igor_dzhadan

К вопросу о Едином. Часть 2

Sun, 25 Jul 2010 15:37:50 GMT

Теперь проведём доказательство следующего утверждения, назовём его условно теоремой Парменида-Зенона-Прокла по именам античных авторов, отстаивавших идею "единства Сущего":

Теорема: Если О=/L, Ю, Ъ/ - онтология над двухзначным логическим языком L с установленными списками свойств Ю и закономерностей Ъ (приведенными выше), то всё объективно существующее обладает свойством объективного единства. Формально:

{С(хi): э(хi)=1} AND {A(xj)[с(хj)=1]: (NOT j=i) -->( э(хi)=0)}

Вначале докажем ряд вспомогательных утверждений:

Лемма 1 (свойство объективной множественности): Если вещь объективно множественна, это её свойство невозможно устранить никаким мыслительным действием (точно так, как невозможно согласно определению устранить свойство объективного единства). Формально:

м(х)=1 --> NOT [E(qi): м(q(x))=0]

Доказательство: Проведем доказательство от противного. Предположим, существует мыслительное действие q, которое лишает вещь х свойства множественности, после чего вещь х становится единой. В силу Ю-4 не существует никакого мыслительного действия, которое бы позволило устранить свойство объективного единства и таким образом – придало бы предмету свойство объективной множественности. Для любого мыслительного действия q можно построить (помыслить) обратное ему мыслительное действие (-q), обладающее следующим свойством (согласно правилу Ъ-2):

q + (-q) = 0 – последовательное выполнение мыслительного действия и ему обратного соответствует пустому мыслительному действию.

Если q оказалось способным лишить вещь её объективной множественности, то (-q) - согласно свойству обратного мыслительного действия должно быть способным произвести обратное действие, возвратив ситуацию к начальному состоянию. Однако, возвратить ситуацию к начальному состоянию возможно в этом случае лишь лишив вещь х её (приобретённой) множественности путём мыслительного действия (-q). Последняя возможность противоречила бы определению объективно единого (Ю-4). Таким образом, предположив противное утверждению леммы, мы пришли к противоречию. Формально:

1) Е(q): м(х)=1 AND м(q(x))=0 (предположение противного)

2) NOT [E(q): э(х)=1 AND э(q(х))=0] (Ю-4)

3) A(q) E(-q): q + (-q) = 0 (Ъ-2)

4) м(-q(q(x)))=1 (1 AND 3)

5) м(q(x))=0 (1)

6) э(q(x))=1 AND э(-q(q(x)))=0 (4 AND 5)

7) противоречие (6 AND Ю-4)

Лемма 1 доказана.

Лемма 2 (единственность объективно единого): Если х – объективно существующее объективно единое, то оно – одно.

{э(х) = 1} --> {А(xi)[хi не равно х]: э(хi) = 0}

Доказательство: Ведём от противного.

Этап 1. Докажем вначале, что реально объективно существующих единых вещей не может быть две. Предположим обратное: объективно существуют две разных объективно единые вещи х1 и х2, для которых: э(х1)=1, э(х2)=1. Рассмотрим совокупность Ц /х1, х2/, состоящую из таких х1 и х2. Эта совокупность является объективно множественной, так как содержит объективные части (Ю-4 и Ю-6).

Однако, очевидно, что Ц можно рассматривать, как логически единое, а именно: как некоторое множество, которое в силу Ю-3 представляет собой логическое единство. Но, чтобы опровергнуть наше (противное) предположение, мы должны доказать, что эта совокупность является на самом деле объективно единым, то есть, что выполняется условие объективного единства (Ю-4), и она не содержит объективных частей.

Поскольку согласно нашему предположению х1 и х2 – разные вещи, то кроме х1 к Ц относится ещё нечто (х2), а значит: х1 в соответствие с Ю-7 несомненно является логической частью совокупности Ц=/х1, х2/. Проверим теперь, является ли х1 и объективной частью Ц. Если бы это было так, тогда, в соответствие с определением объективной части (Ю-8), никакие мыслительные операции не в состоянии устранить того факта, что х1 – является частью Ц.

Дадим определение следующей мыслительной операции: операция d устранения (элиминации) индекса - это функция, ставящая в соответствие каждому символу с индексом, обозначающему отдельную вещь, тот же символ, но только без индекса. Например: d(x1)=x, d(x2)=x,… и так далее.

Применим операцию устранения индекса к составляющим совокупности Ц /х1, х2/. Получим совокупность Цd /х, х/, где Цd – образ совокупности Ц после проведения по отношению к её составляющим мыслительной операции устранения индекса. Таким образом операция устранения индекса лишила х1 и х2 логического различия, а объективного различия между ними не может быть вследствие отсутствия в каждом из них объективных составных частей, за счёт которых объективное различие между х1 и х2 могло бы появиться.

