Кажется, я это уже постил, но пусть будет ещё раз Вещественное грассманово многообразие
Gr(2,7) можно реализовать стандартно как
SO(p+q)/SO(p) x SO(q), а можно более экзотически -- как фактор группы
G_2. В самом деле, все 2-плоскости сопряжены её действием. Каков стабилизатор? Он сохраняет векторное произведение любых двух ортонормированных векторов из этой плоскости -- то есть положительно ориентированный единичный вектор к этой плоскости, лежащий в порождённом ей ассоциативном подпространстве. На перпендикулярном к нему коассоциативном подпространстве стабилизатор действует унитарными эрмитовыми матрицами (сохраняя комплексную структуру, дающуюся векторным умножением на инвариантный вектор). Из исчисления размерности видно, что стабилизатор и есть вся группа
U(2). При этом на оригинальной инвариантной плоскости он действует, выворачивая её на угол, равный аргументу определителя матрицы, которой он действует на коассоциативном подпространстве (или вдвое больший/меньший -- если так, то я обсчитался, и всё дальнейшее неверно).
Стало быть, имеем
Gr(2,7) = G_2 / U(2). Значит, над грассмановым многообразием
Gr(2,7) имеется главное
U(2)-расслоение. Метрика Картана-Киллинга даёт связность в этом главном расслоении. Итак, над грассманианом (2,7) имеется исключительное эрмитово расслоение ранга два с унитарной связностью.
Если есть поверхность в семимерном евклидовом пространстве, то это расслоение можно оттянуть вдоль её гауссова отображения. Интересно, а если например это голоморфная кривая в
S^6, будет ли оно голоморфным? а его определитель? Про это должен был бы Брайант писать, но я что-то не нашёл.
Current Mood: tiredCurrent Music: Казаки-некрасовцы -- По синёй-то море плывёт корабель