Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет azrt ([info]azrt)
@ 2019-10-28 23:51:00

Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Компактные топологические пространства не компактные объекты в категории топологических пространств
В этом посту я построю простой пример компактного топологического пространства, которое не является компактным объектом в категории топологических пространств. Этот пример демонстрирует иронию с выбором определений (я их напомню чуть ниже). Обычно говорят, что компактные объекты призваны ``моделировать'' компактные топологические пространства в абстрактных категориях. На сами компактные пространства не являются примером компактных объектов в категории топологических пространств, как покажет пример в этом посту. Более подробная история связи этих определений мне неизвестна.

Определение: Объект X категории С называется компактным, если функтор Hom_C(X, -- ) коммутирует со всеми фильтрованными(!) копределами. Более точно, естественной отображение colim Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C(X, colim Y_i) изоморфизм для любой фильтрованной системы Y_i.

Это определение ``моделирует'' компактность. Так как в случае категории топологических пространств Top и открытых вложений(!) Y_i--> Y_{i+1} условие, что colim Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C (X, colim Y_i) есть изоморфизм -- это ровно условие на компактность образа X в colim Y_i. Более того, сложная часть доказательства равенства этого естественного отображения -- это, как правило, проверка того, что любое отображение X --> colim Y_i пропускается через какой-то ''конечный уровень'' X--> Y_i --> colim Y_i. Это похоже на компактность. Однако оказывается, что компактность не влечёт это условие!

Пример очень простой. В качестве компакта Х нужно взять замкнутый отрезок [0,1]. Тогда я утверждаю, что [0,1] является фильтрованным копределом всех своих счётных подмножеств (с топологией подмножества). Обозначим все такие подмножества за X_i, i\in I. Тогда легко видеть, что копредел colim X_i фильтрованный, так как для любых двух множеств можно взять их объединение. Тогда из универсального свойства имеется естественное непрерывное отображение

colim_{i\in I} X_i --> X.

Нужно проверить, что это гомеоморфизм. Это отображение очевидно биективно из построения. Осталось проверить, что это отображение топологической факторизации. Из определения топологии копредела это сводится к проверке того, что подмножества U\subset X=[0,1] открыто, если все пересечения U\cap X_i открыты для счётных подмножеств X_i \subset X. Допустим, множество U не открыто, но пересечения U\cap X_i открыты. Тогда множеств Z:=[0,1]-U не замкнуто, то есть существует последовательность x_i\in Z, которое имеет предел в U. Обозначим предел за x. И возьмём счётное подмножество Y\subset [0,1], состоящее из x_i и x. Из условия на U заключаем, что U\subset Y открыто, и оно содержит x по построению. Но x_i стремится к x, следовательно x_i\in U для больших i, но это не так по построению, противоречие. Значит U открыто, то есть отображение colim_{i\in I} X_i --> X есть отображение топологической факторизации, а значит гомеоморфизм.

Теперь заметим, что отображение colim Hom_{Top}(X, X_i) --> Hom_{Top}(X, colim X_i)=Hom_{Top}(X, X) не может быть изоморфизмом! Действительно, правая часть содержит тождественный морфизм \id_X, и если бы он лежал в образе левой части, то этот морфизм пропускался бы через какое-то X_i, но это очевидно не так. Значит отрезок [0,1] не является компактом в категории топологических пространств.


Замечание: На самом деле этот аргумент показывает больше, отрезок [0,1] не является компактом в категории хаусдорфовых компактно-порождённых топологических пространств. Это изначально сэттинг, который мне был нужен. Нетривиальный факт заключается в том, что colim_I Hom_C(X, Y_i) --> Hom_C (X, colim_I Y_i) изоморфизм, если

1) X и colim_i Y_i -- компакты

2) Все Y_i являются компактно-порождёнными

3) Фильтрованная система I суть прямая система (то есть это копредел по натуральным числам с единственными нетривиальным морфизмами i-->j, если i < j).

4) Все отображения Y_i --> Y_{i+1} вложения


(Читать комментарии)

Добавить комментарий:

Как:
Identity URL: 
имя пользователя:    
Вы должны предварительно войти в LiveJournal.com
 
E-mail для ответов: 
Вы сможете оставлять комментарии, даже если не введете e-mail.
Но вы не сможете получать уведомления об ответах на ваши комментарии!
Внимание: на указанный адрес будет выслано подтверждение.
Имя пользователя:
Пароль:
Тема:
HTML нельзя использовать в теме сообщения
Сообщение: