Настроение:

sick

Универсальное пространство Тейхмюллера
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=92

Кэлерова геометрия универсального пространства Тейхмюллера и коприсоединенных орбит группы Вирасоро

А. Г. Сергеев

Это я в связи с предыдущим постом. Идея такая: если взять два единичных диска и склеить их по диффеоморфизму окружности, получится CP^1, и образ граничной окружности будет контуром, определённым с точностью до проективного преобразования. Два таких контура будут эквивалентны, если и только если соответствующие диффеоморфизмы отличались на граничные значения мёбиусова преобразования диска; таким образом, пространство таких контуров как многообразие Фреше есть однородное пространство Diff(S^1) / PSL(2, R). Оказывается (это теорема Альфорса-Берса), условие на диффеоморфизм можно ослабить до дифференцируемости в смысле Соболева; фактор группы таких квазиконформных гомеоморфизмов по группе мёбиусовых преобразований есть универсальное пространство Тейхмюллера, в том смысле, что в него вложены все пространства Тейхмюллера поверхностей всевозможных родов.

Фактор пространства функций на окружности по константам (в данном случае соболевских), как я и писал, допускает невырожденную симплектическую форму \omega(u,v) = \int_{S^1}udv, и, как утверждает Сергеев (со ссылкой на Нага и Суливана), отображая диффеоморфизм f \in Diff(S^1) в подпространство H_f, в которое он переводит пространство граничных значений голоморфных функций на единичном диске, имеем отображение Diff(S^1) / PSL(2, R) в гильбертов лагранжев грассманиан.

Что он не упоминает -- это того, что это отображение можно мыслить как отображение периодов. Об этом, однако, уже в названии своей статьи говорят Нам и Сулливан; но к сожалению их текст пересыпан жаргоном (вроде 'квантовые комплексные структуры на окружности'), который, кажется, сейчас устарел. Они пытаются дать в этом контексте решение задачи Шоттки, замечая, что всякое подпространство, реализуемое таким образом, содержит плотное подпространство, замкнутое относительно умножения (и полагая, что это достаточное условие). Вместе с тем они, кажется, ничего не говорят о том, как это универсальное отображение Торелли связано с отображениями Торелли для обычных пространств Тейхмюллера. Мне кажется, связь на это могло бы пролить рассмотрение этого образования не как отображения в лагранжев грассманиан, а как вариацию структур Ходжа (например, попытаться понять смысл отображения Кодаиры-Спенсера).

А вообще конечно мне кажется, что можно поступать ровно наоборот. В самом деле, всякая риманова поверхность рода g с одной дыркой определяет отображение фактора Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера Teich(g), полностью аналогичное описанному в первом абзаце -- заклеиванием по диффеоморфизму. И в самом деле, Нам и Суливан в конце упоминают некое 'отображение Кричевера', которое по римановой поверхности с одним проколом и ростком координаты в этом проколе, а также тривиализованному в этой координате линейному расслоению над поверхностью строит подпространство в L^2 от единичной окружности, получающееся как граничные значения мероморфных сечений этого расслоения, имеющих полюс только в проколе. Для канонического расслоения, говорят Нам и Суливан, и некого специального выбора 'данных Кричевера', они могут восстановить это подпространство по своему лагранжеву подпространству. В общем-то неудивительно, но связь этого со всем остальным остаётся туманной.