крест и радуга [entries|friends|calendar] Rodion Déev [ userinfo | livejournal userinfo ] [ calendar | livejournal calendar ]

дивизор на четырехмерном обобщенном куммере с нетривиальным классом в группе Брауэра [14 May 2022|10:50pm] [ mood | sleepy ] Примеры из прошлого поста немного переносятся в обобщенные куммеры. А именно, пусть на абелевой поверхности A есть линейная система |C| кривых рода m+2, то есть параметризованная P^m. Кривая такой линейной системы проходит через общие m точек, стало быть условие 'x_1, x_2, ... x_{m+1} лежат на одной кривой из |C|' имеет коразмерность один в Hilb^{m+1}(A). Давайте возьмем этот дивизор, и пересечем его с Kum^m(A) \subset Hilb^{m+1}(A), который мы определяем как прообраз нуля 0_A при отображении суммирования Hilb^{m+1}(A) \to A, \{x_i\} \mapsto \sum_i x_i. Получится какое-то подмножество в куммере, обозначим его за D (потому что иногда наверное это дивизор). В принципе, может получиться весь куммер. Давайте m = 1; тогда линейная система может быть сдвинута таким образом, что все ее кривые рода три будут симметричны относительно умножения на -1_A, и в таком случае всякий цикл из Kum^1(A), то есть имеющий вид (-x, +x), будет лежать на какой-то кривой. Но уже для m = 2 выходит интереснее. Я возьму линейную систему такого вида: кривые рода четыре, проходящие через 0_A, и имеющие там нодальную особенность. Можно показать, что всякая такая кривая сохраняется умножением на -1_A, и его ограничение, рассматриваемое как инволюция \iota на нормализации кривой, действует с факторкривой рода два. Какая тройка точек x, y, z \in C \subset A суммируется в 0_A? Вложение C \to A определяет гомоморфизм из якобиана Jac(C) \to A, и тройка суммируется нулем, если соответствующая точка x + y + z \in Jac(C) лежит в ядре этого гомоморфизма. С другой стороны, ядро этого гомоморфизма -- это неподвижные точки продолжения инволюции \iota на якобиан. Точка неподвижна, если имеется линейная эквивалентность дивизоров x + y + z \sim \iota(x) + \iota(y) + \iota(z). Тут могут быть два случая. В первом -- это реально один и тот же дивизор, и тогда с точностью до перенумерации x = \iota(x) (и потому отображается в 0_A), а y = \iota(z). Во втором -- это два разных, но линейно эквивалентных дивизора, а потому h^0(O_C(x + y + z)) > 1. Но по формуле Римана-Роха h^0(O_C(x + y + z)) - h^0(K_C(-x - y - z)) = 3 - 4 + 1 = 0, так что это означает, что имеются как минимум две 1-формы, зануляющиеся в x, y, z. А мы хорошо знаем, что это такое: рассмотрим C как каноническую кривую в P^3, то есть пересечение квадрики и кубики. Канонические дивизоры на C это ее плоские сечения, а тройки точек, в которых зануляется пара 1-форм -- это ее трисекущие, то есть образующие квадрики, на которой образ канонического вложения C лежит. Заметим, что инволюция \iota имеет два плюса и два минуса, а потому при действии на P^3 = PH^0(K_C)^* она сохраняет не просто квадрику, а оба семейства прямых на ней (а не меняет их местами). Стало быть, трисекущие xyz и \iota(xyz) принадлежат одному и тому же семейству, а потому соответствующие дивизоры линейно эквивалентны: в самом деле, если abc трисекущая из другого семейства, то оба дивизора a + b + c + x + y + z и a + b + c + \iota(x + y + z) канонические. Значит, каждая кривая в нашей линейной системе определяет две рациональных кривых в дивизоре D \subset Kum^2(A) две рациональных кривых. Поскольку сама линейная система параметризуется P^2, сильно подозреваю, что эти рациональные кривые должны переставляться монодромией, и в таком случае фактором D по характеристическому слоению будет некоторая К3-поверхность рода два. Это расслоение на коники над ней строится не как проективизация векторного, коники возникают как спиноры -- поэтому можно надеяться, что оно будет иметь ненулевой класс в группе Брауэра. Можно, аналогично ситуации схем Гильберта, смотреть на тэта-локусы большей коразмерности. Например, взять абелеву поверхность с линейной системой кривых рода три, и рассмотреть в ее Hilb^3 локус коразмерности два, состоящий из троек точек, сидящих на одной кривой из линейной системы. Но теперь час уже поздний, и я что-то не могу сообразить, как он пересекает сидящий там Kum^2, а если и соображу, то уже будет лень записывать. Спокойной ночи. post comment

