| |||
|
|
> Я имел в виду когомологии X \times_C H. Впрочем, если умножить на O_Y > (т.е. факторизовать по t), то проблемы нет, функции на базе мы убили. > Но про A^{*,*} я все равно не понял, слишком много индексов. Можно > написать в примере? -- скажем, X=C^2, и проекция на одну из координат? > Да, я вижу, что там нет когомологий вообще, но все равно. хорошо. рассмотрим сразу всё на ростках в нуле, тогда (\Omega_X/S(log Y) \otimes O_Y)_0 это комплекс из двух членов O_Y \to O_Y,0 dy отображение из которого в A^*,* это вэдж с dx/x. (A^*,*)_) при этом содержит единственную строчку A^0 [далее везде OO = O_X,0]: OO dx/x \oplus OO dy \to OO dx/x \wedge dy по модулю W_0. А W_0 равен OO dx \oplus OO dy \to OO dx \wedge dy что то же самое, что и (x) dx/x \oplus OO dy \to (x) dx/x \wedge dy вертикальный морфизм, очевидно, устанавливает изоморфизм комплексов. чуть более интересен случай, когда xy=t, он пожалуй лушче отражает, как дело обстоит в общей ситуации. в этом случае (\Omega_X/S(log Y) \otimes O_Y)_0 это O_Y \to O_Y,0 dy/y \cong O_Y,0 dx/x отображение в A^*,* это вэдж с dx/x + dy/y, а (A^*,*)_0 состоит из двух строчек A^*,0: OO dx/x \oplus OO dy/y \to OO dx/x \wedge dy/y | mod W_0 A^*,1: OO dx/x \wedge OO dy/y \to 0 | mod W_1 (вертикальный дифференциал, напомню, тоже вэдж с dt/t=dx/x + dy/y) W_0 A^*,0: (x) dx/x \oplus (y) dy/y \to (xy) dx/x \wedge dy/y W_1 A^*,1: (x,y) dx/x \wedge (x,y) dy/y \to 0 точность в A^1,0 видно сразу. формы \alpha = f dx/x + g dy/y \in A^0,0 такие, что \alpha \wedge dt/t = (f - g) dx/x \wedge dy/y \in W_1 A^0,1 это в точности формы из образа O_Y \to A^0,0. надеюсь, выкладки в таком виде читабельны. > И опять же из общих соображений, в когомологиях Делиня индексы > смешиваются может быть как раз и правильно. Класс когомологий Делиня > это по сути отображение R(j) \to H^*(X)[i] в категории смешанных > структур Ходжа, а там есть Hom и Ext^1. Т.е. любой класс степени i это > комбинация чего-то из i-форм и чего-то из (i-1)-форм. Но надо > конкретнее смотреть. тут скорее класс степени i это (i+1)-логформа > При этом отмечу, что человеческой формуы для умножения в когомологиях > Делиня в природе нет (в частности, там нет строго коммутативного > уножения). Потому что из-за этих структур Ходжа, это примерно как > взять пучок DG-алгебр на окружности, а потом взять гиперкомологии со > значениями в нем (структура Ходжа это конечно не пучок на окружности, > но гомологическая размерность один, так что ведет себя похоже). Ну и > там стандартная проблема с chain-level умножением на когомологиях. пока я лежал в кровати с простудой последние несколько дней (поэтому так долго не отвечал), нашёл сочинение некоего Фуджисавы https://arxiv.org/pdf/1305.4811.pdf где он определяет симплициальный комплекс (в смысле, симплициальный объект в категории комплексов), чья тотализация, он говорит, квази-изоморфна стинбринковскому комплексу (теорема 5.29, а комплекс K_C определён в 5.5. он то же самое делает с рациональными коэффициентами заодно). интересно то, что у этого комплекса сдвига на единичку у степеней форм нет, а значит произведение на нём определить можно прямолинейно. как он изоморфен комплексу стинбринка, я пока не разобрал, там какие-то манипуляции с вычетами. Добавить комментарий: |
||||