Войти в систему

Home
    - Создать дневник
    - Написать в дневник
       - Подробный режим

LJ.Rossia.org
    - Новости сайта
    - Общие настройки
    - Sitemap
    - Оплата
    - ljr-fif

Редактировать...
    - Настройки
    - Список друзей
    - Дневник
    - Картинки
    - Пароль
    - Вид дневника

Сообщества

Настроить S2

Помощь
    - Забыли пароль?
    - FAQ
    - Тех. поддержка



Пишет Rodion Déev ([info]deevrod)
@ 2020-06-11 15:29:00

Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend!  Next Entry
Музыка:Burt Totaro -- The Hilbert scheme of infinite affine space

Шифферовские вариации и тёплицевы операторы
Капович доказал, что всякий класс первых когомологий на кривой можно представить мероморфной 1-формой с одним полюсом. Более того, кажется, этот полюс можно выбирать произвольно. Тем самым всякий класс когомологий на кривой с дыркой может быть представлен голоморфной формой. Пусть X -- кривая со связной границей, тогда отображение \Omega^1_{hol}(X) \to H^1(X, \C) сюръективно. Здесь \Omega^1_{hol}(X) обозначает голоморфные формы. Обозначим пространство их граничных значений B_X \subset \Omega^1(\partial X).

Если мы заклеим границу диском по отображению f \in Diff(S^1), то комплексная структура на склейке устанавливается однозначно, см. ответ Ерёменко на mathoverflow. Формы из \Omega^1_{hol}(X), продолжающиеся внутрь диска по этой склейке, суть формы из B_X \subset \Omega^1(\partial X), лежащие в пересечении с пространством Харди (точнее, дифференциалы голомофрных функций на диске. Но это, с точностью до констант, и есть пространство Харди). Это пространство имеет размерность g, и отображением факторизации \Omega^1(X) \to H^1(X, \C) оно отображается в некоторое подпространство половинной размерности. Понятно, что если мы прокомпонируем отображение f с каким-то мёбиусовым преобразованием границы диска, комплексная структура на склейке не изменится. Тем самым, имеем отображение из 'малого универсального пространства Тейхмюллера' LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R) в пространство Тейхмюллера, называемое вариацией Шиффера.

Напомню конструкцию расслоения Ходжа(-Харди) над универсальным пространством Тейхмюллера. Рассмотрим гильбертово пространствo L = L^2(S^1) / const как тривиальное расслоение над Diff(S^1), и определим в нём непостоянное подрасслоение HH \subset L, слой которого над точкой f \in Diff(S^1) равен f^*(H^2), где H^2 \subset L^2 -- пространство Харди. Поскольку для f \in PSL(2, R) имеем f^*(H^2) = H^2, это подрасслоение оттягивается с подрасслоения, определённого над LUT = Diff(S^1) / PSL(2, R). Оно и называется расслоением Ходжа-Харди.

Из этой картинки легко видеть, как устроена композиция отображения вариации Шиффера и отображения периодов. В тривиальном расслоении L \to LUT выбирается постоянное подрасслоение B_S, и рассматривается его пересечение с нетривиальным подрасслоением HH. Пересечение оказывается непостоянным расслоением ранга g, и изоморфно обратному образу расслоения Ходжа при отображении вариации Шиффера. Соответственно, проецируя B_S в когомологии, получаем эту композицию. Поскольку универсальное отображение периодов LUT \to \Lambda(L) в гильбертов лагранжев грассманиан голоморфно, а операции пересечений алгебраичны, получаем, что эта композиция голоморфна. Коль скоро отображение периодов из обычного пространства Тейхмюллера голоморфно и инъективно, отображение вариации Шиффера само голоморфно.

Поучительно рассмотреть, как выглядит связность Гаусса-Манина на расслоении Ходжа-Харди. Именно, пусть b \in C^\infty(S^1) какая-то функция, так что b д/дt есть векторное поле на окружности. Тогда результат применения связности Гаусса-Манина к вектору h \in HH, то есть функции на окружности, голоморфно продолжающейся внутрь диска, таков: мы дифференцируем эту функцию по векторному полю, а затем проецируем на пространство Харди, то есть стираем все гармоники с неположительными номерами. Это, очевидно, есть оператор Тёплица с параметром b, а если расписать все производные, не путая производную по dz с производной по дуге окружности, получится оператор \nabla^{GM}_{b д/дt}h = T_b(z dh/dz). В связи с этим, к примеру, интересно было бы изучить, какой имеет смысл кривизна оператора Тёплица (то есть выражение [T_f, T_g] - T_{f'g - fg'}, или его аналог для вышеописанного модифицированного оператора Тёплица). Поскольку универсальное пространство Тейхмюллера однородно, эта кривизна может оказаться проще кривизны связности Гаусса-Манина в расслоении Ходжа над пространством Тейхмюллера.

Но вообще надо понимать, что я выпускаю аналитические детали, и у меня с одной стороны банаховы или даже гильбертовы многообразия, а с другой многообразия Фреше, и всё сказанное это не более чем метафора, очень нечистоплотная, если пытаться выдать её за математическое утверждение. Например, тот факт, что подпространство B_S пересекает непостоянное подрасслоение HH по подрасслоению нигде не подпрыгивающего ранга (что должно следовать из склеиваемости комплексных структур), довольно сомнителен.

Это я всё придумал, пока летел из Нью-Йорка в Атланту, а на следующий же день немедленно был облучён, имея возможность наглядно понять, какая чудовищная вещь Солнце, и как монструозен живущий в нём блейковский Бог, иже gives his light and gives his heat away. Руки до сих пор красные и немного болят. Не знаю как на это реагировать; зато перед этим залез на гору с портретами генералов Конфедерации. Когда слез, обнаружил при основании флагшток с флагом этой самой Конфедерации, под которым было очень сильно накурено марихуаной. Много ручьёв, и все чудовищно грязные: даже если вытереться как там искупался, потом всё равно приходится стирать одежду. Зато в одном из них с меня чуть было не унесло течением трусы; он же был наигрязнейший.



(Читать комментарии)

Добавить комментарий:

Как:
Identity URL: 
имя пользователя:    
Вы должны предварительно войти в LiveJournal.com
 
E-mail для ответов: 
Вы сможете оставлять комментарии, даже если не введете e-mail.
Но вы не сможете получать уведомления об ответах на ваши комментарии!
Внимание: на указанный адрес будет выслано подтверждение.
Имя пользователя:
Пароль:
Тема:
HTML нельзя использовать в теме сообщения
Сообщение:



Обратите внимание! Этот пользователь включил опцию сохранения IP-адресов тех, кто пишет анонимно.