Явный пример пары дифференциалов, в которой теорема о голономии не имеет места
Пусть C -- общая кривая рода четыре. Рассмотрим её каноническое вложение в P^3, и спроецируем его на P^2 с центром в любой точке. Получится отображение из кривой степени шесть в P^2, то есть особая квинтика. Каджая особенность соответствует одному исчезнувшему циклу, так что их количество равняется разности рода неособой квинтики и рода C, сиречь (5-1)(5-2)/2 - 4 = 2. С другой стороны, особенности проекции с центром в x \in C суть в точности трисекущие, проходящие через x. Иными словами, многообразие трисекущих канонической кривой рода четыре двояколинейчато, и на самом деле является квадрикой. Ну и как-то несложно вывести из формулы Римана-Роха, что общая кривая рода четыре в P^3 есть пересечение квадрики и кубики.

Чудесно! Теперь возьмём четыре прямые на этой квадрике, которые замыкаются в чокер (первая пересекает вторую, вторая третью ... четвёртая первую). Пусть эти прямые в общем положении с кубикой, высекающей нашу кривую. Тогда они определяют три трёхточечных дивизора A, B, C, D таких, что A + B, B + C, C + D, D + A все канонические (поскольку соответствующие прямые пересекаются и, следовательно, лежат в одной плоскости). Стало быть, дивизоры A + B и B + C не взаимно просты: они оба являются слагаемыми биканонического дивизора A + B + C + D, отличного от их суммы, дивизора A + 2B + C. Таким образом, мы привели пример точки, в которой дифференциал отображения Торелли-Каповича не сюръективен для двух дифференциалов. Более того, мы доказали, что такие пары существуют для общей кривой рода четыре. Для меньших родов, как мы знаем, такого не бывает; но видимо, этот феномен продолжается на все роды от четырёх и выше.