Я исхожу из редукции к простым понятиям. Выделяю такие понятия, как, например, подобие, близость, равноразмерность, соответствие и равномощность, причинность и некоторые логические операции, состав которых должен быть уточнен. Эти понятия появляются в раннем детстве и используются неосознанно, затем постепенно осознаются в процессе математической практики. Число является уже очень сложным образованием.

Мне кажется, что любую математику можно редуцировать к этим понятиям, что я и пытаюсь сделать. Например, общеалгебраические понятия о группе и полугруппе появляются при анализе такого примитивного понятия, как подобие (гомоморфизм). У меня есть и опыт "редукции" более сложных понятий, таких как полумодуль (http://algebraic-brain.livejournal.com/9473.html) и модуль (http://algebraic-brain.livejournal.com/9783.html).

Если же верно то, что Вы написали, а я оцениваю это как очень похожее на правду, то математика будет становится все более изощренной и далекой от этих примитивов. В интуицию естествознателя в качестве примитивных будут встраиваться все более сложные образования. Понимание того, что такое "понимание" будет становиться все более проблематичным. Меня это пугает.

Но ведь известны случаи, когда простые понятия - к примеру, одновременность, параллельность, свойство - оказывались крайне сложными и неоднозначными, зависящими от других понятий.

На эту тему есть знаменитая статья
http://www.ditext.com/quine/quine.html

Тогда уточню. Простые понятия, изучаемые абстрактной (нечисловой) алгеброй, настолько просты, что уже давно никто не пытается указать на их зависимость от чего-либо. Они самодостаточны для изучения. Между тем огромная часть математики "редуцируется" к общей алгебре.

Если у нас есть общая алгебра, обладающая подобным свойством, то почему бы не существовать другой подобной системе, к которой редуцировалось бы естествознание?

Но ведь в основаниях общей алгебры - хаос.

Вы имеете в виду теоретико-множественные основания? Тогда хаос в основаниях любой математики. И это давно уже является "общим местом". Обычное и действенное возражение тут таково: мы не лезем туда, куда Заратуштра (то бишь аксиоматическая теория множеств) не позволяет, а в остальном пользуемся наивными представлениями.

И все-таки общая алгебра даже в таком виде является мощнейшим объединительной силой в современной математике. Я связываю это с тем, что она близка к тем очень примитивным познавательным функциям (еще мало касающимся числа и пространства), которые я перечислил и которые формируются в раннем детстве.

Я как-то разговаривал с приятелем математиком на эту тему и он мне сказал, что для математиков вопрос об основаниях не так насущен, поскольку всю махину математики можно перевернуть и поставить на другие основания - бывшие теоремы станут аксиомами, неопределяемые понятия поменяются местами с определяемыми - и так далее. Это я все к тому, что базовые основные понятия - дело конечно увлекательно - и сам этим увлекаюсь - однако размышлять о них нужно всегда четко помня, что все может перевернуться и под простотой разверзнуться сложность. Более того, практически наверняка так и произойдет. Вот число много веков казалось базовым понятием, а вы здесь утверждаете, что это очень сложное образование.

И прочитайте все же эту статью - или, если читали, прокомментируйте.

Прошу заметить, что я нигде не использовал слово "основание", им пользовались Вы, а в последнем посте продолжили разговор с самим собой.

Я говорю о мыслительных примитивах, а не о основаниях. Это разные вещи, первые относятся к гносеологии и когнитивистике, вторые к математической логике.

Вы с приятелем говорили скорее об этих вторых. Это тоже важная тема, но меня она мало интересует по причинам, о которых я уже сказал. Для редукции к простым понятиям ужасы аксиоматизации не так страшны, если помнить о некоторых простых вещах.

Мы ведь только что начали разговор. Мы почти незнакомы. Недоразумения между нами и непонимания - огромны - и в ту и в другую сторону. Стоит ли поэтому выражаться так резко - «в последнем посте продолжили разговор с самим собой»? это ведь может привести к дальнейшим недоразумениям.

--Я говорю о мыслительных примитивах
--Я по-видимому, не совсем улавливаю, что же именно, какую именно мысль вы хотите провести в отношении мыслительных примитивов.

Ее непросто выразить. Я считаю, что существует ветвящаяся иерархия способов понимания естественнонаучных знаний, основанная на некоторых "интуициях" поведения, которые прямо могут не осознаваться. Примеры простейших из таких интуиций: свойства перестановок предметов, сравнения групп предметов, всевозможные сравнения жидких и твердых тел и способы делать выводы из подобных событий, причем такие выводы, для которых именно нельзя указать на "аналитичность" или "синтетичность". Тут пролегает тонкая грань между мышлением и поведением: кое что из того, что я бы назвал базовыми интуициями или примитивными понятиями, свойственно даже животным (крысам или обезьянам например).

С другой стороны, такие поведенческие интуиции могут касаться чрезвычайно сложной деятельности, например гончарного ремесла или даже радиоконструирования - и опять, опытный радиоконструктор или гончар может предлагать суждения, истинность которых он не сможет обосновать, пока не научит собеседника своему ремеслу. Не нужно думать, что эти суждения вообще нельзя обосновать - можно, но этому конкретному специалисту такое обоснование не нужно, все эти истины благодаря долгому опыту слились с его интуицией.

