    Не к горлу подступает астма:
    Скрестился взором иностранец
    С порядком спящего пространства.
    И ты не предавайся блуду
    И не планируй, как Боболя:
    Нас всех учили в Высшей школе --
    Как вихорь, улетать отвсюду.

    Да мы уже ещё не дети,
    Не страшно рожу нам изгваздать:
    в засохшей сперме Ферлингетти;
    в чаду котлов Кутателадзе;
    которым дёгтем спутник смазан
    на арбитмановских орбитах;
    в застольных песнях Франсуазам;
    в столетних дедах, сдувших разум;
    в том, что видал Центральный Хазан; --
    в слезах, в Саратове пролитых.

    А постоянство неизбежно,
    К нему стремиться нам кощунство:
    Мы все умрём, умрём конечно,
    Как будто лист жуёшь капустный.
    Планета всклень бежит вдоль края,
    Который ей расчистил Бессель; --
    И вихорь в харю добр и весел,
    Уж тем, что небо подпирает.

    Венцы у старцев из бурьяна,
    И не юродствуют рояли,
    И дрехнет море розлиянно
    Где мы не так давно стояли --
    Но знает Чарльз и помнит Иня,
    Что это беглое отродье
    Таким же пламенем палимо,
    Что нос Карно по циклу водит.

    Current Music: The Growlers -- Badlands
    Monday, September 2nd, 2019
    deevrod
    8:15p
    Сентиментальное путешествие
    == RTW --> SVO ==

    Над петлями рокады,
    Над фермой плексигласа
    Стрекочешь как цикада, --
    От праха оторвался.

    Не странно ль, что ты начал
    В Москву полёт с верхушек,
    Откудова хреначил
    По нас Пугач из пушек?

    Да эта канонада
    Пускай бузует эхом,
    Чем нам бы было надо
    В болото за физтехом!

    Тебе ведь было больно
    Летать бомбить агарян,
    Когда ваш ветер вольный
    Сослали в глушь, в Гагарин?

    Ужели тебе проще
    Удара лобового
    Увидеть снова мощи
    Распятого Тамбова?

    Закрытый бьётся столик,
    Как сердце самодержца;
    Прошу тебя, соколик:
    Ты врежься! врежься, врежься,

    Не про что и не за что,
    А просто так палимый --
    В скелет глушилки-мачты
    Напротив Серафима.

    == ==

    Что льёшься, нынче, Волга, меж осетров и монастырей?
    Грудью слепой без толку заводишь ось у земли скорей,
    Проданной своей влагой вертишь турбины, как немчура?
    Мутной гнилой корягой сидят на дне твоём мусора.

    В центре червя простого, сквозь ткань репейников и кустов
    Я убегал к Ростову, и вот приехал ещё в Ростов.
    Тех, кто увидел жизнь здесь, как спрячет медленный твой объём,
    Если на волнах бизнес, и часовые на дне с ружьём?

    Волга, мой сон превратный! В такие ль сумерки текти льзя?
    Ты бы, как слон, обратно, всоси свой ил через Камызяк,
    Вспять побеги, как время, вернув Брабандер под солнца зной,
    Выбей к чертям коленом щеколды шлюзов и Каналстрой --

    В створе холмов плешивых в подвалы каменные ворвись,
    Вырви из их архивов умытый дельтой твоею лист;
    Пусть носят волны гравий, и рушат на головы, как град:
    Стерлядь уж не отравит в дыму костров телеграфный яд.

    Current Mood: sick
    Current Music: Цыганята и Я с Ильича -- Папа Римский
    Tuesday, August 13th, 2019
    deevrod
    4:51p
    О формуле Кошуля
    Самый прямолинейный способ доказать существование связности Леви-Чивиты -- написать её явной формулой (впрочем, проверка того, что то, что получится, будет связностью, конечно, достаточно уныла). Но зато делается это непосредственно из определений: ортогональная связность без кручения. В самом деле, пусть связность \nabla ортогональна. Тогда имеем

    <\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_x(z)> = L_x <y, z>

    (уголками я обозначаю скалярное произведение при помощи метрического тензора g, чтобы не загромождать нотацию.) Если же вдобавок кручение связности \nabla обнуляется, имеем право написать \nabla_x(z) = \nabla_z(x) - [z, x], что вкупе с предыдущей формулой даёт

    <\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_z(x)> = L_x <y, z> + <y, [z, x]>.

    Циклическими сдвигами переменных получаются две аналогичные формулы:

    <\nabla_y(z), x> + <z, \nabla_x(y)> = L_y <z, x> + <z, [x, y]>
    <\nabla_z(x), y> + <x, \nabla_y(z)> = L_z <x, y> + <x, [y, z]>

    Пользуясь симметричностью метрики, имеем право сложить первые две формулы, вычесть из них третью, и поделить пополам. Тогда останется

    <\nabla_x(y), z> = \frac{1}{2}(L_x <y, z> + L_y <z, x> - L_z <x, y> + <y, [z, x]> + <z, [x, y]> - <x, [y, z]>)

    Эта формула называется формулой Кошуля. Она, как видно, очень громоздкая, без никакого порядка в знаках, как ни переставляй буквы, пользуясь симметричностью метрики и кососимметричностью скобки Ли. Поэтому всякий раз, как хочется ей воспользоваться, это прямое вычисление мне приходилось проделывать заново.

    Однако давайте рассмотрим помимо векторного поля y двойственную по метрике 1-форму \eta. Тогда формула Кошуля приобретает вид:

    (\nabla_x\eta)(z) = \frac{1}{2}(L_x{\eta(z)} - L_z{\eta(x)} - \eta([x,z]) + L_y <z, x> - <z, L_y{x}> - <x, L_y{z}>)

    (не напутал ли я с дуализацией левой части? вроде нет.) Я перегруппировал отдельно слагаемые, выражающиеся через \eta, и отдельно через y. В них легко видеть значения внешней 2-формы d\eta и симметричной 2-формы L_y{g} на паре полей x, z. Стало быть, формулу Кошуля можно записать гораздо короче:

    \nabla^{g}(\eta) = \frac{1}{2}(d\eta + L_{\eta^\sharp}g).

    Эти слагаемые суть кососимметрическая и симметрическая часть 2-формы \nabla\eta (и из такого определения, наверное, можно нехитро вывести, что эта связность ортогональна и без кручения, не прибегая к выкладкам). В частности, 1-форма параллельна относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда она замкнута, а двойственное ей по метрике векторное поле киллингово.

    Current Mood: awake
    Saturday, August 10th, 2019
    deevrod
    10:06p
    Апофазия протеста
    Последние два раза, в прошлую и позапрошлую субботу, я не причащался протестного движения, а ходил по монастырям. Первый раз мы обошли все церкви города Романова-Борисоглебска под руководством математика Кости Ш.; в другую субботу (в день обретения мощей святой Анны Кашинской, святой покровительницы русской оппозиции, кстати) почему-то вместо этого был в Дивеевском монастыре.

    Про первый из этих двух разов не могу сказать, что пожалел: Романов-Борисоглебск очень приятен хотя бы уже тем, что там изо всякого места растут и буйным цветом полыхают лопухи, космея, и прочие цветы. Кроме того, там я сфотографировал знаменитого антифашистского математика Рапопорта в местном сквере памяти жертв Второй Мировой войны, спрятавшегося от довольно сильного дождя под единственным в этом сквере деревом, которое не является берёзой. Ну и по дороге оттуда мы с одним красноярским коллегой как-то отбились; признаться, что мы доехали до Ярославля не на попутке -- это было некоторое чудо. Костя же, обнаружив потерю, всё обзвонил, оказывается, и даже достучался бы до меня, если бы я слышал звук своего телефона. Ну да всё хорошо, что хорошо кончается.

