Настроение:

hungry

G_2 и SO(3), ещё немного
Про K3-поверхности имеется много олимпиадного сорта задач. Сегодня узнал ещё парочку. Одна из гипотез Кампаны предсказывает, что на всяком специальном в смысле Кампаны многообразии имеется плотная целая кривая (в топологии Зариски, в топологии Эвклида ли). Для K3-поверхностей, кроме эллиптических, это утверждение не доказано. Более того, как мне любезно сообщила katia, неизвестно даже, доминируется ли всякая K3-поверхность аффинной плоскостью C^2, или нет. Про эллиптические известно, что доминируется, но я забыл, кто автор этой теоремы. katia говорила, что фамилия автора совпадает с названием какой-то птицы-падальщика (inb4 юзерка mathbird), но какая фамилия была, я забыл, а ясно, что не Vulture. Хотя всё равно надежды, что это верно для любой K3, нет. Я в какой-то момент тоже придумал такую задачу: возьмём эллиптическую K3 с риччи-плоской метрикой; как устроено распределение, перпендикулярное к слоям? какая у него субриманова геометрия? Возник вопрос, конечно, как упрощение того же вопроса для коассоциативных расслоений.

Давно имею смутное понимание того, что должна быть какая-то связь между G_2-многообразиями и пятимерными многообразиями с голономией SO(3). Подобно тому, как в G_2-пространствах есть ассоциативные и коассоциативные подмногообразия, в SO(3)_irr-пространствах имеются гласные и согласные подпространства. Именно, какой тензор сохраняет пятимерное неприводимое представление SO(3)? Пятимерное представление SO(3) получается из квадрата (ко)тавтологического: оно распадается на представление в кососимметрических формах (изоморфное тавтологическому), тривиальное подпредставление, порождённое скалярами, и пятимерное то, что осталось -- симметричные матрицы с нулевым следом. Инвариантом этого действия является симметричный 3-тензор \Psi(A,B,C) = Tr(ABC). Он выдерживает циклические перестановки, а в силу самосопряжённости операторов A, B, C также и обращение порядка -- эти операции порождают всю симметрическую группу на трёх буквах (что я рассказывал фулл-тайм две пятницы подряд). Если разложить трёхмерное пространство в сумму прямой и перпендикулярной к ней плоскости, то операторы, сохраняющие прямую, будут составлять двумерное подпространство, на которое \Psi ограничивается тождественным нулём. Такие подпространства я называю гласными, а перпендикулярные к ним -- согласными (потому что в изначальных координатах, которые я выбирал, они были натянуты на {a, e} и {b, c, d} соответственно).

На SO(3)_irr-многообразиях имеется параллельный относительно связности Леви-Чивиты тензор, в каждом касательном пространстве устроенный как этот тензор \Psi. Он определяет метрику, и восстанавливается обратно по ней при помощи некоторой характеристической связности (ортогональной, но с кручением). Это очень напоминает ситуацию на специальных (уже в смысле Фрида) кэлеровых многообразиях, о которых мне поведал tiphareth. Именно, там также имеется плоская симплектическая связность (правда без кручения), при помощи которой можно построить некий голоморфный симметрический 3-тензор \Xi, по которому специальная кэлерова структура восстанавливается однозначно. На тотальном пространстве голоморфного кокасательного расслоения к таким многообразиям имеется каноническая гиперкэлерова структура (HKT, если характеристическая связность была с кручением), и вообще их так и придумали -- именно такая структура и имеется на пространстве деформаций комплексно лагранжева тора.

Если взять расслоение единичных (в метрике Пуанкаре-Вейля-Петерсона) касательных векторов к базе коассоциативного расслоение, получится некое пятимерное многообразие. На таковых, согласно изысканиям Нуровского, часто бывают SO(3)_irr-структуры. С другой стороны, это база расслоения, слои которого имеют каноническую симплектическую структуру полного объёма 1 -- именно, над единичным вектором v \in T_pB висит слой над точкой p с симплектической формой, получающейся подстановкой подъёма вектора v до нормального векторного поля к слою в фундаментальную 3-форму \rho, определяющую G_2-структуру. Замкнутость такой формы даётся формулой из статьи Маклина: дифференциал подстановки нормального векторного поля к коассоциативному подмногообразию Y в фундаментальную 3-форму в ограничении на само подмногообразие есть ограничение 3-формы \rho на подмногообразие, получающееся деформацией Y вдоль этого векторного поля. Поскольку такой подъём указывает на соседний слой, также коассоциативный, то и дифференциал будет нулевой.

Хочется теперь найти SO(3)_irr-структуру на единичном касательном расслоении, или какой-то аналог с кручением (желательно, чтобы сферы-слои проекции были при этом гласными подмногообразиями -- но такого трудно ожидать; кажется, в примерах Нуровского это неверно -- впрочем, может и верно).