Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2020-09-10 02:09:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: sick
Entry tags:геометрия, геометрия/задача Каповича, геометрия/однородные пространства

Сечения кое-каких пространств флагов
Пусть V -- векторное пространство размерности g > 2, и v \in V -- ненулевой вектор. Рассмотрим в пространстве Hom(V/v, V^*) конус матриц, имеющих за исключением v в ядре ровно один вектор. Скажем, если g = 3, такая матрица (с точностью до пропорциональности) определяется своим ядром (одномерным) и образом (также одномерным). Тем самым, параметризующее их многообразие есть многообразие Сегре P^1 \x P^2 = P(V/v) \x P(V^*) \subset P(Hom(V/v, V^*)) = P^5. Оно имеет коразмерность два, и общее его сечение плоскостью P^2 \subset P^5 состоит из нескольких точек.

Есть однако и необщие. Именно, если V = H^{1,0} у какой-то общей (в частности не гиперэллиптической) кривой рода три, 1-форма (которую я тут обозначаю v) допускает трёхмерное семейство сохраняющих её деформаций. Их классы Кодаиры-Спенсера дают трёхмерное подпространство в Hom(V/v, V^*). Наше многообразие Сегре пересекает его по тем деформациям, которые сохраняют периоды ещё какой-то 1-формы, отличной от v. Для рода три мы знаем, что это сечение будет коникой (то есть иметь размерность на 1 больше, чем предсказано). Для общего случая мы знаем только, что это будет многообразие в P^{2g-4}, на котором лежит семейство P^{g-3}, параметризованное P^{g-2}. В частности, оно является гиперповерхностью.

Нельзя ли как-то заключить отсюда, что оно действительно будет квадрикой?



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2020-09-16 21:29 (ссылка)
На крайняк это можно разрешить через исчисления Шуберта.

Перепишем умножение как V/v-> Hom(D_\alpha, V^*), где D_\alpha сохраняют периоды \alpha, а сопоставляемое общей точке из V/v коядро хома одномерно. Здесь D_alpha~2g-3, V~g. Ядро же (~g-2) в коразмерности два корректно определено и получается цикл как образ фундаментального класса рационального отображения P(V/v)-> Gr(g-2, D_\alpha). Предположим этот цикл посчитан. Тогда задача сводится к чему-то очень классическому: есть соответствие в Gr(g-2, D_\alpha) x P(D_\alpha) по включению прямой в под-во и проекция в P(D_\alpha), нужно его пересечь с обратным образом из цикла на предыдущем шаге и спрецировать на P(D_\alpha). Думаю для клеток Шуберта это соответствие явно пишется и будет достаточно решить первый вопрос.

Конечно хотелось бы подойти к вопросу о степени быстрее.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


[info]zaco
2020-09-19 22:34 (ссылка)
Можно и на коленке прикинуть. Есть матрицы g x (2g-3) линейно параметризованные V/v и с рангом=g-1 в общей точке, а спрашивается что заметают ядра. Чтобы найти степень надо провести общую прямую в (2g-3) пространстве и посчитать число точек пересечения, а это такой вопрос: фиксируем 2g-5 из 2g-3 координат равными нулю и спрашиваем сколько точек из P^{g-2}=P(V/v) делают оставшиеся два столбца линейно-зависимыми. Из-за ранга g-1 здесь g-2 независимых миноров 2x2 и как раз выходит нульмерное пересечение g-2 квадрик, значит степень заметаемой гиперповерхности 2^{g-2}.

(Ответить) (Уровень выше)