Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2019-08-13 16:51:00


Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Настроение:awake
Entry tags:геометрия, геометрия/векторное исчисление

О формуле Кошуля
Самый прямолинейный способ доказать существование связности Леви-Чивиты -- написать её явной формулой (впрочем, проверка того, что то, что получится, будет связностью, конечно, достаточно уныла). Но зато делается это непосредственно из определений: ортогональная связность без кручения. В самом деле, пусть связность \nabla ортогональна. Тогда имеем

<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_x(z)> = L_x <y, z>

(уголками я обозначаю скалярное произведение при помощи метрического тензора g, чтобы не загромождать нотацию.) Если же вдобавок кручение связности \nabla обнуляется, имеем право написать \nabla_x(z) = \nabla_z(x) - [z, x], что вкупе с предыдущей формулой даёт

<\nabla_x(y), z> + <y, \nabla_z(x)> = L_x <y, z> + <y, [z, x]>.

Циклическими сдвигами переменных получаются две аналогичные формулы:

<\nabla_y(z), x> + <z, \nabla_x(y)> = L_y <z, x> + <z, [x, y]>
<\nabla_z(x), y> + <x, \nabla_y(z)> = L_z <x, y> + <x, [y, z]>

Пользуясь симметричностью метрики, имеем право сложить первые две формулы, вычесть из них третью, и поделить пополам. Тогда останется

<\nabla_x(y), z> = \frac{1}{2}(L_x <y, z> + L_y <z, x> - L_z <x, y> + <y, [z, x]> + <z, [x, y]> - <x, [y, z]>)

Эта формула называется формулой Кошуля. Она, как видно, очень громоздкая, без никакого порядка в знаках, как ни переставляй буквы, пользуясь симметричностью метрики и кососимметричностью скобки Ли. Поэтому всякий раз, как хочется ей воспользоваться, это прямое вычисление мне приходилось проделывать заново.

Однако давайте рассмотрим помимо векторного поля y двойственную по метрике 1-форму \eta. Тогда формула Кошуля приобретает вид:

(\nabla_x\eta)(z) = \frac{1}{2}(L_x{\eta(z)} - L_z{\eta(x)} - \eta([x,z]) + L_y <z, x> - <z, L_y{x}> - <x, L_y{z}>)

(не напутал ли я с дуализацией левой части? вроде нет.) Я перегруппировал отдельно слагаемые, выражающиеся через \eta, и отдельно через y. В них легко видеть значения внешней 2-формы d\eta и симметричной 2-формы L_y{g} на паре полей x, z. Стало быть, формулу Кошуля можно записать гораздо короче:

\nabla^{g}(\eta) = \frac{1}{2}(d\eta + L_{\eta^\sharp}g).

Эти слагаемые суть кососимметрическая и симметрическая часть 2-формы \nabla\eta (и из такого определения, наверное, можно нехитро вывести, что эта связность ортогональна и без кручения, не прибегая к выкладкам). В частности, 1-форма параллельна относительно связности Леви-Чивиты тогда и только тогда, когда она замкнута, а двойственное ей по метрике векторное поле киллингово.



(Добавить комментарий)


[info]wieiner_
2019-08-13 16:43 (ссылка)
спасибо. интересно.

(Ответить)


[info]noctiluca
2019-09-04 16:14 (ссылка)
первое слагаемое, конечно, очевидно, в силу отсутствия кручения, а второе, да, спасибо, увлекательно.
а вообще несколько раз пыталась применить эту формулу, ни к чему интересному, увы, это не привело

(Ответить)