Противоречие в математике [15 Oct 2021|02:05pm] [ mood | bored ] Объясню для приличия чуть более подробно предыдущий пост. Возьмём кривую C рода g, и отметим на ней 2N точек, а потом возьмём и двулистно накроем с ветвлением в этих точках. Получится кривая S рода g', давайте вычислим его по формуле Римана-Гурвица: 2-2g' = 2(2-2g-2N) + 2N, то есть 1-g' = 2-2g-N, то есть g' = 2g+N-1. Инволюция, возникающая на кривой S, действует на голоморфных 1-формах, причём собственное подпространство, на котором она действует с плюсом, это в точности формы, поднятые с C. Их пространство g-мерно, а стало быть размерность собственного подпространства с минусом равняется g'-g = g+N-1. Заметим, что инволюция сохраняет целочисленную структуру Ходжа, а следовательно и её собственные пространства приходят из целочисленных подструктур Ходжа. Целочисленная подструктура Ходжа в первых когомологиях это то же самое что фактор якобиана; то есть кривая S отображается в некое абелево многообразие A размерности g+N-1, причём формы, ограничивающиеся с него, суть собственные формы для инволюции с собственным числом -1, и можно выбрать вложение так, чтобы отображение x \mapsto -x на A сохраняло образ кривой и индуцировало на ней ту же самую инволюцию. Тем самым, фактор S по инволюции -- то есть исходная кривая C -- отображается в фактор A/\pm 1, и значит поднимается в его десингуляризацию, многообразие Куммера. Итого: всякая кривая рода g может быть вложена в куммерово многообразие размерности g-1 или выше. Остановимся на случае куммеровой поверхности. У нас есть следующее данное: тор A, кривая рода g < 6 на нём, сохраняемая инволюцией x \mapsto -x, на которой она индуцирует инволюцию с 10-2g неподвижными точками. Малая деформация кривой, после подходящего сдвига, сохраняет это условие, ибо оно топологическое; стало быть, возникает семейство кривых -- и после факторизации они определяют (g-2)-параметрическое семейство кривых рода g-2 на поверхности Куммера. Для g = 2 это почти тавтология, для g = 3 это любопытное наблюдение, производящее неизотривиальные эллиптические расслоения на куммеровых К3 (оно присутствует ещё у Барта, но теряется в грудах формул). Остановимся на нём чуть подробнее. 10-2*3 = 4, так что у нашей инволюции на кривой 4 неподвижных точки. Неподвижные точки инволюции это точки 2-кручения поверхности, причём других точек пересечения у них нет. Так что когда мы их раздуваем соответствующие нодальные особенности фактора, получаются 4 рациональные кривые, пересекающиеся с каждой гладкой эллиптической кривой нашего пучка. Это его 4 рациональных сечения. Другие 12 точек 2-кручения на гладких представительницах пучка не лежат, но через них проходят нодальные вырождения, которые после раздутия превращаются в особые слои, устроенные как две рациональные кривые, пересекающиеся в двух точках. Сдвиги на элементы 2-кручения либо сохраняют расслоение (и переставляют его 4 рациональных сечения), либо переводят в одно из трёх других эллиптических расслоений -- у которых также будут 4 сечения, бывшие в других расслоениях компонентами исключительных слоёв. Ничего не предвещает беды. Давайте теперь g = 4. Тогда 10-2g=2, то есть имеется двухпараметрическое семейство гладких кривых рода четыре, проходящих через две точки 2-кручения, и сохраняемых умножением на -1. При факторизации они превращаются в двухпараметрическое семейство кривых рода два, проходящих через две нодальные особенности. Заметим, что у кривой рода четыре на абелевой поверхности самопересечение 6, так что пересечение двух наших кривых S и S' состоит из шести точек, из которых две точки 2-кручения, а остальные четыре симметричны под действием умножения на -1. Значит у факторов C = S/\pm 1 и C' = S'/\pm 1 получается 2 + (6-2)/2 = 4 точки персечения, из которых первые две это особенности, и после их раздутия остаётся ровно две точки пересечения. Хочется сказать, что тем самым точки нашей поверхности разбиваются на пары, то есть на поверхности возникает инволюция, фактор по которой есть двойное накрытие P^2, на котором наше двухпараметрическое семейство кривых рода два это линейная система поднятия O(1). Но всё это чрезвычайно подозрительно. Например, куда деваются две исключительные кривые, которые по одному разу пересекают каждую гладкую кривую нашего семейства? Из тех соображений, что две точки 2-кручения, попадающие на наши кривые рода четыре, суть нули дифференциалов, задающих деформации -- а следовательно нули дифференциалов, сохраняемых инволюцей -- а следовательно нули дифференциалов, приходящих с кривой рода два -- а следовательно прообразы точек, переходящих друг в друга при её родной гиперэллиптической инволюции -- кажется, что эти исключительные кривые должны переставляться инволюцией на куммеровой поверхности, и тем самым давать рациональную кривую на P^2. Поскольку всякая кривая рода два из линейной системы пересекала обе исключительные кривые по одной точке, значит и всякая прямая на P^2 будет пересекать эту рациональную кривую по одной точке, то есть сама будет являться прямой. Но тогда она не может лежать в общем положении: её прообраз будет иметь род два!! значит, это что-то вроде би- или даже трикасательной (у нас очень необщая