Настроение:	cold
Entry tags:	геометрия

Вертикальное векторное поле, связанное с вырожденной твисторной деформацией
UPD: в посте, как обычно, всё неверно, см. комменты

Пусть X \to B -- расслоение, тогда нормальное расслоение \nu(X_b/X) к слою имеет плоскую связность, т. н. связность Ботта, у которой графиками плоских сечений являются соседние слои X_{b'} (если тотальное пространство нормального расслоения реализовать трубчатой окрестностью). У лагранжева подмногообразия кокасательное расслоение изоморфно нормальному, так что в случае лагранжева расслоения связность Ботта переносится на кокасательное расслоение, и имеет смысл говорить о её кручении. Как мне любезно объяснил tiphareth, оно почти никогда не будет нулевым. Тем не менее, из теоремы Дарбу-Вайнштейна следует, что касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоя, так что 1-форм, параллельных относительно этой связности Ботта, столько же, сколько замкнутых 1-форм по модулю точных. Параллельные 1-формы удовлетворяют тождеству (d\alpha)(x,y) = \alpha(Tors(x,y)), если бы кручение было нулевым -- то это было бы просто условие замкнутости. На римановых многообразиях классы когомологий канонически реализуются формами как гармонические формы; следует ли думать, что на лагранжевом торе со связностью Ботта следует думать про параллельные 1-формы как про гармонические? Имеет ли место что-то подобное для многообразий с неплоской связностью с кручением? Звучит как белиберда, но мало ли.

А что не белиберда, так вот что. Пусть есть два кокасательных вектора к базе лагранжева расслоения, торчащих из одной точки. При помощи оттягивания и симплектической формы с ними можно связать два векторных поля на слое, параллельных относительно связности Ботта. Возьмём их коммутатор. Это позволяет по 2-форме на базе построить некое вертикальное векторное поле на тотальном пространстве. Как мне объяснил v_r, коммутаторы параллельных векторных полей суть значения кручения на этих полях, так что в данном случае это векторное поле будет крайне редко равняться нулю. 2-формы на базе лагранжева расслоения естественным образом возникают при построении вырожденных твисторных деформаций, переводящих данное топологическое сечение в лагранжево. Вопрос: а какой смысл у соответствующего вертикального векторного поля? Можно было помыслить, что оно определяло бы некий поток, как в трюке Мозера, но никакого потока в данном случае с ним связать не получается, поскольку оно будет комплексным.