Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p
Один из главных результатов SGA 4 1/2 гласит, что для любой схемы конечного типа над полем высшие прямые образы сохраняют конструктивность пучков N-кручения, если N взаимно-просто с характеристикой поля k.

Теорема 1: Пусть f:X --> Y морфизм схем конечного типа над полем k и F -- конструктивный пучок N-кручения на X, где N взаимно-просто с характеристикой поля k. Тогда R^if_*F является конструктивным пучком для всех i.
Доказательство: SGA 4 1/2, Th. Finitude Thm. 1.

Замечание 1: На самом деле (как бы это ни было парадоксально) самый сложный случай в этой теореме -- это случай открытого вложения j:X --> Y. Любой отделимый морфизм конечного типа в квази-компактную квази-отделимую схему можно представить как композицию открытого вложения и собственного морфизма. Доказательство сохранения конструктивности при взятии высших прямых образов относительно собственных морфизмах не очень сложно и доказано в любой книжке по этальным когомологиям. Поэтому реально весь вопрос в открытых вложениях.

Замечание 2: В характеристике 0 это утверждение намного легче благодаря разрешению особенностей.

Следствие: Пусть Х схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем k и натуральное число N взаимно-просто с характеристикой N, тогда (этальные) когомологии H^i(X, Z/N) и H^i(X, \mu_N) являются конечными группами для всех i.
Доказательство: Применить теорему к морфизму X--> Spec k и пучкам Z/N и \mu_N. Конструктивность R^if_*(--) в этом случае соответствует ровно конечности групп H^i(X, --)

Вопрос, которым можно было бы задаться, есть ли аналог этого утверждения для жёстко-аналитических пространств. Зафиксируем полное алгебраически-замкнутое неархимедово поле K с кольцом целых O_K и полем вычетов k. Так как жизнь с жёстко-аналитическими пространствами и так очень сложная, то упростим себе немножко жизнь и предположим, что K характеристики 0.

Теорема 2: Пусть Х квази-компактное отделимое жёстко-аналитическое пространство над полным алгебраически замкнутым неархимедовым полем K смешаной характеристики (0,p). Тогда для любого конструктивного пучка F N-кручения, где N взаимно-просто с p, (этальные) когомологии H^i(X, F) являются конечными группами.
Доказательство: Cм. статью Хубера "A finiteness result for direct image sheaves on the etale site of rigid analytic varieties" (Насколько я понимаю, в такой общности этот результат не был известен до Хубера)

Замечание: Ситуация с высшими прямыми образами (да и высшими прямыми образами с компактным носителем) для произвольного (квази-компактного) морфизма жёстко-аналитических пространств намного сложнее.

По аналогии с Теоремой 1 мы хотели бы сказать, что условие на взаимную простоту N с p излишне. В этом случае p -- это характеристика поля вычетов, хотелось бы, чтобы, например, на жёстко-аналитических пространствах над Q_p (или C_p) была хорошая теория когомологий с коэффициентами в F_p (как она существует в случае схем над Q_p). Первый шаг в этом направлении это теорема сравнения алгебраических этальных когомологий и аналитических.

Теорема 3: Пусть Х cхема конечного типа над алгебраически замкнутым неархимедовым полем K характеристики 0, тогда для любого конструктивного пучка F этальные когомологии H^i(X, F) совпадают с когомологиями аналитификации H^i(X^{an}, F^{an}).
Доказательство: Теорема 3.7.2 книжки Хубера "Etale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces" (Опять же, насколько я понимаю, в такой общности теорема была неизвестна до Хубера)

То есть для аналитификаций схем мы имеем теорему конечности и в случае аналитических этальных когомологий (Теорема 1+Теорема 3). Можно предположить, что мы должны иметь разумную теорию когомологий с коэффициентами в F_p для любых жёстко-аналитических пространств. Но оказывается, что это совершенно неверно! Этальные когомологии аффинноидов с коэффициентами в F_p практически всегда бесконечномерны!

Контрпример:

Рассмотрим замкнутых единичный p-адический диск X:=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}< T>) (\C_p< T> -- одномерная алгербра Тейта над полем \C_p)и постоянный пучок \F_p на нём. Так как C_p алгебраически замкнуто, то мы можем выбрать какой-нибудь корень p-ой степени из 1 и отождествить пучок \mu_p корней p-ой степени из 1 с пучком \F_p. Тогда имеется короткая точная последовать Куммера

0 --> \mu_p --> G_m --> G_m --> 0,

где первое отображение -- это естественное вложение, а второе -- это возведение в p-ую степень. Так как характеристика \C_p равна 0, то эта последовательность точна в этальной топологии. Поэтому мы имеем длинную точную последовательно когомологий

0 --> \mu_p(\C_p< T>) --> \C_p< T>^* --> \C_p^* --> H^1(X, \mu_p) --> H^1(X, G_m) --> ...