    Что касается Дивеева, то что я пожалел, тоже сказать не могу, но совершенно иначе. Место сие производит, честно говоря, довольно гнетущее впечатление -- наверное, бесы из меня выходят. Оно по уму должно бы выглядеть как Ченстохова; но вместо памятника священномученику Ежи Попелушко, который стоит на главной улице этого города, на главной улице Дивеева почему-то стоит памятник Ленину. Да и улица называется как-то соответственно, типа 'Комсомольская', как и все другие. Величественность и красота самого монастыря, с которой можно ознакомиться по фотографиям православных микроинфлюэнсеров в истаграме, носит какой-то будто бы гипсокартонный характер, словно бы из-под него прорывается нечто зловеще-сектантское, которое хочет тебя сожрать. Впрочем, внутри главного собора довольно мило. Богородичная канавка тоже довольно милое место, хотя, конечно, чисто языческое. А вот могила Владимира Шикина, центрального персонажа нишевого культа, про который можно прочитать в википедии, в которую могилу суют записочки, что в Стену плача, конечно, пугает.

    Ну хоть сегодня сходил на митинг! Если москвичи (из-за того, что площадь Революции им не согласовывают) собираются в загоне на проспекте Сахарова, то в Саратове в случае несогласования митинга у памятника Чернышевскому собираются у памятника академику Вавилову -- что, согласитесь, куда круче, чем Сахаров. Да и загоном это назвать язык никак не поворачивается: ни тебе рамок, ни вертухаев -- на ближних подступах стояло человек пять в форме, на дальних может ещё несколько -- суммарно ментов не больше пятнадцати. При этом точно оценить количество протестующих не представлялось возможным: между типажами 'гомосексуальный постоянный посетитель Дежурной рюмочной' и 'эшник с лицом бездомного алкоголика' в собравшейся толпе имелись все возможные полутона, в том числе и непричастные регулярного употребления алкоголей. Некоторые из этих трезвенников, в каких-то папахах цвета хаки и по экстерьеру неотличимые от баснословных казаков, оказывались на деле активистами штаба Навального. Суммарно с журналистами и эшниками собралось, наверное, человек двести или триста; из них кричали лозунги и аплодировали примерно две трети. А я стоял и размахивал флагом любимого города. Когда я нёс флаг на душеспасительном мероприятии в предыдущий раз, это был Русский марш, а год был пожалуй что 2012-й. И шли мы вдоль по Якиманской набережной, которая теперь со своими порослями злаков, плитками и водомётами так похорошела, что с флагом там и не пройдёшь. Флаг был, между прочим, Беларуси (в смысле БЧБ конечно).

    А после митинга познакомился с великим саратовским писателем Арбитманом. В полном соответстве со своим образом он, как фокусник, извлёк из своей наплечной сумки свою предпоследнюю по времени издания книжицу, и радостно подписал её мне. Таким образом, за последнюю неделю я получил в подарок от Арбитмана две его книги: перед этим я на днях зашёл в ФСБук, и обнаружил в непрочитанных сообщениях поздравление с днём рождения примерно месячной давности, в котором Роман Эмильевич предлагал мне в подарок электронную версию его последней книги. Прочитал её в один присест -- смешная, добрая, и наивная, как я и люблю. Это конечно очень скрасило моё существование -- потому что зашёл в ФСБук-то я только из-за того, что русский геометр Бондал затегал меня в каком-то своём очередном посте, в котором он непонятно чего хочет, и зачем-то поучаствовал в дискуссии, которая под этим постом развернулась. Из-за этой дискуссии не имею желания заходить в ФСБук ещё полгода, хотя Роман Эмильевич и предложил мне заходить к нему на страничку почаще.

    Current Mood: sick
    Current Music: Янка Дягилева -- Стаи летят
    Friday, August 2nd, 2019
    deevrod
    2:17p
    Кажется, я это уже постил, но пусть будет ещё раз
    Вещественное грассманово многообразие Gr(2,7) можно реализовать стандартно как SO(p+q)/SO(p) x SO(q), а можно более экзотически -- как фактор группы G_2. В самом деле, все 2-плоскости сопряжены её действием. Каков стабилизатор? Он сохраняет векторное произведение любых двух ортонормированных векторов из этой плоскости -- то есть положительно ориентированный единичный вектор к этой плоскости, лежащий в порождённом ей ассоциативном подпространстве. На перпендикулярном к нему коассоциативном подпространстве стабилизатор действует унитарными эрмитовыми матрицами (сохраняя комплексную структуру, дающуюся векторным умножением на инвариантный вектор). Из исчисления размерности видно, что стабилизатор и есть вся группа U(2). При этом на оригинальной инвариантной плоскости он действует, выворачивая её на угол, равный аргументу определителя матрицы, которой он действует на коассоциативном подпространстве (или вдвое больший/меньший -- если так, то я обсчитался, и всё дальнейшее неверно).

    Стало быть, имеем Gr(2,7) = G_2 / U(2). Значит, над грассмановым многообразием Gr(2,7) имеется главное U(2)-расслоение. Метрика Картана-Киллинга даёт связность в этом главном расслоении. Итак, над грассманианом (2,7) имеется исключительное эрмитово расслоение ранга два с унитарной связностью.

    Если есть поверхность в семимерном евклидовом пространстве, то это расслоение можно оттянуть вдоль её гауссова отображения. Интересно, а если например это голоморфная кривая в S^6, будет ли оно голоморфным? а его определитель? Про это должен был бы Брайант писать, но я что-то не нашёл.

    Current Mood: tired
    Current Music: Казаки-некрасовцы -- По синёй-то море плывёт корабель
    Sunday, July 28th, 2019
    deevrod
    11:14a
    Открытость и суб-открытость одного отображения Богомолова
    Пусть S = S(g) -- сфера с g ручками, и Teich(S) -- пространство Тейхмюллера комплексных структур на ней. Расслоение первых когомологий E \to Teich тривиализуется связностью Гаусса-Манина. В нём имеется подрасслоение Ходжа F \subset E, F_I = H^{1,0}(X,I), не параллельное относительно связности. Выберем дополнительное подрасслоение \bar{F}, \bar{F}_I = H^{0,1}(X,I), тогда вторая фундаментальная форма T(Teich) \x F \to \bar{F} подрасслоения F относительно связности Гаусса-Манина есть тензор Кодаиры-Спенсера. Иными словами, тензор Кодаиры-Спенсера есть приливная сила, которую испытывает комплексное многообразие при движении по пространству модулей.

    Имеем право рассмотреть проекцию F \to H^1(S, \C) из тотального пространства расслоения Ходжа. Его образ описан Каповичем (и за 80 лет до Каповича каким-то Отто Гауптом): это SL(2g, Z)-орбита сколь угодно малой окрестности классов когомологий с ровно двумя линейно независимыми периодами, которые можно оттянуть с эллиптической кривой (ну плюс нуль, конечно). Его рассуждение опирается на следующее

    Утверждение ('теорема о голономии' Хейхала-Тёрстона). Отображение F \ 0_F \to H^1(S, C) открыто.

    Поскольку действие группы Sp(2g, Z) на проективизации положительного конуса в пространстве H^1(S, C) эргодично, это означает, что этот образ -- открытое плотное множество. Общая орбита эргодического действия плотна, а необщие классифицируются теоремой Ратнер, из которой Капович и выводит своё утверждение.

    Образ гауссова отображения Teich \to Gr(g, H^1), называемый локусом Шоттки, устроен куда сложнее. Но можно рассмотреть промежуточную задачу.

    Задача (Богомолов). Описать образ грассманова расслоения Gr(m, F) \to Gr(m, H^1), где 1 < m < g.

    Конечно, об открытости говорить не приходится: образ всегда будет содержаться в изотропном грассмановом многообразии Gris(m, H^1) в силу того, что голоморфные формы на кривой умножаются нулём. Более того, по исчислению размерности ясно, что при m > 3 отображение Богомолова не может быть открыто даже как отображение в изотропный грассманиан. Меж тем, при m = 2 размерность Gr(2, F) равняется 3g - 3 + 2(g-2) = 5g - 7, в то время как размерность изотропного грассманиана равняется 4g - 5, а при m = 3 случается странное: dim Gris(3, H^1) = 6g - 12, а dim Gr(3, F) = 3g-3 + 3(g-3) = 6g - 12. Иными словами, если отображение Богомолова открыто при m = 3, то общая тройка (1,0)-классов локально однозначно определяет комплексную структуру (общность здесь важна -- накрыть кривую рода три никто не запретит). Это позволило бы попробовать определить замкнутое условие на образ отображения Богомолова при m > 3 -- именно, всякая 3-плоскость должна давать одну и ту же комплексную структуру. Получиться из этого ничего не может, поскольку локус Шоттки имеет, если не ошибаюсь, фрактальную натуру.

