О формуле Кошуля
Самый прямолинейный способ доказать существование связности Леви-Чивиты -- написать её явной формулой (впрочем, проверка того, что то, что получится, будет связностью, конечно, достаточно уныла). Но зато делается это непосредственно из определений: ортогональная связность без кручения. В самом деле, пусть связность \nabla ортогональна. Тогда имеем
<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_x(z)> = L_x <y, z>
(уголками я обозначаю скалярное произведение при помощи метрического тензора g, чтобы не загромождать нотацию.) Если же вдобавок кручение связности \nabla обнуляется, имеем право написать \nabla_x(z) = \nabla_z(x) - [z, x], что вкупе с предыдущей формулой даёт
<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_z(x)> = L_x <y, z> + <y, [z, x]>.
Циклическими сдвигами переменных получаются две аналогичные формулы:
<\nabla_y(z), x> + <z, \nabla_x(y)> = L_y <z, x> + <z, [x, y]>
<\nabla_z(x), y> + <x, \nabla_y(z)> = L_z <x, y> + <x, [y, z]>
Пользуясь симметричностью метрики, имеем право сложить первые две формулы, вычесть из них третью, и поделить пополам. Тогда останется
<\nabla_x(y), z> = \frac{1}{2}(L_x <y, z> + L_y <z, x> - L_z <x, y> + <y, [z, x]> + <z, [x, y]> - <x, [y, z]>)
Эта формула называется формулой Кошуля. Она, как видно, очень громоздкая, без никакого порядка в знаках, как ни переставляй буквы, пользуясь симметричностью метрики и кососимметричностью скобки Ли. Поэтому всякий раз, как хочется ей воспользоваться, это прямое вычисление мне приходилось проделывать заново.
Однако давайте рассмотрим помимо векторного поля y двойственную по метрике 1-форму \eta. Тогда формула Кошуля приобретает вид:
(\nabla_x\eta)(z) = \frac{1}{2}(L_x{\eta(z)} - L_z{\eta(x)} - \eta([x,z]) + L_y <z, x> - <z, L_y{x}> - <x, L_y{z}>)
(не напутал ли я с дуализацией левой части? вроде нет.) Я перегруппировал отдельно слагаемые, выражающиеся через \eta, и отдельно через y. В них легко видеть значения внешней 2-формы d\eta и симметричной 2-формы L_y{g} на паре полей x, z. Стало быть, формулу Кошуля можно записать гораздо короче:
\nabla^{g}(\eta) = \frac{1}{2}(d\eta + L_{\eta^\sharp}g).
Эти слагаемые суть кососимметрическая и симметрическая часть 2-формы \nabla\eta (и из такого определения, наверное, можно нехитро вывести, что эта связность ортогональна и без кручения, не прибегая к выкладкам). В частности, 1-форма параллельна относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда она замкнута, а двойственное ей по метрике векторное поле киллингово.