Очевидно, что х не является объективной частью преобразованной в результате данной мыслительной операции совокупности Цd /х, х/. Ведь для того, чтобы это х являлось объективной частью Цd, нужно было бы, чтобы в соответствие с определением объективной части (Ю-8) кроме х были какие-либо другие части, а они, как мы выяснили выше, объективно не существуют, поскольку устраняются мыслительной операцией d.. Получается, что Цd /х, х/ не имеет объективных частей. Или, пользуясь менее формальным языком, можно сказать, что Цd объективно совпадает со своей логической частью х. Следовательно и Ц /х1, х2/ в соответствие с Ю-8 не имеет объективных частей. Следовательно: Ц /х1, х2/ - объективно едино (согласно Ю-4). Формально:

1) С(х1, х2): (э(х1)=1) AND (э(х2)=1) (предположение противного)

1а) м (Ц /х1, х2/) = 1 (1 AND Ю-4, Ю-6)

2) х1 р Ц/х1, х2/ (Ю-7)

3) Def d: A(xi): d(xi)=x (определение d)

4) d(Ц /х1,х2/) = Цd /х, х/ (из 3)

5) NOT (x ч Цd) (4 AND Ю-8)

6) NOT [(х1 ч Ц) OR (х2 ч Ц)] (5 AND Ю-8)

7) э (Ц /х1, х2/) = 1 (Ю4)

8) 1а AND 7 (противоречие)

Этап 2. Мы, таким образом, доказали подробным путём, что объективно единого не может быть два. Для любого конечного или бесконечного индексируемого множества (объективно единого хi) доказательство проводится аналогично, через операцию устранения индексов и демонстрацию совпадения образов хi. Тут предполагается, что любое множество можно проиндексировать, либо числами натурального ряда, либо действительными числами, либо функциями или каким-либо иным путём, так чтобы различным элементам соответствовали различные индексы. Операция устранения индекса строится соответственно избранной индексации. Формально для натуральночисленной индексации:

1) С(х1, х2…хi): (э(х1)=1) AND (э(х2)=1)… AND (э(хi)=1) (предположение противного)

1а) м (Ц /х1, х2…xi/) = 1 (1 AND Ю-4, Ю-6)

2) х1 р Ц/х1, х2…xi/ (Ю-7)

3) Def d: Axi: d(xi)=x (определение d)

4) d(Ц /х1,х2…xi/) = Цd /х, х…x/ (из 3)

5) NOT (x ч Цd) &nbs

Comments

К вопросу о Едином. Часть 1

Sun, 25 Jul 2010 15:31:57 GMT

После прочтения блестящей статьи безвременно ушедшего российского философа А. Г. Чернякова, посвящённой классическому вопросу о Едином, электронный вариант которой был любезно предоставлен bronza , почувствовалась необходимость высказать ряд собственных соображений. Судя по прочитанному, вопрос о характере сущего по-разному решался греческой философией, однако и до сих пор не видно консенсуса, считать ли его единым или множественным. С одной стороны известна точка зрения Парменида, которую пытались доказать Зенон Элейский и Прокл, и согласно которой сущее – едино. В дальнейшем этот тезис становится центральным в философии платоников.

С другой стороны – начиная с 19-го века развитие канторовской теории множеств и её вскоре наступившее тотальное доминирование в качестве основы всей математики, как казалось совсем недавно, необратимо склонило чашу весов в сторону примата множественности. И в пример такого развития Черняков приводит работы Бадью, где положения теоретико-множественной математики взяты в качестве основы построения философской онтологии. Естественно – с предсказуемым результатом для относительного значения Единого по сравнению с Многим.

Наш анализ вопроса, однако, показал, что не всё так однозначно, и, по крайней мере, существуют варианты онтологии, в которых единое заполняет собой всё сущее. Причём, если только мы не ошибаемся в доказательствах, модели таких онтологий могут быть достаточно строго обоснованы. Итак, приведём формальное обоснование одной из онтологий, для которой выполняется тезис Парменида.

Обозначения:

Для обозначения логических символов и связок будем использовать преимущественно латинские буквы. В частности: Е – квантор логического существования. А – квантор логической общности (единства).

Для обозначения онтологических понятий и отношений – будем пользоваться преимущественно кириллическими знаками.

Пусть L - определённый логический язык со следующим списком термов:

q, q1, q2… qj – любые мыслительные действия

х, х1, х2… хi – любые вещи или предметы, включая мыслительные действия.

Онтологией О над языком L будем называть тройку

/L, Ю, Ъ/, где:

L – язык двузначной логики

Ю – список свойств

Ъ – список онтологических закономерностей ("аксиом").