    Как можно было бы доказывать аналог теоремы об открытости для случаев m = 2, 3? Для этого попробуем передоказать её для случая m = 1 не элементарно-геометрически, как Тёрстон и Капович, а алгебраико-геометрически. В самом деле, пусть мы реализовали класс \alpha комплексной структурой I. Тогда мы можем реализовать ею же все классы, лежащие от него в направлениях, заданных касательными векторами из H^{1,0}(S, I). Стало быть, чтобы реализовать шарик, нужно научиться смещаться на вектора из H^{0,1}(S, I). Но для этого-то класс Кодаиры-Спенсера и придумали! Стало быть, чтобы сместиться на вектор \beta \in H^{0,1}, достаточно подобрать такой вектор v \in T_I(Teich), чтобы было выполнено равенство KS_v(\alpha) = \beta. Иными словами, теорема Хейхала-Тёрстона о голономии есть всего лишь утверждение о невырожденности класса Кодаиры-Спенсера универсального семейства кривых. Аналогичные утверждения о высших невырожденностях, в принципе, легко себе представить.

    Кажется, в случае m < 3 можно доказать более сильное утверждение, о некоторой 'суб-невырожденности'. Напомню, что на проективизации симплектического векторного пространства имеется контактное распределение -- Hom(l, l^\perp/l) = H \subset T_l(V) = Hom(l, V/l). Если W \subset V -- лагранжево подпространство, то P(W) \subset P(V) -- лежандрово подмногообразие. Ткань этих лежандровых проективных подпространств служит дискретным аналогом контактного распределения: доказать, что оно интегрируемо, в ту же цену, что связать любые две точки ломаной, идущей вдоль лежандровых проективных подпространств. Аналогично для изотропного грассманиана любой размерности: можно определить точно такое же распределение, хотя и большего коранга, и лагранжевы подпространства будут задавать в нём ткань лежандровых грассманианов (последние три слова -- это такая строчка из певицы Хелависы, да). Неинтегрируемость этого распределения означает, что любые две точки могут быть соединены ломаной, идущей вдоль этой ткани, и может быть доказана нехитрым вычислением нильрадикала в понятно устроенной параболической подалгебре. Соответственно, можно задаться вопросом: связно ли будет множество реализуемых классов, если разрешить ходить только по лежандровым проективным подпространствам (соотв. грассманианам 2-плоскостей), которые получаются как P(H^{1,0}(S, I)) (соотв. Gr(2, H^{1,0}(S, I))) для всевозможных комплексных структур I \in Teich? Для m = 3 ответ будет уже другим, поскольку, как предсказывает Богомолов, общая 3-плоскость в когомологиях реализуема локально только одной комплексной структурой.

    Current Mood: hungry
    Current Music: Гр. Полухутенко -- Италия
    Saturday, June 22nd, 2019
    deevrod
    9:19p
    OTP --> SVO
    не торжествуй, опять весь мир поправ,
    рассвета протокольный объектив!
    позволь вернуться мне под своды ив,
    ведь всем неважно, прав или неправ
    был я тогда, за хвост его схватив
    в тот год, когда вернулся китоглав,
    когда закольцевался нарратив.
    как знать? теперь нам, может, срок скосят,
    и может быть ещё освободят
    каких-то там Калви или Кавли,
    и, может быть, измерят скорость от-
    носительно неведомой земли,
    что просто так болтается вдали,
    как кошка просто так родит котят.
    Wednesday, June 19th, 2019
    deevrod
    2:49p
    Однородные пространства и орисферическая деформация
    Пусть \g -- полупростая алгебра Ли. Подалгебра \p \subset \g называется параболической, если она коизотропна относительно формы Картана-Киллинга. Например, в алгебрах so(n,1) и su(n,1) параболическими являются подалгебры, стабилизирующие фиксированную изотропную прямую в пространстве, на котором они действуют векторными полями. По определению, естественное отображение из нильрадикала \p_+ \to (g/p)^* исчерпывает это пространство, тем самым кокасательное расслоение однородного пространства G/P изоморфно расслоению нильрадикалов.

    Теорема (Лобачевский). Нильрадикал параболической подалгебры в so(n,1) есть абелева алгебра.

    Соответствующая подгруппа P, конечно, действует на пространстве G/K, где G = SO(n,1), а K -- максимальная компактная подгруппа. Орбита этого действия называется орисферой. Несложно видеть, что элементы нильрадикала определяют полные киллинговы векторные поля на этой орбите. Поскольку они коммутируют, а число их таково же, какова размерность орбиты, из теоремы Лобачевского следует, что орисфера в (вещественном) пространстве Лобачевского имеет евклидову геометрию -- в каковом открытии одна из главных заслуг Лобачевского и состоит.

    Что до G = SU(n,1), то безымянный комплексный аналог теоремы Лобачевского гласит, что нильрадикал этой параболической подалгебры изоморфен алгебре Гейзенберга. Соответственно, орисфера в комплексном пространстве Лобачевского имеет гейзенбергову геометрию. Контактное распределение на ней -- это, разумеется, КР-распределение на орисфере как на вещественном подмногообразии в комплексной области коразмерности один.

    В случае пространства периодов SO(3,n)/SO(2) x SO(1,n) или верхнего полупространства Зигеля SO(2,g)/SO(2) x SO(g) всё уже не так просто. Стабилизатор предельного положения положительной плоскости -- то есть плоскости с неотрицательно полуопределённой метрикой -- довольно понятная группа, но фактор по ней не является компактным многообразием. Оно и понятно: такие плоскости имеют также предельные положения, соответствующие плоскостям, на которые метрика ограничивается тождественным нулём. Тем не менее, в маломерном случае SO(3,1)/SO(2) x SO(1,1) такой проблемы не возникает, а сама она допускает красивое геометрическое описание.

    Именно, в проективизации нули квадратичной формы сигнатуры (3,1) образуют двумерную сферу. Точки пространства периодов, то есть положительно определённые плоскости, соответствуют ориентированным прямым, которые не пересекают этой сферы, а предельные положения, то есть полуопределённые плоскости -- касательные к сфере. Соответственно, подгруппа, сохраняющая одну точку на таком 'абсолюте' (скажем, прямую l, касающуюся сферы в точке s) -- это группа матриц, верхне-треугольных в понятно каком базисе. Геометрически это группа проективных преобразований, сохраняющих флаг s \subset l \subset T_s{S}, где S -- сфера изотропных направлений. Поскольку параболической она не является, назовём её орисферической. Положительно определённые прямые (не пересекающие сферы) распадаются под действием орисферической подгруппы на четыре типа.

    Первый составляют прямые, не пересекающие ни l, ни перпендикулярной прямой l^\perp (единственных двух прямых, сохраняемых действием орисферической подгруппы). На них группа действует, кажется, свободно. Второй А (соответственно, второй Б) классы составляют прямые, пересекающие l, но не l^\perp (соответственно, наоборот). Их орбиты неизбежно состоят из прямых, пересекающих эти прямые, тем не менее, действие орисферической подгруппы на них всё же свободно. Последний класс составляют прямые, пересекающие и l, и l^\perp, то есть попросту лежащие в T_s{S}. Трёхмерное подпространство, проективизацией которого является T_s{S}, это пространство с двумя плюсами и одним изотропным направлением. Грассманиан положительных плоскостей в нём -- это вырожденная твисторная кривая. Твисторным кривым соответствуют в такой картинке множества прямых, содержащихся в фиксированной плоскости, не пересекающей сферы S.

    Таким образом, вырожденная твисторная кривая в такой ситуации является предельным положением орисфер первых двух типов, и наиболее маломерной орбитой орисферической группы. В большей размерности квадрика изотропных направлений устроена гораздо сложнее, чем сфера; вместе с тем линейная оболочка положительно определённой плоскости и полуопределённой плоскости не может иметь размерность больше четырёх, так что описанная ситуация возникает как сечение в любой размерности. Соответственно, имеет смысл говорить об орисферических деформациях гиперкэлеровых многообразий над некой трёхмерной базой. Интересно, какой? группой Гейзенберга?

