крест и радуга
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends View]

Wednesday, August 15th, 2018

    Time Event
    5:57a
    Твисторные кривые в пространстве КР-структур на S^3
    Не понимаю, зачем вообще нужны иные части Питера, кроме Петроградской стороны? Поселился на Карповке, против Иоанновского монастыря, основанного опосредованно самим Иоанном Кронштадтским, которого так любит наш друг [info]apkallatu, и каждое утро наслаждаюсь продолжительным колокольным звоном. В Копенгагене я тоже просыпался от колокольного звона, и погода тут такая же, как тогда в Копенгагене, хотя и несколько потеплее. Чего ж удивительного, одним Варяжским морем омываются, и лебеди с драконами тут и там вздымали паруса. Как только мы с [info]grigori приехали тогда в Копенгаген, в гостиницу нас пускать отказались, и вот сидели мы и ждали полудня где-то в Христиании, и я там полуспал, полузамерзал. Вчера нечто очень похожее случилось в Ораниенбаумском саду.

    В Ораниенбаумском саду думал я вот о чём. Рассмотрим 'пространство модулей' КР-структур на S^3, то есть пространство операторов с квадратом -1, определённых на стандартном контактном распределении, сфакторизованное по действию группы контактных диффеоморфизмов. Любая контактная структура, довольно близкая к круглой, реализуется выпуклой гиперповерхностью S \subset \C^2. Зафиксируем такое вложение, а также евклидову метрику g на \R^4 = \C^2, вещественную часть какой-нибудь эрмитовой метрики. Пространство комплексных структур на \R^4, ортогональных относительно данной метрики, есть рациональная кривая. Ограничивая эти комплексные структуры на гиперповерхность S, мы получаем рациональную кривую в пространстве операторов КР-структур на S^3 (не поделённому по группе диффеоморфизмов). Они проецируются в какие-то кривые в пространстве модулей КР-структур. Через каждую точку проходит очень много таких кривых (они параметризованы выбором КР-реализации плюс евклидовой метрики), и вообще похожи на твисторные.

    Одна беда: ничто не запрещает всем этим кривым оказаться точками. В самом деле, в единственном осязаемом случае сферы, круглой относительно данной метрики, все комплексные структуры сопряжены действием группы SO(4), которая действует и на сфере. Я попытался понять, что происходит в случае с бидиском, но там нету никаких локальных инвариантов из-за того, что грани плоские, а всё объясняется тем, под какими углами они стыкуются; -- в общем, я ничего не понял. Хотя наверное надо было взять круглую сферу и менять комплексную структуру, чтобы она оставалась ортогональной относительно какой-нибудь нестандартной метрики. Но это тоже наверняка очень сложно. Про эллипсоиды даже Хитчин рассказывал вот, между прочим, тоже в Питере.

    Current Mood: awake
    1:35p
    Нумерологии псто
    Известные числа 4 и 7 возникают как размерности таких связанных геометрий, как K3-поверхности и G_2-многообразия. А ещё они возникают как хаусдорфовы размерности контактных трёхмерных трифолдов и энгелевых многообразий соответственно. Эти геометрии тоже связаны: на сферизации контактного распределения у трёхмерного многообразия бывает энгелева структура. А есть ли какая-то связь между этими двумя явлениями?

    Единственно возможным вариантом я вижу такой: КР-распределение на трёхмерном КР-многообразии нужно рассматривать как аналог вертикального распределения на K3-поверхности с лагранжевым расслоением. Комплексная структура K3-поверхности определяется одною голоморфно симплектической формой, где (0,1)-вектора возникают как ядро формы. Аналогично можно было бы определять КР-структуру некой комплекснозначной 2-формой на вещественном трифолде, такой, что (0,1)-вектора контактного распределения -- это её ядро. Правда, не очень понятно, какое условие, аналогичное голоморфности, нужно требовать на эту форму. Но если идти по аналогии с K3-поверхностями, то должна иметься метрика вдоль распределения, такая, что её четырёхмерная мера Хаусдорфа задаётся некой вещественной 3-формой, которая делится на 'голоморфно симплектическую форму'. В любом случае, не очень понятно, зачем это всё нужно.

    << Previous Day 2018/08/15
    [Calendar]
    Next Day >>

About LJ.Rossia.org