(no subject)

« previous entry | next entry »
May. 15th, 2011 | 09:08 pm

В разговоре с физиком был спрошен о том, что такое расслоенное произведение (скажем, для топологических пространств). Не смог объяснить! То есть формальное определение можно зачитать вслух, но как передать интуицию?! В таких случаях помогают примеры, но какими словами описать раслоённое произведение, кроме как «раслоённое произведение»?! Очень похоже на ситуацию с объяснением того, что такое определённый артикль, носителю языка без такового.
Tags:

Link | Leave a comment | Add to Memories

Comments {75}

From: anonymous
Date: May. 16th, 2011 - 08:59 pm
Link

вот с уточнениями, которые Вы дали, новый пример.

Берем продолжаем аналогию с предыдущим примером. Был у нас лист, на котором мы могли рисовать линии, представляющие расслоение. Теперь как нам это расслоение "расширить"? Добавим третью координату. Если в первом случае у нас было обобщение листа "в клеточку", то теперь мы наложим таких листов "в клеточку" целую стопу и получим кубические ячейки. Это очевидно расслоеное произведение. Какие проблемы? Проблемы, что если мы будем неаккуратно добавлять друг к другу две координаты (множества), которые самостоятельно проецируются на базу, то мы можем получить совершенно разные объекты. Например, добавляя к ленте Мебиуса плоскость мы рискуем получить то же самое, как если бы мы добавляли плоскость к цилиндру. Все эти объекты могут быть расслоены над линией, но вот беда(!) лента Мебиуса и цилиндр на самом деле - расслоения над окружностью. Надо выбирать что в каком порядке проектировать. Чтобы избежать путаницы, мы хотим в той структуре с кубической решеткой уточнить, что "обобщенные" клетки двумерного листа - это именно слои, листы эти нанизаны на базу - линию (веревочку, которая пронизывает листы), при этом любой путь проектирования будет иметь один и тот же результат. Мы не съедем карандашом с одного листа на другой, но съедем только на элемент из образа проекции произведения.

Это верно?

Reply | Parent | Thread

From: anonymous
Date: May. 16th, 2011 - 09:26 pm
Link

Я имею в виду, что та структура, которая получается при наложении листов в стопку, вообще говоря не является желаемым расслоеным произведением, потому что стопку можно неудачно искривить и повернуть так, что потеряется форма базы. Нужно теперь на эту стопку посмотреть иначе (в данном случае сбоку и сформировать новую стопку по горизонтали вдоль базы): зафиксировать все-таки линию базы на листе, а все слои из предыдущего примера расслоения достроить до листов. Вот эти новые листы и будут нанизаны на веревочку, которая база нового объекта - расслоеного произведения. Если бы мы этого не сделали, то как раз бы вышло, что при произвольной манипуляции со стопкой из изначального примера мы бы в конце обнаружили переплетенные между собой листы, которые никакого отношения к желаемому не имеют.

Reply | Parent | Thread

From: anonymous
Date: May. 16th, 2011 - 09:29 pm
Link

>при произвольной манипуляции со стопкой из изначального примера мы бы в конце обнаружили переплетенные между собой листы

уже после того, как посмотрели на конструкцию "сбоку", вдоль веревочки. я просто не очень понятно написал, но я хотел именно провести различие между той стопкой, которой я получил кладя листы на пол, и той, которую получил, когда мысленно стер конструкцию, и поставил листы ребром.

Reply | Parent | Thread

From: anonymous
Date: May. 16th, 2011 - 09:42 pm
Link

Если я правильно все понял, то ответ на вопрос "зачем это нужно?" появляется сам собой: а представьте, что дереву нужно выбирать, куда расти, следуя правилам, которым подчиняется не само дерево, а отдельные его клетки. Вот если бы оно не знало, как отличить расслоеное произведение от прямого, то оно бы не знало, где верх и низ, и росло бы во все стороны. Более реальный пример: семечко этого дерева. Оно чувствует гравитационное поле (более ничего, допустим, не чувствует). Оно выбирает это направление как базу, а потом над общей базой строит слои - группы клеток, которые руководствуются своими сложными правилами для образования тех или иных структур (корней, ствола, коры, листьев и тп), поэтому они живут в крайне многомерном пространстве (правил). Но у этих правил общее одно - направление вверх для роста. На направление силы тяготения они проецируют свои расслоеные произведения (правил).

Reply | Parent | Thread

From: anonymous
Date: May. 16th, 2011 - 09:44 pm
Link

а теперь вспомним, что Гротендик был на самом деле агроном и садовник (а вовсе не книжный червь, мореплаватель и картограф), и все названия для своих структур придумывал соответствующие.

Reply | Parent