    Current Music: Соломенные Еноты -- Блюз простого человека
    Sunday, June 16th, 2019
    deevrod
    1:14p
    SVO --> OTP
    не приедут из европы
    митрий коршунов и мазур
    липоване и морузов
    и святой зертис-каменский

    надвигаются европой
    быстротечные синьоры
    мыльнопильные заводы
    алабама и перерва

    эй вы русские придурки
    гебнюки едросы урки
    помнят прежние хирурги

    как при стенах измаила
    ошибается могила:
    солнце в западе всходило

    так черкни одною строчкой
    в синем небе коломазью
    бычьей костью под землёю
    соловей в саду не дохнет
    Wednesday, June 12th, 2019
    deevrod
    10:27p
    Свободу политзаключённым
    'Тут только двое, я и Лев Рубинштейн', -- сообщил мне И. Д., т. н. арнольдовский стипендиат и постоянный персонаж моих виршей. А я в этот момент шёл какими-то переулками от Красных ворот к памятнику Грибоедову (где ж ещё стартовать с требованиями отменить 228), и за мной почему-то теми же переулками шла колонна анархо-капиталистов, с полсотни человек. Ну и теперь мой государственнический профиль болтается в твиттере у Светова. И поделом ему. Там же прямо передо мной на расстоянии вытянутой руки стоял какой-то Иван Колпаков и что-то произносил в зомбоящик. Очень хотелось вытянуть эту самую руку и полапать его, сказав, что мне ничего за это не будет. Но как-то неприятно было об этом думать.

    В связи с тем, что организаторы самоустранились, и организаторская роль перешла к народным массам как единому целому, марш вышел совершенно народным, и, как всё народное, крайне слабоумным. На единственном митинге, когда меня винтили, году в 2013, была нажористая бабка-демократка, которая на каждый вопль в матюгальник 'уважаемые граждане, просьба разойтись, вы мешаете проходу граждан' отвечала 'уважаемые милиционеры, просьба разойтись, вы мешаете народу'. В этот раз с точно таким же заявлением выступил Рома Кр., завтрашний докладчик на четверговом семинаре, после чего немедля был принят под белы рученьки. А мы все пошли каким-то неперекрытым маршрутом -- по бульварам до переулка между Рождественкой и Сретенкой (в который Баларам Усов свернул со словами 'какой переулок клёвый', и нечаянно повёл за собой всю толпу), оттуда вбок к Неглинной, на Петровку, а оттуда наверх к Петровским воротам. Петровка тоже была перекрыта, и часть толпы (изрядно рассечённой при пересечении светофоров) пошла к Петровке-38 мимо Эрмитажа. Там стояли какие-то архаровцы в военной форме, а я прямо грудь к груди с ними. Было очень стрёмно, переодически выскакивала опричная гусеница и сжирала кого-то по непонятному своему усмотрению. Например, дед вида 'весёлый бомж' с надписью 'я иван голунов' зелёнкой во всю лысину отплясывал перед зелёными человечками со словами типа 'путин-вор', а когда я ему заметил, что он не вор, а военный преступник, тот меня похвалил, но сказал, что мне надо бы поставить голос -- после чего был немедленно свинчен.

    Узнав, что на Петровских воротах якобы 'мясо', мы развернулись и двинулись туда, но возвращавшиеся оттуда люди говорили, что всё уже рассеялось, и мы стали ждать какой-то мифической колонны во главе с господами из moloko+, которая шла из области почему-то по Тверской (как она туда попала?). Колонна оказалась не мифической, в неё мы и влились, и пошли до Генпрокуратуры, а потом-таки на Лубянку, а оттуда изрядно истончившаяся колонна пошла зачем-то на Никольскую, где стала неотличима от прошлогодних футбольных фанатов -- бессмысленный клоунский город со своими гирляндами всех переварил. По старой памяти мы пошли обратно к Петровским воротам, где, говорят, ещё теплилось какое-то противостояние, но там было очень расслабленно, как будто на каком-то хиппятнике, и не очень было понятно, где кончаются реконструкторы-викинги, топчущиеся на бульварах, а где начинаются люди с хорошими лицами, реконструирующие 2012 год. Столкнулся лицом к лицу с Екатериной Шульман, например. Было настолько ни о чём, что мы поехали в веганский подвал за Институтом государства и права жрать гречневую лапшу с тофу.

    Поошивавшись ещё немного с новосибирскими друзьями, пошёл к V и [info]i_anatta, но не задержался у них, а вместе с ними поехал в ОВД Бутырское на улицу Руставели относить передачку сидевшему там Роме Кр. Его должны были отпустить около 5:30, и затянули всего чуть меньше, чем на пять часов. Мы впрочем приехали уже поздно, часов в 9, так что ждать нам почти не пришлось. Зато получил от V кепочку, принадлежащую очень милому молодому человеку, с которым за неделю до того обильно целовался (в промежутках между его пьяными выяснениями того вопроса, есть у меня СПИД или всё-таки нет). Кепку придётся, увы, вернуть, но для начала съезжу в ней в Бухарест (попробуя не снимать, чтобы легче походить на жидорептилоида). С воткнутым в неё цветком липы и в сочетании с синим пледом обнаруживал в своём отражении в двери метро нечто ирландское. Знамёна их не пройдут, чего. Свободу Азату Мифтахову.

    Current Mood: sick
    Current Music: Егор и опизденевшие -- Свобода
    Monday, June 3rd, 2019
    deevrod
    2:54p
    Об одном открытии проф. Лодея
    Вчера ходил весь день кругами по Москве и даже устал, в том числе от меланхолических мыслей, зато вечером имел счастье чрезвычайно плодотворно провести время с одним представленцем. А от усталости до сих пор приятно болит спина, как после плавания в море с проф. Буфетовым. Завидую самому себе. Всем бы так!

    А уже сегодня видел в Независимом университете М. Я. П., и сперва не узнал. Когда-то у него были усы, от которых он выглядел как простой советский инженер типа сочинителя Быкова, а теперь он их сбрил, и оделся в пиджак с галстухом, и нацепил на лацкан какой-то значок, содержащий в себе российский триколор. Не иначе, как сделался на своих северах чем-то вроде министра. Я к нему было подошёл, сказав 'Ба, М. Я., это вы, а я вас и не узнал'. Он меня тоже не узнал -- но напомнить о себе я ему не успел, потому что его отвлёк известный в Москве деятель весомости тоже в общем-то министерской, и повёл за удалённый столик есть простую советскую еду и обсуждать свои министерские материи. Говорили что-то про 2020-й год, и может быть про 2022-й. Не завидую совершенно.

    Зато придумал вот что. Пусть имеется многообразие X и на нём форма объёма \nu. Тогда по форме предпоследней степени можно соорудить векторное поле, назовём эту операцию ^\sharp. Тогда скобка [\alpha, \beta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\beta, определённая на формах костепени два, удовлетворяет тождеству Лейбница (слева). Это открыл Лодей. Например, если X -- поверхность, то форма \nu есть симплектическая форма, и эта скобка есть её скобка Пуассона, определённая на функциях. В большей размерности эта скобка не является кососимметричной, стало быть, задаёт на формах структуру только лишь лейбницевой алгебры.

    Диффеоморфизмы многообразия, сохраняющие форму объёма, действуют на формах, сохраняя эту скобку. Стало быть, несжимающие векторные поля действуют деривациями этой скобки. Но на лейбницевых алгебрах помимо дериваций имеется также понятие антидеривации. Именно, отображение D из левой лейбницевой алгебры в себя называется антидеривацией, если D[a,b] = [a,Db] - [b,Da]. Например, если L -- левая лейбницева алгебра, и x \in L -- какой-то элемент, то отображение ad_x : a \mapsto [x,a] есть деривация (по определению), а отображение Ad_x : a \mapsto -[a,x] является антидеривацией (также по определению).

    Деривации и антидеривации обыкновенно ходят парами. Именно, пара (d, D) называется бидеривацией, если выполнено странное тождество [da,b] = [Da,b]. Например, (ad_x, Ad_x) -- бидеривация (как ни странно, по определению). Логичный вопрос: продолжаются ли деривации, получающиеся из несжимающих векторных полей, каким-нибудь естественным способом до бидериваций? Казалось бы, для поля, получающегося из формы, ответ очень прост: если v = (d\eta)^\sharp, то Lie_v \alpha = [\eta, \alpha], и стало быть соответствующая антидеривация должна задаваться как -[\alpha, \eta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\eta. Однако поле v зависит только от дифференциала d\eta! Стало быть, для разных выборов потенциала антидеривации будут различны -- хотя и отличаться на точную форму.

