| |||
|
|
как я провёл лето кажется начинает доходить вот возьмём например конечномерное пространство V и натянем на него свободную нильпотентную алгебру ли Lie^{меньше n}(V) - то есть просто возьмём свободную и обрежем все n-кратные коммутаторы. Какие у неё гомологии? Первые, понятно, V. Из чего-нибудь типа пятичленной точной последовательности можно увидеть, что вторые это пространство лиевских полиномов степени n Lie^n(V). Дальше можно сказать, что на когомологиях есть структура коалгебры, более того, даже A-инфинити коалгебры. Более того, раз эта А-инфинити структура приходит с комплекса шевалле, который кокоммутативный, то это на самом деле С-инфинити структура. С-инфинити коалгебра это А-инфинити коалгебра, у которой все высшие коумножения бьют в лиевские полиномы (а не во все). То есть, если структура А-инфинити коалгебры на пространстве H это дифференциал на тензорной алгебре от H[1], то C-инфинити коалгебра - это дифференциал на свободной алгебре ли. Соответствующая алгебра ли называется комплексом Харрисона от C-инфинити алгебры. Бар-кобар двойственность говорит нам, что гомологии Харрисона от комплекса шевалле от алгебры ли изоморфны этой же самой алгебре ли (сосредоточенной в степени ноль). Мы однако хотим считать гомологии харрисона не от комплекса шевалле, а от его гомологий. Вообще говоря, для произвольной алгебры ли получится совсем другой ответ (как можно проверить для sl_2), но для нильпотентной алгебры ли комплекс шевалле и его когомологии не просто квазиизоморфны, а фильтрованно квазиизоморфны —- и этого достаточно, чтобы когомологии Харрисона не менялись (см. тезис Лефевра-Хасегавы). То есть мы знаем, что гомологии Харрисона комплекса Шевалле сосредоточены в степени ноль. Если нарисовать картинку, то можно наблюсти два обстоятельства: во-первых, все коумножения m_k: H_2 -> Lie^k(H_1) нулевые, кроме как при k=n, и в этом случае это изоморфизм во-вторых, сама коалгебра гомологий целиком копорождена H_1 как бесконечность-коалгебра вопрос: есть ли там другие соотношения, кроме как в H_2? То есть, рассмотрим С-инфинити алгебру H (я тут уже перестал различать алгебры и коалгебры), свободно порождённую векторным пространством V с соотношением таким, как выше. Только что мы построили сюръективный морфизм (строгий) из этой алгебры в когомологии свободной алгебры ли. Как доказать, что это изоморфизм? Надо построить стрелочку в обратную сторону. Для этого рассмотрим копроизводную категорию нашей алгебры H. Общий принцип такой, что копроизводная категория H это производная категория алгебры ли Харрисона от H, а на ней есть t-структура, в сердечнике у которой лежит категория представлений нулевых когомологий харрисона, то есть нашей свободной нильпотентной алгебры ли. Если под копроизводной категорией мы понимаем категорию скрученных комплексов (опять же см. Лефевра-Хасегаву), то это не очень сложно проверить непосредственно. И теперь общая наука про t-структуры в А-бесконечность категориях даёт нам (не обязательно строгое) отображение между когомологиями алгебры ли и той А-бесконечность алгебры, которую мы задали образующими и соотношениями. Кажется, из существования двух стрелочек туда-сюда и того, что мы знаем, что на H_1 это изоморфизмы, уже должно следовать, что это одна и та же алгебра. Есть некоторая проблема с тем, что общей науки про t-структуры в А-бесконечность категориях не существует, но она выглядит как в принципе решаемая. |
||||||||||||||