поверхность, так что никто не может заболтать возможность наличия трикасательных мнимыми разглагольствованиями об общем положении). Но есть тут и более глубокая трудность. А именно, с линейной системой кривых рода g на абелевой поверхности A можно связать голоморфно симплектическое многообразие размерности 2g-4, повесив над каждой точкой, соответствующей гладкой кривой с точностью до сдвига, ядро отображения её якобиана в A, а потом правильным образом замкнув. Это называется расслоением Дебарра, его тотальное пространство бирационально 2g-4-мерному обобщённому многообразию Куммера от A. Мы видели это явно для g=3. Но в случае рода g = 4 ядра такого отображения -- это якобианы соответствующих факторов по инволюции! То есть, если мы действительно можем так получить линейную систему рода два на куммеровой К3, то вне особого локуса многообразие Дебарра будет расслоением на такие же абелевы поверхности, что и расслоение Маркушевича (в большой науке принято говорить 'Бовиля-Мукаи', но в этом блоге устоялась альтернативная терминология) той линейной системы на куммеровой К3, а многообразие Маркушевича бирационально изоморфно двухточечной схемы Гильберта. Если бы эти два лагранжевых расслоения имели голоморно симплектоморфные тотальные пространства, то схема Гильберта была бы деформационно эквивалентна обобщённому многообразию Куммера, что невозможно из-за разных чисел Бетти. Не могут они быть связаны даже вырожденной твисторной деформацией: над аффинной базой это влечёт биголоморфность. Решений этого противоречия два: либо действительно множеством гладких слоёв (как локусом в пространстве модулей абелевых многообразий) невозможно уловить даже число Бетти тотального пространства, либо конструкция, производящая из поляризации рода четыре на абелевой поверхности куммерову поверхность, реализующуюся как двойное накрытие плоскости, была порочна изначально. Впрочем это тоже было бы интересно понять. 6 comments|post comment

Геометрические структуры на куммеровых поверхностях [14 Oct 2021|06:26am] [ mood | awake ] [ music | Jarosław Ławnicki – Affine varieties with simple topology ] Хорошо известен пример эллиптической К3, для которого можно всякие вещи легко посчитать: это кумметова поверхность произведения двух эллиптических кривых. Сами эти кривые отображаются в две рациональные кривые на куммере, но их сдвиги отображаются в честные эллиптические кривые, и отображения проекции задают два взаимно трансверсальных эллиптических пучка. К сожалению, эти пучки изотривиальны. Но на куммеровой поверхности можно сделать и неизотривиальный эллиптический пучок! Для этого надо взять абелеву поверхность с гладкой кривой рода три. Барт заметил, что такая кривая есть всегда двулистное накрытие эллиптической кривой, и обратно. В частности, умножение на -1 на абелевой поверхности индуцирует на кривой рода три инволюцию, переставляющую листы этого накрытия, и в куммерову поверхность кривая рода три после подходящего сдвига отображается эллиптической кривой. Начиная деформировать кривую по поверхности так, чтобы она продолжала сохраняться инволюцией, мы получим семейство эллиптических кривых, пересекающихся в четырёх точках кручения, которые после раздутия становятся нетривиальным эллиптическим пучком (с двенадцатью особыми слоями типа I_2). Аналогично, исчислением размерностей доказывается, что общая кривая рода четыре на абелевой поверхности есть двулистное накрытие кривой рода два, ветящееся в двух точках, а рода пять -- неразветвлённое накрытие кривой рода три. Соответственно, при подходящем сдвиге кривая рода четыре отображается в куммера как кривая рода два, деформирующаяся в двумерном семействе, то есть прообраз прямой на плоскости при двойном накрытии, ветвящемся в секстике, а рода пять -- как кривая рода три с трёхмерным семейством деформаций. Заметим, что для рода два также бывает тривиальный пример: это куммер якобиева многообразия кривой рода два, её сдвиги определяют изотривиальное двумерное семейство. Что такое изотривиальное семейство кривых рода три на куммеровой поверхности, я уже не понимаю. Интересно, можно ли соорудить у этих семейств послойные якобианы. Так можно было бы опровергнуть гипотезу Мацушиты: если взять кривую рода три на абелевой поверхности, её всевозможные деформации, в том числе и сдвиги, спустятся в куммерову К3 как слои эллиптического пучка плюс некоторое семейство кривых рода три, изотривиальное по двум направлениям, но неизотривиальное по третьему, как бы коллинеарному направлению эллиптического пучка. Послойный якобиан был бы шестимерным многообразием с лагранжевым расслоением, изотривиальным всего по двум направлениям, и нетривиальным по третьему. 4 comments|post comment

navigation [ viewing | most recent entries ]