    Ну давайте поделимся по точным формам, от определения не убудет. Заметим, однако, что [\alpha,\alpha] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\alpha = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha + \iota_{(d\alpha)^\sharp}d\alpha = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha + \iota_{(d\alpha)^\sharp}\iota_{(d\alpha)^\sharp}\nu = d\iota_{(d\alpha)^\sharp}\alpha. Значит, если мы поделимся по точным формам, то квадраты заведомо уйдут, а значит получится честная алгебра Ли. Более того, формулу для скобки тогда можно будет переписать как [\alpha, \beta] = Lie_{(d\alpha)^\sharp}\beta = \iota_{(d\alpha)^\sharp}\iota_{(d\beta)^\sharp}\nu + d(...). Стирая это d, получаем знакомую формулу для скобки Пуассона. Действительно, форма объёма определяет на пространстве, параметризующем подмногообразия коразмерности два, симплектическую структуру, а формы костепени два определяют функции на таком пространстве (притом функция, строящаяся по форме, тождественно нулевая тогда и только тогда, когда форма точна). Итак, получившаяся алгебра Ли будет просто подалгеброй в пуассоновой алгебре функций на бесконечномерном симплектическом многообразии. Задаваться вопросом о геометрическом смысле алгебры Лейбница, которая имелась до факторизации, видимо, не вполне осмысленно: стандартные геометрические операции, как мы видели, совершенно не уважают алгебраические структуры, свойственные именно лейбницевой скобке.

    Current Mood: happy
    Saturday, May 25th, 2019
    deevrod
    6:17p
    Или вот пришёл вчера в яму -- а там пьют. Пришёл к Василью Рогову -- а там пьют. Сегодня пришёл в ИППИ -- и там пьют, какой-то подмадерный херес непосредственно от христианнейших поставщиков проф. Белошапки. Оле, Москво, мати клятвопреступления, сущии ли в тебе места, где ныне не пьют? В Стекловке не пьют: Стекловка нынче заперта на велосипедный замок. По домам пьют, наверное.

    А в Стелковку я ехал на доклад самого проф. Белошапки, прочитав в анонсе, что на объекте пропускной режим, и надо написать организатору, чтобы меня внесли в списочек. Увидев это, решил, что должно быть непременно в Стекловке. Оказалось в ИППИ! Так я и пропустил доклад проф. Белошапки. А прошлый день конференции я пропустил, потому что только вчера прилетел, и всё проспал. Ну пил, конечно.

    Конференция же была про комплексную динамику в КР-геометрии. Думал я вот о чём. Пусть X \to B -- коассоциативное расслоение, и v \in T_b(B) -- касательный вектор. Тогда векторное поле \widetilde{v}, перпендикулярное к слою X_b и определяющее его деформацию, имеет в G_2-метрике на X вообще говоря переменную длину. Соответственно, оператор векторного умножения на v, действующий на TX_b, будет иметь квадратом скалярный оператор, но не -Id, а -e^{2f}Id, где f -- некая вещественная функция. Если же его отнормировать, чтобы он везде имел длину 1, то соотвествующая 2-форма будет незамкнутой: невозможно умножить симплектическую форму на непостоянную функцию, чтобы произведение осталось замкнутым.

    Вместе с тем, на поверхностях уровня функции f векторное умножение будет действовать как оператор честной КР-структуры. Возникают интересные вопросы: например, может ли она быть Леви-плоской? Кажется нет: возьмём максимум функции f, тогда поверхности близкого к нему уровня будут сферами, и не смогут иметь нулевую форму Леви. С другой стороны, если максимум достигается вдоль ажно подмногообразия, например двумерного тора, то соседние поверхности будут трёхмерными торами, которые спокойно могут быть Леви-плоскими. Более того, такое семейство Леви-плоских трёхмерных торов на K3-поверхностях известно, его построили два пузатые японца. Надеяться однако на такое нет возможности: замена вектора v \in T_b(B) на другой вектор действует на K3-поверхности твисторной заменой комплексной структуры, которая разрушает расслоение на Леви-плоские торы (хотя бы потому что в нашей ситуации у него будут слои, схлопывающиеся в эллиптические кривые, которые точно разрушаются при переходе к другой комплексной структуре).

    Current Mood: hungry
    Monday, May 20th, 2019
    deevrod
    7:50a
    Октавы на возвращение на север
    не на перетын и перерез
    к хохлам в весёлые слободки
    бездонную пучину через
    перемахну и выжру водки --
    що мова рідная маєтно
    одно лишь слово для сечений
    необычайно когерентна
    она для сих обозначений

    градирни
    градирни
    градирни
    гамма-матрицы
    газета 'Завтра'
    голая женщина
    гвозди, гвозди какието здоровые кривые отвсюду торчат из бетонных плит
    грозовые тучи

    не грецкая икота
    на Яна с Панайота
    не шип котов евреев
    на трубы под столом --
    сей грубый дятел Вуди
    сей звук глушит и греет
    и крошит лёд как скрюдель --
    углом углом углом.

    казаки евреев переразали
     -- глори! глори! аллилуйя!
    переткнули дрекольём в грудину,
     -- купил доху я на меху я!
    а Москва в бреду в крови рожала Цезаря
     -- гори, гори ясно! гори, гори ясно!
    хоть и Главного но всё-таки кретина
     -- лишь бы знать бы что не напрасно!

    стонет девка: постой!
    не забудь! не забудь!
    я могу кочергой
    по башке пиздануть!
    а когда надоест
    лизать слёзы с лица --
    гамматический крест
    или виселица!!

    То не пара голубых прошла сквозь сердце
    Как грабители не спя глубокой нощию --
    Приходила в школу мамка с малой дочерью,
    Отдавала то ли в секту, то ли в секцию.
    Не спасут её ни Геббелюс, ни Паулюс:
    Ходит дочь с гербом, трианглем розовым.
    Зато Цезарю Москва недаром кланялась:
    Всё велел глобально высечь розгами.

    Неважно, сколько их, гондонов,
    Грассируют сей звук южнее:
    На свете много разных звонов,
    Но взрыв и взор всего важнее.
    Услышать голос ясной дамы
    И увидать в открытой шторе --
    Леса, согбенные годами,
    Гранит, горение, и горе.

    Моя родина там где начинается на букву Г

    Current Mood: sleepy
    Current Music: Цыганята и Я с Ильича -- Быстротечные синьоры
    Saturday, May 18th, 2019
    deevrod
    5:35p
    Пусть E \to X -- расслоение с плоской связностью D с ковариантно постоянным скалярным произведением. Если имеется евклидово расслоение F \to X с ортогональной, но не обязательно плоской связностью \nabla, то её можно реализовать при помощи отображения \alpha \colon F \to E, которое является изометрией на образ, как \nabla_us = \pi(D_u\alpha(s)), где \pi -- ортогональная проекция на образ \alpha, если ранг E достаточно велик. Не знаю, как доказывать это утверждение, и хотя бы верно ли оно; для случая, когда многообразие X компактно, F -- его касательное расслоение, а \nabla есть связность Леви-Чивиты, это утверждение следует из теоремы Нэша о вложении. Мы, однако, ищем не вложения в евклидово пространство, а лишь отображения расслоений; быть может, этот результат можно доказать совсем элементарно.

    Для связностей в касательном расслоении, реализованных таким образом, тензор кручения очень просто описать. Именно, в таком разе \alpha можно воспринять как дифференциальную форму с коэффициентами в сечениях E, и плоская связность D позволяет распространить дифференциал де Рама на такие формы. Тогда кручение есть просто проекция \pi(d\alpha). Это, разумеется, следует из стандартного определения кручения как дифференциала от тождественного оператора, рассмотренного как 1-форма с коэффициентами в векторных полях. Но в таком виде это позволяет понять, что всё, что я написал (pdf, 204 kB), к сожалению, не может быть верно.

    Вообще очень обидно, что придумываются только тавтологии.