Такое интуитивное знание распространяется на любую деятельность, даже на математическую. Человеку, имеющему большой опыт решения систем дифф. уравнений и вычисления интегралов, современную физику объяснить в общих чертах просто, если не бурить глубоко. Если же математик очень хорошо знает общую алгебру, но не имеет подобного опыта вычислений, это будет сделать сложнее, но тоже возможно. Таким образом мы будем осуществлять "как-бы редукцию" к двум разным базовым наборам интуитивного знания, вернее эти люди в процессе понимания будут пользоваться разными образами для усвоения. Поэтому я говорю о ветвящейся иерархии интуитивного знания, основанного на опыте - на разных видах опыта.

Но если так, то как же увидеть единство нашего знания? Наше знание, вообще, едино, или мы только случайно понимаем друг друга? Я считаю что едино, и у меня есть программа как это показать.

Моя программа основана на предположении о том, что дерево интуитивного знания имеет основание - некоторые интуиции, которые являются базовыми, основными, необходимыми для взращивания остальных видов опыта. И я считаю, что ближе всего к этим интуициям именно общая алгебра, что она основана на самых простых интуициях. И именно этим объясняется ее объединительная мощь в современной математике.

Статью я прочитал, но поскольку я никогда не утверждал, что где-то на алмазных скрижалях выписаны все аналитические суждения, а на изумрудных - все синтетические, то меня эта статья не тронула глубоко.

Прошу прощения, это написал конечно я, просто забыл войти.
Завтра я на две недели уезжаю в отпуск, поэтому продолжать нашу беседу не смогу. Но сегодня до вечера я здесь.

Первым делом, давайте выясним понятия. Вы пишете:
--Прошу заметить, что я нигде не использовал слово "основание". (...)Я говорю о мыслительных примитивах, а не о основаниях.

и после этого:
--Моя программа основана на предположении о том, что дерево интуитивного знания имеет основание - некоторые интуиции, которые являются базовыми, основными, необходимыми для взращивания остальных видов опыта.

Мне тут хотелось бы, чтобы вы признали, что ваше представление об иерархии интуиций неизбежно приведет вас к идее оснований знания.

Есть более-менее стандартный смысл словосочетания "основания математики". Книжки сплошь и рядом называются "математическая логика и основания математики" или наоборот. Под теми основаниями математики, в которых, по Вашему мнению, хаос, обычно подразумевается математическая логика. Но там нет или почти нет серьезных психологических/когнитологических/бихевиористских попыток. Таковые в изобилии присутствуют в другой области знаний, близкой к искуственному интеллекту, но уже не по отношению к математическому знанию.

Поэтому с предложением об основаниях математического знания я, конечно, соглашусь, но в более широком смысле. И я очень прошу не присоединять туда те рассуждения математико-логического толка, которые появились в паре Ваших постов. Это совершенно различная проблематика, и пройдет еще очень много времени до того момента, когда их начнут обсуждать в едином контексте (если такое вообще произойдет).

-- психологических/когнитологических/бихевиористских попыток. Таковые в изобилии присутствуют в другой области знаний, близкой к искуственному интеллекту, но уже не по отношению к математическому знанию.
--да, теперь я лучше понимаю, о чем вы говорите. однако в этих областях попытки выстроить иерархии понятий и оснований, о которых вы говорите, связаны с двумя моментами:
1. вся преполагаемая иерархия - результат эволюционного развития.
и в силу этого
2. вся предполагаемая иерархия - результат условий окружающей среды.

вы согласны с этим?

Поясните, пожалуйста, подробнее. В каком смысле результат, почему именно этого и ничего другого и какая связь между 1 и 2.

мне интересно именно это, есть конечно и другое.

связь та, то эволюция есть адаптация к условиям среды.

То есть Вы не согласны с этими утверждениями? Зачем же Вы их выдвинули?

Я с ними согласен. Отчего вы подумали, что я не согласен?

Вам, наверное, не заметно, но Ваши утверждения выглядят двусмысленно. Их можно понять, например, так:

"Окружающая среда целиком и полностью определяет описанную иерархию"

или так:

"Окружающая среда оказывает некоторое влияние на формирование этой иерархии"

С первым утверждением я ни в коем случае не согласен, это по моему глупость какая-то. Со вторым соглашусь, но надо подробно описать как именно и на что она влияет.

Кроме того, фраза насчет того, что "эволюция - это адаптация" мне непонятна. Зачем тогда два разных термина существует?

Вы правы, я имел в виду второй смысл. Он мне важен вот почему: если окружающая среда в которой сформировались человеческие существа оказала влияние на структуру базовых понятий, то эти понятия с теоретической точки зрения нельзя считать основными; если бы среда была другой, другими были бы и понятия. Набор наших когнитивных понятий - это просто некий физиологический аппарат, который достался нам в наследство, и который мы, в процессе рассуждений, экспериментов и так далее можем свободно менять - к примеру, в ходе эволюции у нас не возникло никаких базовых понятий связанных с глубокими ультрафиолетовыми частотатим спектра - и тем не менее, мы свободно пользуемся понятиями, связанными со всем диапазоном.

В отношении эволюции и адаптации - это разные аспекты одного процесса. Отсюда и два разных термина. Если вас смущает идея одного процесса, можно сказать так - адаптация влияет на эволюцию - или - эволюция связана с адаптацией.

"c теоретической точки зрения нельзя считать основными"

Во-первых, ваша теоретическая точка зрения тоже сформировалась благодаря "основным" в моей терминологии понятиям (поскольку она рациональна). И потом, они основные лишь в наблюдательном смысле. Об их генезисе я не склонен скоропалительно судить: здесь, вслед за Мамардашвили, я расплывчато говорю о "тайне сознания". Однако эта расплывчатость не мешает наблюдательным образом пытаться изучать иерархию.

статью распечатал, дома прочитаю вечером.