Настроение:	calm
Музыка:	Под деревцем развесистым задумчив бур сидел
Entry tags:	геометрия, геометрия/векторное исчисление, лытдыбр

Задача
Профессор Д. Х. Пхонг в начале года дал мне читать записки Ю.-Т. Сиу, где многое оставлено без доказательства, а доказательства не всегда полные. Иногда это хорошо -- можно решать самому и чему-то учиться. Следующую нехитрую задачку я решал весь год, и вот наконец-то решил. Запишу сюда, чтобы не забыть.

Задача. Доказать, что на кэлеровом многообразии (X, \omega) имеет место тождество \Delta f = \gamma \Lambda(dd^c f), где \gamma -- некоторая чисто мнимая константа, зависящая только от размерности.

Решение. Раз мы работаем с точностью до умножения на константу, будем для простоты считать, что форма объёма есть \omega^n. Зададимся областью U \subseteq X в многоогразии X. Формула Грина утверждает, что \int_U \Delta f \omega^n = \int_{\6 U} \star(df). Заметим, что для любой 2-формы \alpha имеет место тождество \Lambda(\alpha)\omega^n = \alpha \wedge \star\omega. По известной формуле (я не умею её доказывать без координат или на неплоском многообразии X, но ясно, что она проще исходного утверждения), \star \omega = n\omega^{n-1}. Значит, \int_U \Lambda(dd^c f)\omega^n = \int_U (dd^c f) \wedge n\omega^{n-1} = \int_U d(d^c f \wedge n \omega^{n-1}), поскольку в силу кэлеровости многообразия X форма \omega замкнута. Нам нужно доказать равенство форм \star(df) и n d^c f \wegde \omega^{n-1}. Из определения звёздочки Ходжа видно, что \star(df) = \iota_{\grad f}(\omega^n). По правилу Лейбница, имеем \star(df) = -n\iota_{\grad f}\omega \wedge \omega^{n-1}. Значит, исходное утверждение следует из тождества -\omega(\grad f, u) = (d^c f)(u) = -\sqrt{-1} (df)(Iu) = -\sqrt{-1} g(\grad f, Iu) для любого векторного поля u -- то есть из определения \omega(u,v) = g(Iu,v). Значит, мы доказали, что функции \Delta f и \Lambda(dd^c f) интегрируются одинаково по любой области -- а значит, они равны и поточечно.

Если рассуждение чуть-чуть почистить, то будет видно, что эта константа есть -\sqrt{-1}. Из рассуждения ещё сразу ясно, и почему нам нужна именно эрмитова форма (а не любая симплектическая форма того же объёма), и где оно ломается для почти кэлеровых метрик.