Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2019-07-28 11:14:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение: hungry
Музыка:Гр. Полухутенко -- Италия
Entry tags:геометрия, геометрия/задача Каповича

Открытость и суб-открытость одного отображения Богомолова
Пусть S = S(g) -- сфера с g ручками, и Teich(S) -- пространство Тейхмюллера комплексных структур на ней. Расслоение первых когомологий E \to Teich тривиализуется связностью Гаусса-Манина. В нём имеется подрасслоение Ходжа F \subset E, F_I = H^{1,0}(X,I), не параллельное относительно связности. Выберем дополнительное подрасслоение \bar{F}, \bar{F}_I = H^{0,1}(X,I), тогда вторая фундаментальная форма T(Teich) \x F \to \bar{F} подрасслоения F относительно связности Гаусса-Манина есть тензор Кодаиры-Спенсера. Иными словами, тензор Кодаиры-Спенсера есть приливная сила, которую испытывает комплексное многообразие при движении по пространству модулей.

Имеем право рассмотреть проекцию F \to H^1(S, \C) из тотального пространства расслоения Ходжа. Его образ описан Каповичем (и за 80 лет до Каповича каким-то Отто Гауптом): это SL(2g, Z)-орбита сколь угодно малой окрестности классов когомологий с ровно двумя линейно независимыми периодами, которые можно оттянуть с эллиптической кривой (ну плюс нуль, конечно). Его рассуждение опирается на следующее

Утверждение ('теорема о голономии' Хейхала-Тёрстона). Отображение F \ 0_F \to H^1(S, C) открыто.

Поскольку действие группы Sp(2g, Z) на проективизации положительного конуса в пространстве H^1(S, C) эргодично, это означает, что этот образ -- открытое плотное множество. Общая орбита эргодического действия плотна, а необщие классифицируются теоремой Ратнер, из которой Капович и выводит своё утверждение.

Образ гауссова отображения Teich \to Gr(g, H^1), называемый локусом Шоттки, устроен куда сложнее. Но можно рассмотреть промежуточную задачу.

Задача (Богомолов). Описать образ грассманова расслоения Gr(m, F) \to Gr(m, H^1), где 1 < m < g.

Конечно, об открытости говорить не приходится: образ всегда будет содержаться в изотропном грассмановом многообразии Gris(m, H^1) в силу того, что голоморфные формы на кривой умножаются нулём. Более того, по исчислению размерности ясно, что при m > 3 отображение Богомолова не может быть открыто даже как отображение в изотропный грассманиан. Меж тем, при m = 2 размерность Gr(2, F) равняется 3g - 3 + 2(g-2) = 5g - 7, в то время как размерность изотропного грассманиана равняется 4g - 5, а при m = 3 случается странное: dim Gris(3, H^1) = 6g - 12, а dim Gr(3, F) = 3g-3 + 3(g-3) = 6g - 12. Иными словами, если отображение Богомолова открыто при m = 3, то общая тройка (1,0)-классов локально однозначно определяет комплексную структуру (общность здесь важна -- накрыть кривую рода три никто не запретит). Это позволило бы попробовать определить замкнутое условие на образ отображения Богомолова при m > 3 -- именно, всякая 3-плоскость должна давать одну и ту же комплексную структуру. Получиться из этого ничего не может, поскольку локус Шоттки имеет, если не ошибаюсь, фрактальную натуру.

Как можно было бы доказывать аналог теоремы об открытости для случаев m = 2, 3? Для этого попробуем передоказать её для случая m = 1 не элементарно-геометрически, как Тёрстон и Капович, а алгебраико-геометрически. В самом деле, пусть мы реализовали класс \alpha комплексной структурой I. Тогда мы можем реализовать ею же все классы, лежащие от него в направлениях, заданных касательными векторами из H^{1,0}(S, I). Стало быть, чтобы реализовать шарик, нужно научиться смещаться на вектора из H^{0,1}(S, I). Но для этого-то класс Кодаиры-Спенсера и придумали! Стало быть, чтобы сместиться на вектор \beta \in H^{0,1}, достаточно подобрать такой вектор v \in T_I(Teich), чтобы было выполнено равенство KS_v(\alpha) = \beta. Иными словами, теорема Хейхала-Тёрстона о голономии есть всего лишь утверждение о невырожденности класса Кодаиры-Спенсера универсального семейства кривых. Аналогичные утверждения о высших невырожденностях, в принципе, легко себе представить.

Кажется, в случае m < 3 можно доказать более сильное утверждение, о некоторой 'суб-невырожденности'. Напомню, что на проективизации симплектического векторного пространства имеется контактное распределение -- Hom(l, l^\perp/l) = H \subset T_l(V) = Hom(l, V/l). Если W \subset V -- лагранжево подпространство, то P(W) \subset P(V) -- лежандрово подмногообразие. Ткань этих лежандровых проективных подпространств служит дискретным аналогом контактного распределения: доказать, что оно интегрируемо, в ту же цену, что связать любые две точки ломаной, идущей вдоль лежандровых проективных подпространств. Аналогично для изотропного грассманиана любой размерности: можно определить точно такое же распределение, хотя и большего коранга, и лагранжевы подпространства будут задавать в нём ткань лежандровых грассманианов (последние три слова -- это такая строчка из певицы Хелависы, да). Неинтегрируемость этого распределения означает, что любые две точки могут быть соединены ломаной, идущей вдоль этой ткани, и может быть доказана нехитрым вычислением нильрадикала в понятно устроенной параболической подалгебре. Соответственно, можно задаться вопросом: связно ли будет множество реализуемых классов, если разрешить ходить только по лежандровым проективным подпространствам (соотв. грассманианам 2-плоскостей), которые получаются как P(H^{1,0}(S, I)) (соотв. Gr(2, H^{1,0}(S, I))) для всевозможных комплексных структур I \in Teich? Для m = 3 ответ будет уже другим, поскольку, как предсказывает Богомолов, общая 3-плоскость в когомологиях реализуема локально только одной комплексной структурой.



(Добавить комментарий)


(Анонимно)
2019-07-28 12:33 (ссылка)
Обратите внимание! Этот пользователь включил опцию сохранения IP-адресов пишущих комментарии к его дневнику.

(Ответить) (Ветвь дискуссии)


(Анонимно)
2019-07-28 12:34 (ссылка)
кого ебёт?

(Ответить) (Уровень выше)


[info]wieiner_
2019-07-29 06:03 (ссылка)
What rules are violated?
How long will the wise Bogomolouw?
Post more theorem here.
Get readed GriffitsHarris but got technologhical breakdown. My pc breaks on
topologhical legopieces. Videocards burned off. Wrote from smartphone

(Ответить)