Good day,

>Отказ от модельных категорий в пользу (∞,1)-категорий.

А как вы предлагаете делать это? Вменяемое описание какой-либо модели для категории (∞,1)-категорий требует (во всяком случае, на сегодняшний день) техник из науки про модельные категории... Под этим можно понимать, конечно, то, что после построения подходящей модельной категории все будет делаться internal to it, но это не "отказ".

(Reply to this) (Thread)

>Вменяемое описание какой-либо модели для категории (∞,1)-категорий требует (во всяком случае, на сегодняшний день) техник из науки про модельные категории...

В статье Шоммера-Приса и Барвика,
аксиоматизируется (∞,1)-категория (∞,n)-категорий
(то есть существенно более общий случай,
чем тот, о котором вы говорите),
на основе языке квазикатегорий,
без упоминания модельных категорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Я знаком с этой статьей, спасибо. Но:

1) Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы). Потому я думал, что у Вас был какой-то иной ответ.

2) Это все равно не совсем ответ. Заранее предполагается at hand разработанная теория (∞,1)-категорий, в частности, теория представимых (∞,1)-категорий. В данном случае моделями являются квазикатегории, и используется то, что у Лури в НТТ содержится в 5 главе.

Неизбежно, например, нужно ответить на вопрос, что такое (∞,1)-категория предпучков. А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet. Собственно, можно, конечно, и так: с помощью модельных техник построить теорию (∞,1)-категорий, а потом уже все делать в "этой вселенной", только не то чтобы это очень удовлетворительно.

Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Как я понимаю, Ваш комментарий появился много раньше этой статьи (ей пара недель от силы).

Пару недель она лежит в архиве, результат был получен раньше.
Шоммер-Прис, кстати, мой научный брат (Doktorbruder).

>А корректное понимание категорий функторов для тех же квазикатегорий появляется только после построения модельной структуры Joyal'а на SSet.

Такое же утверждение можно сделать про само
определение квазикатегорий (которые являются
фибрантными объектами в модельной структуре Жояля).
Вот только тут на мой взгляд всё поставлено с ног
на голову: ведь обычно мы сначала определяем
квазикатегории, а уже затем говорим, что
слабая эквивалентность в модельной структуре
Жояля — это отображение, индуцирующее
изоморфизм связных компонент на пространствах
гомоморфизмов в произвольную квазикатегорию.
Тоже самое верно и для функторов, смотри
HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Вообще, модельные категории упоминаются в книге Лури
для обозначения преемственности и облегчения
понимания тем, кто уже знаком с модельными категориями.
А так они не нужны.

>Кроме того, авторы подчеркивают, что их работу можно перевести на язык тех же модельных категорий.

Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Спасибо за ответы.

>HTT, параграфы 1.2.7.2 и 1.2.7.3.
Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

Наверное, да, можно не говорить слов "Модельная Категория" и заниматься комбинаторикой симплициальных множеств, просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется.

>Можно, но не нужно.
Не зря ведь они выбрали квазикатегории,
а не умирающий язык модельных категорий.

Да я только за то, чтобы был другой метод (к тому же да статья от такого изложения выйграла). :-) Другое дело, каковой именно должна быть замена, сейчас не особо ясно. Те же Complete Segal Spaces довольно симпатичны в плане своих свойств. Квазикатегории кажутся некоторой уникальной вещью, в том же смысле, в котором уникальны симплициальные множества как модели гомотопических типов. Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Ну, там и происходит отсылка к тому, что "свойства доказываются с применением модельной структуры Joyal'а", и добро пожаловать в next chapter.

А в следующей главе мы видим параграф 2.2.5.10,
а равно и секцию 2.1.4,
в которых и написано, зачем используются модельные
структуры — для сравнения с другими моделями ∞-категорий, в частности для сравнения с симплициальными категориями.

>просто что от этого число доказанных фактов не сильно меняется

Именно что меняется.
Если выкинуть сравнения с другими моделями,
то изложение станет короче,
достаточно будет только нескольких
свойств внутренних анодинных морфизмов,
вроде 2.3.2.1, 2.3.2.4, 2.2.5.4, 2.2.5.7 и нескольких других.

Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

>Да, например с точки зрения тех же категорий функторов квазикатегории стоят на выделенном месте: в случае Segal Categories или Complete Segal Spaces, фибрантные объекты --- несколько больше, чем просто (\infty,n)-категории (оттого всякие проволочки с декартовой замкнутостью etc).

Именно.
Так что проще не заморачиваться
и использовать квазикатегории.

Конкретно, полные n-сложенные пространства Сигала «использовал»
тот же Лури в своей статье про гипотезу Баеза-Долана
о кобордизмах.
«Использовал» он их следующим образом:
определил (∞,n)-категорию бордизмов как полное
n-сложенное пространство Сигала, после чего «забыл» про формализм
и стал использовать наивный язык.
В результате весь результат немного висит в воздухе.
Шоммер-Прис утверждает, что ему удалось
перевести все наивные утверждения на язык
полных пространств Сигала и доказать их строго,
но усилия для этого потребовались немалые.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

>Кроме того, у меня ощущение, что если
не заниматься сравнениями, то 1.2.7.3 можно доказать
более прямым и простым способом (комбинируя
упомянутые леммы и выкидывая лишнее).

Что ж, вполне себе можно ожидать появления "квазикатегорий для работающего математика". К сожалению, текст Lurie все же для людей, уже знающих про "старую науку" достаточно много (это мое мнение, конечно).

Вот есть вопрос: можно ли использовать данное в статье Шоммер-Приса и Барвика определение, чтобы развивать модельно-независимую теорию (∞,n)-категорий? (интересно, сами авторы относятся к своему определению "теории n-категорий" как к методу решения классификационной задачи, или же у людей уже витают мысли о том, как строить науку internal to that definition?).

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Вообще говоря, (∞,n)-категории должны образовывать (∞,n+1)-категорию.
Что такое «модельно-независимая теория категорий»
я не могу представить уже для случая 2-категорий:
есть бикатегории, есть двойные категории.
Как можно с ними работать модельно независимо?
Можно, конечно, аксиоматизировать трикатегорию 2-категорий.
Но тогда возникает вопрос — какой вариант трикатегории использовать?

Мне кажется, что в случае с (∞,n)-категориями
один формализм будет доминирующим (также, как в случае
с 2-категориями доминируют бикатегории),
а остальные формализмы будут появляться изредка и только
тогда, когда они действительно нужны (в случае с 2-категориями,
двойные категории очень полезны для одновременного
описания двух типов морфизмов между алгебрами:
бимодулей и обычных гомоморфизмов).

В случае с (∞,1)-категориями вопрос, на мой взгляд,
уже разрешился в пользу квазикатегорий,
а вот для (∞,2)-категорий ситуация ещё не полностью ясна.

(Reply to this) (Parent)