Заметим, что H^1(X, G_m) это просто группа Пикара, то есть эта группа классифицирует линейные расслоения с точностью до изоморфизма.

Утверждение: На замкнутом единичном шаре X=Spa(\C_p< T>, \O_{C_p}) все линейные расслоения тривиальны (изоморфны \O_X).
Доказательство: Выберем линейное расслоение L на X, тогда по теореме Киля (Thm 6.1/4 из книжки Bosch "Formal and Rigid Geometry") L задан каким-то конечным A:=\C_p< T> модулем. Обозначим этот модуль за M, давайте докажем, что M является проективным модулем ранга 1. Это достаточно проверить для всех локализаций M в максимальных идеалах алгебры А. Но для любого максимального идеала \m\subset A и соответствующей точки x_{\m}\in Spa(A, A^0) мы знаем, что пополнение слоя пучка L в точке х совпадает с пополнением локализации модуля M в \m. Другими словами, верно следующее

L_{x}^=M_{\m}^.

Таким образом мы знаем, что для любого максимального идеала \m \subset A пополнение локализации модуля M в идеале \m есть свободный модуль ранга 1. Но так как отображение A_{\m} --> A_{\m}^ является строго плоским (А нётерово!!), и M_{\m}=M\otimes_A A_{\m}^ (в силу конечности А-модуля M), то строго плоский спуск для конечно-представленных проективных модулей говорит нам, что M_{\m} тоже является проективным модулем ранга 1.

Суммируя, мы показали, что любое линейное расслоение приходит из проективного модуля ранга 1 над алгеброй А. То есть мы свели задачу к проверке Pic(A)=0. Но это следует напрямую из того факта, что А есть область главных идеалов (Cor 2.2/10 из той же книжки Bosch'a). Победа!


Отлично, значит H^1(X, G_m)=0, следовательно H^1(X, \mu_p)=\C_p< T>^*/(\C_p< T>^*)^p=A^*/(A^*)^p (фактор алгебры Тейта по p-ым степеням). Теперь нужно понять почему это алгебра бесконечна.

Поcтроим отображение q:A^* --> \C_p как q(f)=f'(0)/f(0). Стандартный факт из неархимедового анализа утверждает, что функций обратима в алгебре Тейта <=> она не зануляется на замкнутом единичном шаре. В частности, для любой обратимой функции f мы имеем f(0) \neq 0. А значит это отображение корректно определено. Заметим, что q является гомоморфизмом (в аддитивную группу \C_p) в силу правила Лейбница.

Несколько свойств отображения q:

1) Образ q лежит в \O_{C_p}. Действительно, Следствие 2.2/4 из всё той же книжки Bosch'a говорит, что функция f=a_0+a_1T+a_2T^2+... обратима в алгебре Тейта <=> валюация a_0 строго больше валюаций a_i для любого i>1. В терминах рядов отображение q записывается как q(f)=a_0/a_1, а значит в силу критерия выше v(a_1/a_0)<1 <=> a_0/a_1 лежит в \O_{\C_p} (это ровно элементы с валюацией <1).

2) Гомоморфизм q сюрьективен. Действительно, для любого a\in \O_{C_p} просто рассмотрим функцию f=1/a+T. Легко видеть, что она обратима (из критерия выше или можно построить обратную руками), и значение q(f)=1/(1/a)=a.

Получаем, что пункт 1) гарантирует, что отображение q:A^* --> \O_{C_p} индуцирует отображение p:A^*/(A^*)^p --> \O_{C_p}/p, и пункт 2) гарантирует, что это отображение сюрьективно.

Последний шаг: замечаем, что \O_{C_p}/p является бесконечной группой, потому что имеет фактор \O_{C_p}/ \m_{\O_{C_p}}=\bar{F_p} -- алгебраическое замыкание конечного поля F_p, поэтому сама является бесконечной. В частности, она бесконечномерна как векторное пространство над F_p.






P.S. Отмечу, что Шольце доказал, что для (гладких) собственных жёстко-аналитических пространств этальные когомологии H^i(X, F_p) всё-таки являются конечными группами! Доказательство вполне нетривиально и критическим образом использует развитую им теорию перфектоидов и проэтальных морфизмов. Ситуация с этальными когомологиями жёстко-аналитических пространств с коэффициентами в F_p напоминает ситуацию с кристаллическими когомологиями в хар-ке, где мы имеем разумную теорию (например, конечномерность) только на гладких(это условие необязательно? я не знаю) собственных многообразиях.