Настроение:

calm

Снилось сегодня, что если взять матрицу из Sp(4, Z), и присоединить к \Q её собственные значения, получится расширение степени четыре, из действия группы единиц умножением на кольце целых которого можно получить решётку в группе Sp(4, R) x Sp(4, R), не распадающуюся в произведение двух решёток в Sp(4, R). Фактор Sp(4, R) x Sp(4, R) по этой решётке называется модулярным многообразием Гринберга, и он изоморфен разрешению особенностей у симметрического квадрата поверхности Инуэ.

Резон здесь на самом деле следующий. Из прошлого поста мы знаем, что неплотные орбиты действия группы классов отображений на локусе Каповича для рода g изоморфны фактору Sp(2, R) x Sp(2g-2, R) по решётке. Для g > 2 из одной теоремы Маргулиса вытекает, что всякая решётка в такой группе имеет вид \Gamma' x \Gamma'', где \Gamma' \subset Sp(2, R), \Gamma'' \subset Sp(2g-2, R). Но теорема Маргулиса не имеет места для случая произведения двух изоморфных групп! или даже групп с изоморфными комплексификациями их алгебр Ли. И действительно, в группе Sp(2, R) x Sp(2, R) имеются решётки, получающиеся из каких-то там квадратичных порядков, факторы по которым называются модулярными поверхностями Гильберта. Такая трихотомия для Sp(4, Z)-орбит в Sp(4, R)/Sp(2, R) x Sp(2, R) -- что они бывают либо всюду плотны, либо дискретны -- и тогда соответствуют либо произведению решёток, либо модулярной поверхности Гильберта -- соответствует трихотомии для орбит SL(2, R)-действия на пространстве модулей абелевых дифференциалов: их проекции в пространство модулей либо всюду плотны, либо накрывают кривую (параметризующую разветвлённые накрытия эллиптических кривых), либо имеют замыканием модулярную поверхность Гильберта.

Соответственно, если мы верим в то, что существует локальное sp(4, R)-действие на пространстве модулей абелевых бидифференциалов (расслоении грассманианов 2-плоскостей в расслоении Ходжа), то в случае g = 4, в принципе, помимо поверхностей, заметаемых кривыми рода четыре на меняющейся абелевой поверхности (кстати, такое вообще может существовать? я только для кривых рода три предъявил претендента), могут возникать какие-то многообразия, соответствующие нераспадающимся решёткам в Sp(4, R) x Sp(4, R).