Для данной онтологии:

Список Ю:

1) е – латинская буква, указывающая на свойство логического существования. В логическом языке обозначается также латинским значком квантора существования Е и означает, что полагание свойств объекта не ведёт к противоречиям в рамках сделанных предположений. Если записано: "е(х)=1" или "е(х) – истинно", – это означает, что вещь х логических существует. В виде квантора логического существования: "Е(х):…" – "логически существует вещь х, такая что:…"

2) с – кириллическая буква, обозначающая свойство объективного существования. В отличие от логического существования, которое объективное существование предполагает существование вне зависимости от нашего сознания. В том числе – объективное существование предполагает существование вне зависимости от любых наших выводов относительно того, существует ли объект, или нет, а также – от того, противоречит ли предположение о его существовании нашим посылкам или нет. Мы можем знать или не знать о факте существования, однако это не влияет на факт, который - сам по себе. Если некая вещь х объективно существует, разрешим себе для фиксации этого факта пользоваться следующими синонимичными выражениями: "с(х) – истинно", "с(х)=1". Если же мы хотим сказать, что вещь х не обладает свойством объективного существования, будем записывать: "с(х) – ложно" или "с(х)=0". Также – может применяться в виде квантора объективного существования: "С(х):…" – "объективно существует вещь х, такая, что:…"

3) а – латинская буква, указывающая на свойство логического единства. Означает, что вещь х может быть непротиворечиво мыслима, в виде одного логически целого, отвлекаясь от различения отдельных логических частей (п. Ю-7). Другими словами факт единства вещи х логически существует: "е(а(х))=1". Таким логически единым объектом является математическое множество. Естественно, те математические и иные идеальные объекты, которые не могут быть непротиворечиво мыслимы, как например множество всех множеств, не содержащих самого себя в качестве элемента, не обладают свойством логического единства. Запись логического единства вещи х: "а(х)=1" или "а(х) – истинно". В виде квантора общности: "А(х):…- "для всех х верно: …"

4) э – свойство объективного единства. Вещь х – объективно едина, если не имеет никаких объективных частей (п. Ю-8). В этом случае записывается: э(х)=1. Это свойство является неотъемлемым свойством вещи, которое невозможно устранить, не разрушая саму вещь. В силу Ю-8 это также означает, что когда вещь х объективно едина, то она едина вне зависимости от нашего сознания. То есть, для свойства "э" – всё равно, какие выводы, предположения или другие мысленные операции мы производим. Вещь х – останется едина вне зависимости от этого. Не должно существовать логической операции или любого мыслительного действия, которое бы в силу себя самого элиминировало бы объективное единство. К примеру: для фиксации наличия свойства объективного единства недостаточно, чтобы объект мыслился единым множеством в математическом смысле, поскольку в общем случае множества могут составляться самым произвольным образом. Из чтения греческих классиков нам представляется, что, говоря о Едином, они имели в виду именно объективное, а не логическое единство. В свете такого вывода нам кажется, что помещение математических объектов в центр онтологии – было бы ущербным шагом, поскольку в этом случае пренебрегается различием между миром наших суждений и миром, существующим независимо от нашего сознания, о котором греки никогда не забывали. Отсюда – и наше настоящее желание попытаться как можно более чётко развести логические и объективные свойства наподобие того, как мы привыкли в последнее время различать "софт" и "хард", когда речь заходит о компьютерах.

5) Отсутствие у вещи свойства логического единства "-а" назовём логической множественностью и её будем по определению обозначать латинской буквой m. То есть: m=(-а), а значит запись "m(х)=1" равносильна "а(х)=0", - если вещь логически не едина, то она логически множественна, и наоборот.

6) Отсутствие у вещи свойства объективного единства "-э" назовём объективной множественностью и её будем по определению обозначать кириллической буквой м. То есть: м=(-э), а значит запись "м(х)=1" равносильна "э(х)=0", - если вещь объективно не едина, то она объективно множественна, и наоборот.

7) Вещь х1 является логической частью р вещи х2 (от латинской буквы р в слове part – часть) назовём то, что в вещи можно различить помимо различаемого логического целого w(х) – вещи в целом. Различаемое целое в вещи всегда одно по определению, в то же время, как частей – может быть более одной. Выражение "х1 р х2" читается, как: "х1 – является логической частью х2".

8) Объективной частью х1 вещи х2 назовём то, что в вещи х2 можно различить помимо самой вещи, и вне зависимости от нашего сознания. Записывается: "х1 ч х2" Это означает, что любые мыслительные операции, которые мы производим или можем произвести, не устраняют того факта, что х1 является частью х2. То есть, этот факт продолжает существовать объективно: с(х1 ч х2)=1 – подавая сигналы нашему сознанию о своём существовании вне зависимости от нашего желания или нежелания эти сигналы воспринимать или принимать во внимание.

Список Ъ:

1) Нечто существует объективно. Более формально: Е(хi): с(хi)=1 – логически существует такая вещь хi, которая обладает свойством объективного существования. Или по-другому, логически эквивалентная формулировка с использованием вместо квантора существования квантора общности: NOT{А(хi): c(хi)=0} – не верно, что все вещи объективно не существуют. Данная аксиома полагает существование объективной, независимой от нашего сознания, реальности, без чего бессмысленно вообще говорить о какой-либо "онтологии" помимо наших собственных мыслей. Таким образом в силу данной аксиомы утверждение "нечто действительно существует" – признаётся тавтологией нашего языка.

2) Для всякого мыслительного действия q найдётся ему противоположное (-q). Где: q + (-q) = 0 – последовательное выполнение консервативного мыслительного действия и ему обратного соответствует пустому мыслительному действию. Например: мысленно объединив две вещи в одно множество, мы можем провести обратную мыслительную операцию, в результате которой из множества получится две отдельные вещи.

Comments