Нормальность принято проверять используя QQ plot (qqnorm в R). Это визуальная проверка, т.е, ты не получишь однозначного ответа на вопрос, насколько твои данные нормальны, но примерно оценить сможешь.

Что же касается t-test то его используют налево и направо не особо заморачиваясь проверкой нормальности при условии достаточно большой выборки. В основном потому что особого выбора нету, но за этим также стоит некао теоретическое обьяснение (которое я не помню).