    Current Music: Игорь Молотов -- Как мы строили будущее России
    Friday, May 17th, 2019
    deevrod
    3:09a
    Фау значит Воронеж
    Сегодня два часа стоял в душной комнате 'проверял', что во время экзамена никто не списывает. Воображал из себя, что могу тонко изобличить, кто списывает (конечно, не могу) -- но если и мог бы, не стал бы этого делать, из какой-никакой классовой близости к экзаменуемым. Это вообще было лучшей возможной метафорой того, чем я занимался весь семестр: ни мне, ни студентам ничем разумным заниматься это не давало, и так два часа подряд, без передышки. Студенты мучались, я мучался, лектор тоже мучался -- и при надзоре, и при проверке. Я тоже мучался читать это слабоумие три часа кряду. Вообще непонятно, как американцы умудряются что-либо выучить.

    Зато в промежутке между надзором и проверкой пошёл в ближнюю кафешку, а там меня окликнул Фау-1, которого я не видал с тех пор, как мы во чреве одного самолёта летели в столичный город Москву, и потом ехали в такси и обсуждали, кто из нас при каких обстоятельствах вышел из клозета. Было очень приятно. А потом, идучи после проверки в грузинское место, чтобы съесть хачапури и напиться, встретил совершенно случайно Фау-2, что было совсем уж невероятно -- к NYU он вообще никак не относится, а работает где-то внизу Манхэттена, едва ли не в WTC. Учитывая, что мы уже два месяца живём в одном городе, и всего третий раз видимся, и всё примерно за неделю (предыдущей встрече посвящён предыдущий же пост) -- это совсем уж странно. Иголку, блин, вытянул из стога сена, ферромагнетиком сердца своего, летящим по набережной времени сего.

    Если я изыщу этот параллельный спинор, я назову его буквой фау.

    Current Mood: drunk
    Sunday, May 12th, 2019
    deevrod
    4:31p
    Вест-Форт-стрит
    Говорят, пузырьки пара в кипящей кастрюле родятся
    На неровностях дна,
    На выступах или в щелях --
    Никто не знает.
    Да это и неважно.

    Когда шар ударяет шар
    Когда глаз отражает глаз
    На сукне, незнакомом трению --
    Где родиться виршу?
    Да может, ему и не нужно рождаться.

    Я вижу то, как ты видишь меня, смотрящего в тебя --
    Кажется, траектории этого биллиарда
    Вполне интегрируемы.
    Легко предсказать, что будет и через десять,
    И через сто, и тысячу соударений --
    Радость этого предсказания так свежа,
    Что никакого действия уже не требуется.

    Я как тот паучок, что карабкался
    Вверх по сетке своих идеалов,
    И вдруг оказался на её вершине,
    Хотя и в сердце своём.

    Теперь я снова верю в аксиому выбора.
    Tuesday, May 7th, 2019
    deevrod
    4:45p
    Мыльные плёнки в торсионном поле и параболы Вербицкого
    Я всё хотел построить отображение из базы пучка Лефшеца-Ковалёва в пространство периодов слоя, которое как-то бы уважало связность Лиувилля-Арнольда, которая на ней имеется. Самая логичная форма уважения состоит в том, что поверхности, минимальные относительно этой связности (а точнее их подъёмы в единичное касательное расслоение) отправлялись бы этим отображением в ростки голоморфных кривых в пространстве периодов. Прообразы таких поверхностей были бы в тотальном пространстве имели бы внешнюю кривизну, собственные числа которой разбивались на пары, отличающиеся знаком, и там самым почти комплексная структура, данная векторным умножением на единичную нормаль, была бы интегрируема. Получалось бы семейство K3-поверхностей (или торов), изоморфное ограничению универсального семейства над пространством периодов на образ желанного отображения. Проект этот кажется накрылся, но не вполне (и всё-таки какой-то такой милости от природы я ещё ожидаю).

    А с другой стороны нам известно, что дискриминант пучка Лефшеца-Ковалёва -- это некоторое зацепление. Давайте на минутку представим, что мы нашли вышеописанное отображение, а база наша односвязна. Натянем на связную компоненту этого зацепления мыльную плёнку, минимальную относительно связности Лиувилля-Арнольда. Это не вполне корректная операция, поскольку связность не определена в дискриминанте, так что эта плёнка будет уходить как бы на бесконечность; кроме того, если эта компонента не является изолированным неузлом, то гомологический класс плёнки будет с необходимостью пересекать другие компоненты дискриминанта или же самопересекаться. Всё равно. Образом её (точнее её универсального накрытия) будет некая кривая, по всей видимости целая, в пространстве периодов, уходящая на бесконечность. В простейшем случае, когда тотальное пространство есть произведение эллиптической K3 и тора, а проекция падает не на тор, а на S^2 x S^1, дискриминант будет иметь вид Q x S^1, где Q \subset S^2 есть 24 точки, в которых эллиптический пучок вырождается. Это расслоение инвариантно относительно вращения вдоль S^1-сомножителя, так что слои над компонентами дискриминанта постоянны при движении вдоль него. К этому расслоению спекуляция выше неприменима, поскольку компоненты дискриминанта не гомологичны нулю; однако если такая инвариантность вдоль дискриминанта имеет место, то можно было бы поверить, что та целая кривая -- образ нашей плёнки под гипотетическим отображением периодов -- будет иметь в пространстве периодов только одну точку на бесконечности.

    С другой стороны, для лагранжевых K3-поверхностей такие кривые хорошо известны, и даются вырожденной твисторной деформацией (PDF, 332 кБ), как её называет автор, а мы с [info]v_r зовём эти кривые по-простому параболами Вербицкого. Если одно имеет отношение к другому, то это, кажется, даёт сильное ограничение на возможные особенности пучков Ковалёва-Лефшеца. Но как и в случае с моей оригинальной догадкой, скорее всего, утверждение тут гораздо сложнее себе представить. Надо понять, что происходит для примеров Ковалёва.

    Current Mood: okay
    Current Music: Михаил Елизаров – Пассионарный толчок
    Saturday, April 27th, 2019
    deevrod
    12:09a
    кольцо тридцать девятого
    в чужом обличьи заперт
    зашёлся аниматор:
    -- открылся супермаркет!..
    -- открылся супермаркет!..
    ...накрылся трансформатор.

    погасли небо и луна,
    а снопы искр железных
    взметались выше, чем сосна,
    и вновь тонули в безднах,
    на дно каналов и канистр,
    по тюрьмам и аптекам --
    но может быть, что ты одна
    из миллиона этих искр
    осталась человеком.

    я видел из своей норы:
    -- как шёл на митинг либерал;
    -- как Кантор в дурке помирал;
    -- как свет катился с той горы;..

    и вдруг опять при свете дня
    я копошусь как Рубашов:
    торопишь ты бежать меня,
    а я -- рукав свой не нашёл.
    Tuesday, April 23rd, 2019
    deevrod
    6:33p
    Ещё про Синодальную
    В википедии про Елизарьева написано чёрт знает что такое. За отсутствием в интернете текста трудно судить, но по-видимому '«английская землемерная книга 1616 года»' это не книга Спейделя, а The surueyor in foure bookes некоего Аарона Ратборна (в интернете есть титульный лист).

    The first geometrical text in Russia was a manuscript of 1625 of which the greater part is a barely comprehensible literal translation of parts of Aaron Rathborne's The Surveyor (London, 1616) with an engraved title page cut from Een nieu constich boeck (Rees, 1608), which in turn was copied roughly from Peter Apian's Instrumentbuch (Ingolstadt, 1533): see W. F. Ryan, 'Rathborne's Surveyor (1616/1625): the first Russian Translation from English?', Oxford Slavonic Papers, XI (1964) 1-7. Despite the absolutely literal nature of this translation, right down to the dedication of the book to the Prince of Wales and the misreading of typographical peculiarities, the identification is nevertheless thought to be still doubtful by two Russian scholars who, one must assume, were unable to inspect a copy of Rathborne: see O. E. Kosheleva, R. Simonov, 'Novoe o pervoi russkoi knige po teoreticheskoi geometrii XVII veka i ego avtore', Kniga. lssledovaniia i materialy, XLII (Moscow, 1981) 63--73 (these two authors do, however, add valuable information, especially about the translator, a Greek with an English wife, known in England as 'Lord John Albertus'). The engraving has also been ascribed to another source - Apian's Instrumentbuch itself - despite obvious differences: see Iu. A. Belyi, 'Ob istochnike izobrazheniia astronomicheskikh instrumentov v russkoi matematicheskoi rukopisi nachala XVII veka', Istoriko-astronomicheskie issledovaniia, XXV (1982) 18-5. Beyi considers the manuscript to be a Russian work based on Euclid, Archimedes, Petrus Ramus and John Speidell, but offers no evidence.

    Упомянутой статьи про Джона Альбертуса я не нашёл, но какая-то информация про него ищется.

    Причиной "исправления веры" в других случаях можно считать факт тесного об­щения "греков" с протестантами. Как уже отмечалось, по правилам того времени полу­чение причастия, как и посещение неправославного храма предполагали "очищение" (первый чин — для представителей Киевской митрополии и второй — для пленных). Судя по материалам Посольского и Разрядного приказов, греки сопоставлялись с плен­никами и к ним применялся второй чин. Так, в 1628 г. в Россию приехал Иван князь Елизаров сын Адьбертус Долмацкий. Он рассказал в Посольском приказе, что пять лет жил во Франции, а затем семь — в Англии, где и женился. В России смешанные браки были запрещены. На расспросе князь всячески старался отклонить нависшую над ним тень неблагочестия: "и живучи во Францужской и в Аглинской земле держал все греческую веру и по сю пору, а к немецкой их которой вере не приступал и ничим не приобщался". Но сам же признался (видимо, отвечая на заданный вопрос), что последний раз причащался в православной церкви во Франции семь лет назад. Пребывание в католической и протестантской странах, жена — протестантка, долгое отсутствие причастия — все это могло послужить причиной решения отправить князя под начало. От патриарха Филарета Никитича за "исправление христианские веры под началом" князь получил серебряный ковш в полторы гривенки, камку куфтерь в 10 рублей, тафту широкую в 4 рубля, сукно лундыш в 4 рубля, сорок соболей в 25 рублей.

    По датам немного не сходится, зато объясняется княжеский титул: якобы он был родственником Палеологов (для этого Ивана Обраслановича, конечно, немыслимый). Не очень понятно, с другой стороны, как грек, проживший семь лет в Англии и женившийся на англичанке, мог перевести текст, не вникая в его смысл.
    deevrod
    1:27p
    Нашёл у А. Д. Александрова (PDF, 4.3 MB) чисто фейерабендовский пассаж:

    Именно гибкость понятий, а не их формальная жесткость, является
    главным средством движения науки и дает ей достижения, которые только
    потом приобретают формальную строгость. Говорят порой, что «философы
    Востока», не построив такой же строгой математики, как греки, не смогли
    пойти дальше их. Но мы видим, что дело обстояло как раз наоборот.
    Математики Востока, так же как потом ученые Европы, смогли пойти
    дальше греков в большой степени именно потому, что не заковывали свою
    мысль греческой строгостью!


    Это из введения в 'Беседы по истории науки', в целом не очень интересного. Тем занятнее эта мысль, которую он сообщает как саму собой разумеющуюся. Фейерабенд об этом кажется тоже ничего не пишет, либо не замечая, либо считая это всем известным. Мне же такая перспектива попадается впервые: обычно говорят о 'задержке развития науки церковниками' и тому подобной ерунде, либо про какие-то мифические достижения утраченного европейского анализа, основанного на рядах Фурье вместо рядов Тейлора, и происходящего из изучения эпициклов. А ведь в принципе, кризис 'метода' древних греков был очевиден ещё во времена Архимеда, который вроде бы получал свои результаты не 'виртуозным использованием метода исчерпывания', а из собственных механических соображений, лишь потом оформляя их в классическую форму (равно как и Аполлоний, равно как видимо и Папп).

    Чтобы два раза не вставать: нашёл в википедии вот такое, https://ru.wikipedia.org/wiki/Синодальная_№_42

    Русский учебник геометрии, составленный в 1625 году неким Ивашкой Елизарьевым. Идентичность его неясна; предполагается некий 'Елизаров Иван Обрасланович - звенигородский городовой дворянин (1627-1629), московский дворянин (1636-1640).' Удивляет даже не сколько современность этого учебника (он отчасти является переводом с английского книги Спейделя, ученика Напиера, напечатанной в 1616 году), сколько терминология. Именно, слово 'punctum' он переводит не как существовавшее в церковнославянском 'точка' (что согласуется с этимологией обоих слов), а как 'мысок'. Очевидно, Елизарьев спутал его с географическим термином 'point', обыкновенно означающим мыс (как например в названии Пунта-Аренас, самого южного города Земли). По всей видимости, Елизарьев не очень хорошо знал латынь, но при этом был хорошо знаком с западноевропейскими мореходными терминами. Возможную биографию его отсюда можно легко вообразить; весьма печальный контраст она составляет с его судьбою после того, как он забросил писать свой учебник. С другой стороны, это всего лишь малообоснованная фантазия: другая часть учебника основана на латиноязычной книге Петра Рамуса, с которой Елизарьев, правда, мог ознакомиться в переводе. Непонятно, правда, каком: английский перевод какого-то из его геометрических трудов, возможно, не того, который инкорпорировал Елизарьев, был напечатан в 1636 году, а на других языках, которые он мог бы знать, ничего найти не удаётся. Более того, судя по всему, это сочинение 'Via Regia ad Geometriam de Petrus Ramus' само по себе является компиляцией, выполненной Бедвеллом, который прославился как один из первых в Европе исследователей арабской и персидской литературы.

    Current Music: Егор Летов -- Система
    Monday, April 8th, 2019
    deevrod
    9:24p
    Пару ночей после того, как меня выгнали, провёл незнамо где -- ну ок, в первую напросился в предыдущую квартиру, а во второй день думал, что успею что-нибудь снять, но ничего не нашёл, и ночевал, как Некрасов в ночлежке, у себя в офисе. Мне-то в принципе не то что бы совсем неудобно -- у меня тут и подушка и одеяло были (пришлись после первого года без надобности при всех переездах), но всё равно очень обидно. Второго же апреля поселился в Гарлеме, в бульваре Малькольма Ѯ, против церкви адвентистов седьмого дня, называемой Ефесской. Весьма удобно, до меня в этой квартире никто не жил.

    Не знаю, может это случилось в офисе, а может ещё где, но после переезда жутко застудил себе уши. Они у меня и так всё время болят и отслаиваются, а сейчас совсем сильно болит, особенно в левом ухе, слышу всё вполсилы, жевать на левой стороне невозможно, и временами температура и всего трясёт. Сходил ко врачу, прописали антибиотики. Всё бы прекрасно, но чует моё сердце, что это грибок, а если так, то антибиотики только навредят. Ещё очень надеялся, что сделают клизьмование. Кажется самое приятное воспоминание в моей жизни было, когда мне в больнице имени Миротворцева в Саратове сделали клизьмование уха, и вымыли оттуда здоровенный вонючий трихобезоар. Всеми евстахиевыми трубами ощущал тогда тепло глицерина и свободу; наверное, когда путяру попячат, будет сравнимого приятства чувство. Но не сделали! Очень обидно.

    Зато сегодня смог прочитать больше трёх страниц математического текста. Не очень понятно, зачем я это сделал, но учитывая, что я не мог сделать этого уже чёрт знает сколько, тоже немного отрадно. Неэман очень умён.

    Завтра ещё идти какие-то манипуляции с зубом делать. Не понимаю, как я не сдох ещё вообще.

    Current Mood: sick
    Saturday, March 30th, 2019
    deevrod
    10:04p
    Приехал в Вашингтон-DC искать могилу полковника Манакина. Нашёл. Не то что бы радости от этого никакой; но с погодой я жестоко обманулся -- по прогнозу должно было быть +2 и моросить, а было +20 и палило немилосердно. Поэтому довольно долгое время провёл в тени часовни Монреальской иконы Божией Матери, работая с тетрадкой. Думал же вот о чём: в Вашингтоне помимо номерных юго-северных и западно-восточных улиц и авеню есть ещё идущие наискось проспекты, названные в честь штатов, нередко они пересекаются по три. Что такое манхэттенская метрика, все знают; теперь давайте для 3-ткани определим вашингтонскую метрику как кратчайшее расстояние по нитям. Она, как и манхэттенская метрика, больше евклидовой, но предсказуемо, не больше, чем в константу раз. Такая константа из трансляционно-инвариантных тканей на евклидовой плоскости минимизируется на той, у которой нити под 60 градусов. Её можно описать иначе: именно, трансляционно-инвариантная ткань на плоскости определяется симметрической 3-формой, в которой нити изотропны. Если эта форма невырождена, то её след по евклидовой структуре нулевой тогда и только тогда, когда её нити пересекаются под углом 60 градусов. Интересно, можно ли что-то подобное заключить для голоморфных 3-тканях на базах лагранжевых расслоений на гиперкэлеровых четырёхмерных многообразиях.

    'Интересно' ему; а доказать ты что-нибудь можешь? 3-ткани, совсем уже скоро петухом запоёт. Всё-таки очень тошно от занятий таким никчёмным онанизмом. Ещё из кваритры выгоняют, в которой я живу; лэндлорд-де недоволен, что съёмщик подселил меня, не уведомив его. Не очень-то и хотелось, на самом деле; но всё равно не хочется ничего искать, ещё с какими-то 'людьми' разговаривать. Зуб ещё ставить решил себе на голову.

    Раньше всё ждал, когда же закончится жизнь в этом чудовищном городе и я наконец поеду работать куда-нибудь в Польшу, но теперь становится ясно, что никакой диссертации я скорее всего не защищу. Ну поеду в Саратов, господи. Арбитман вон и из Саратова просвещает всех.

    Current Mood: tired
    Current Music: Янка Дягилева -- Полкоролевства
    Thursday, March 28th, 2019
    deevrod
    3:40p
    SO(3)-структура на сферизации касательных расслоений трёхмерных многообразий
    SO(3)-структура на пятимерном пространстве есть отождествление его с пространством симметрических эндоморфизмов с нулевым следон на неком трёхмерном евклидовом пространстве. Она определяется симметрической 3-формой -- следом произведения трёх эндоморфизмов. Как нас учат Агрикола, Беккер-Бендер и Фридрих (со святыми упокой!), полем SO(3)-структур на многообразии связывается евклидово расслоение ранга три, из которого касательное расслоение к SO(3)-многообразию получается как расслоение тензоров со следом нуль в его симметрическом квадрате.

    Подобием 'лагранжева расслоения' на пятимерном SO(3)-многообразии могло бы служить расслоение над трёхмерной базой такое, что оным характеристическим расслоением служил бы откат касательного расслоения базы. У меня всегда имелось чувство -- то ли потому что я вычитал это из работ Нуровского про летающие тарелки, то ли ещё откуда-то, не помню откуда -- что SO(3)-структура должна существовать на тотальных пространствах единичных касательных расслоений к трёхмерным римановым многообразиям специальной геометрии.

    Будем обозначать единичную сферу в евклидовом пространстве E за UE, и пусть X -- трёхмерное риманово многообразие, а M = UTX -- сферизация. Для вектора u \in UT_x хотелось бы построить действие векторов из T_u(M) на T_x(X). Проще всего определить результат применения вертикальных векторов из T_u(UT_x(X)) \subset T_u(M) к самому вектору u. В самом деле, касательное пространство к единичной сфере есть канонически Hom(u, u^\perp); результат применения соответствующего гомоморфизма к u и естественно считать результатом того самого вычисления.

    Я уже как-то писал о том, как устроено разложение пятимерного SO(3)-пространства, если зафиксировано разложение трёхмерного пространства, из которого оно произведено, в сумму перпендикулярных прямой и плоскости. Если выбрать ортонормальный базис e_0, e_1, e_2, в котором прямая будет натянута на вектор e_0, то операторы разложатся в матрицы вида

    0 a b
    a 0 0
    b 0 0
    ,

    2c 0 0
    0 -c 0
    0 0 -c
    ,

    и

    0 0 0
    0 x y
    0 y -x
    .

    Это, по всей видимости, разложение нашего пространства на неприводимые представления группы SO(2) \subset SO(3), сохраняющей наше расщепление. Но я далёк от теории представлений, так что не стану говорить о том, чего не знаю и знать никогда не смогу. Итак, операторы, которыми действуют вертикальные вектора, немного напоминают операторы первого класса -- кстати, на плоскость таких операторов 3-форма ограничивается тождественным нулём, что также напоминает о лагранжевости. Тем самым, логично доопределить это действие на u^\perp тождественным нулём.

    Теперь нужно определить, как действуют горизонтальные вектора. Говоря 'горизонтальные', я пользуюсь разложением TM при помощи связности Леви-Чивиты, что, вообще говоря, может быть неадекватным задаче. Но я не пишу статью, а фиксирую мысли. Возможно, в естественной общности нужно рассматривать некую метрическую связность вообще говоря с кручением. Итак, горизонтальные вектора таже естественно разлагаются в сумму векторов, направляющих геодезический поток, и перпендикулярных к ним векторов. Очевидно, геодезические вектора должны действовать оператором второго класса; то есть на самом векторе u действовать растяжением в 2\kappa раз, а на его ортогональном дополнении -- растяжением в -\kappa раз. Выбирать точное значение \kappa сейчас было бы произволом.

    Осталось понять, как действовать горизонтальными подъёмами векторов, перпендикулярных u. Оставшиеся нам операторы обнуляют u, а на ортогональном дополнении к нему действуют как композиция гомотетии (с коэффициентом \lambda, который мы пока подбирать постесняемся) и отражения относительно какого-то вектора (тоже в общем-то непонятно какого из них всех). Условимся считать для простоты, что оператор, сопоставленный вектору v \in \widetilde{u^\perp} \subset Hor \subset T_u(M), действует на v растяжением в \lambda раз, а на его общем с u перпендикуляре -- растяжением в -\lambda раз. Замечу, что это всё равно произвол, и, возможно, скрывающий истину.

    Итак, мы построили даже не одну почти SO(3)-структуру, а как минимум двухпараметрическое семейство. Однако около-интегрируемость каких-либо из этих структур -- то есть существование связности, относительно которых она параллельна, со вполне кососимметрическим кручением -- мне совершенно неочевидна. Неясно также, какие из них согласованы с саскиевой метрикой на единичном касательном расслоении (это вычислить просто, но не хочется. Я вообще есть хочу). Замечу вместо этого, что у нас имеется выделенное векторное поле -- а именно, дифференциал геодезического потока. Обозначим его s. Его можно подставить в форму \Psi любое число раз от нуля до трёх, и получить при этом более знакомые формы. Не буду расписывать сам процесс -- это в основном умножение матриц 3-на-3; А результаты его такие.

    • \Psi(s,s,s) = 6\kappa^3.

    • \Psi(s,s,-) есть 1-форма, ядро которой -- стандартное контактное распределение на сферизации кокасательного расслоения.

    • \Psi(s,-,-) есть симметрическая 2-форма. С учётом вышесказанного, достаточно определить её на контактном распределении. Вертикальное и горизонтальное подрасслоение относительно неё перпендикулярны. На вертикальное подрасслоение она ограничивается как \kappa g, где g -- сасакиева метрика. На пересечение горизонтального подрасслоения с контактным она ограничивается как -2\kappa\lambda^2 g.


    Таким образом, если я поляризацией переведу 3-форму \Psi в оператор TM \to End(TM), то оператор, в который переводится геодезическое поле, сохрахяет контактное распределение, а геодезическое поле растягивает в 6\kappa^3 раз. Учитывая, что метрика реконструируется по 3-форме как \Psi_w^2(w) = g(w,w)w, то для w = s имеем 36\kappa^6 s = s, откуда, чтобы обратно восстановилась именно сасакиева метрика, необходимо \kappa = \pm \sqrt[3]{6}. Выписывать \Psi_w для контактных векторов w мне лень; довольно ясно, что ни для каких значений \lambda нельзя ожидать, что восстановившаяся метрика будет сасакиевой. Не очень понятно, хорошо это или плохо.

    Current Mood: hungry
    Current Music: Егор Летов -- Психоделический камешек
    [ << Previous 25 ]
About LJ.Rossia.org