Псевдоним Колмогорова?
Кто-нибудь знает кто такой
Н. А. Колмогоров (Капланбек)?

(Read Comments |Comment on this)

Российская наука и математика

Добрый день! Посоветуйте, что мне делать. Мне 37 лет, пол мужской, живу в ближнем Подмосковье и раздумываю о том, идти в науку или устраиваться на работу. У меня есть ряд вопросов по науке, буду благодарен за ответы. 

О СЕБЕ: 

Я закончил 6 курсов Московского физико-технического института в 2010. С тех пор многое забылось, работал за эти годы по математике мало, но последние годы я повторял университетские математические курсы.

Имею очень интровертный тип личности (необщательный, люблю уединение) и очень логико-аналитический склад ума.

Я совершенно не люблю преподавать, поэтому хотел бы устроиться работать в московский НИИ или ещё куда-то, где мне не надо будет преподавать.

Английский: Intermediate.

Хотелось бы заниматься теоретической математикой (предположительно в области вероятности, стохастики, статистики), ибо программировать я не особо люблю, хотя немного умею на языке Python. Знаю азы анализа данных в SPSS Statistics. Готов потратить несколько лет на получение нужного образования. Из написанных научных статей по математике только бакалаврская дипломная работа в институте (моделирование гидро-газодинамики на компьютере).

ВОПРОСЫ:

1) Как мне зайти в науку? Какова стратегия? Кому писать?

2) Я совсем не являюсь трудоманом, скорее, наоборот предпочёл бы работать меньше, чем на полную ставку (менее 40 часов в неделю). Возможно ли быть математиком, работая меньше, чем на полную ставку? На какой доход я могу рассчитывать в перспективе, когда достигну уровня младшего научного сотрудника в московском НИИ?

3) Как я могу "попробовать" такую математическую науку за непродолжительное время, чтобы понять моё/не моё? Чтобы понять, потяну ли я её в своём немаленьком возрасте? Ведь серьёзная наука-математика - это не просто.

(Read Comments |Comment on this)

диссертация Асада младшего
В новостях проскочило про успешную защиту в МГУ кандидатской диссертации "Арифметические вопросы многочленов в полях алгебраических чисел" старшим сыном Башара Асада. Диссертация доступна по ссылке:
https://dissovet.msu.ru/dissertation/3184

(Read Comments |Comment on this)

А не кажется ли публике, что математика в глубоком застое, если сравнивать с первой четвертью прошлого века? Где Гильберт? Где Анре Пуанкаре?

(Read Comments |Comment on this)

Учебник
Ладно, вычитывать устал. Исправил ляп с расходящимися интегралами, поправил закладки и несколько мелких опечаток.

Учебник версия 3

Учебник версия 3 другой шрифт

Обсуждение теперь здесь

https://dxdy.ru/topic155931.html

(Read Comments |Comment on this)

Кажется, дурацкий ляп в последней главке (нашёл только что один программист). Я помню, что без аксиомы выбора можно добиться, чтобы все множества действительных чисел были измеримы по Лебегу. Поскольку я лет тридцать не вычислял интегралы, я сделал логический вывод, что у каждой функции тогда будет определённый интеграл на отрезке. Но не сообразил, что он может быть бесконечным, если функция разрывная, поэтому значения интеграла лежат не в R в общем случае (а у меня предполагается, что в R). Кажется, поправить дело легко - надо доопределить интеграл на отрезке равным нулю, если он расходится. Или опять ерунду говорю? Суть дела (интерпретации в категориях) не меняется, в крайнем случае вместо определённого интеграла возьмём лямбду (не хочется, будет существенно сложнее).

P.S.Кажется, изящное решение найдено -- вместо множества действительных чисел брать отрезок [0,1] и считать, что все функции из [0,1] в [0,1] интегрируемы (это возможно в ZF без аксиомы выбора). Выражения чуть-чуть переопределю, чтобы они принимали значения в отрезке [0,1] (заменю сложение на умножение, выброшу константу \pi, это всё только в последней главке). Через несколько дней напишу, сейчас опять вычитываю, надеюсь уже получить стабильный текст.

(Read Comments |Comment on this)

Учебник, апдейт
Учебник версия 2

Учебник версия 2 другой шрифт

Исправил досадную опечатку - в таблицах, определяющих альфа-редукцию и альфа-конверсию, в правиле \nu был лишний штрих. Вычитывать такие тексты трудно, можно без глаз остаться, как Эйлер. Может быть, заменить M и M' на M_1 и M_2? По поводу другого шрифта -- у меня впечатление, что так немного, но явно легче читать (а я много их читал). Прав ли я? Бесполезная просьба: пожалуйста, не стесняйтесь говорить, если что-то непонятно. В предыдущем учебнике больше всего опечаток (после меня самого) нашёл один программист, который немедленно спрашивал, если чего-то не понимал.

(Read Comments |Comment on this)

Новый учебник, первая глава
Учебник версия 1

Учебник версия 1 шрифт



Это один и тот же текст, но во втором варианте использован другой шрифт для переменных (посмотрите, как лучше читается). Если будет обсуждение, буду здесь выкладывать следующие главы (когда напишу).

P.S. Прошу прощения, первый сразу чуть-чуть подправил.

(Read Comments |Comment on this)

«Колмогоров — 120»

Вспоминая об Андрее Николаевиче Колмогорове
Интервью с Тихомировым В. М.
https://www.youtube.com/watch?v=R30PbgrZ4d8
.
via СУНЦ МГУ Школа им. А. Н. Колмогорова
25 и 27 апреля 2023 года в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова пройдет Международная научная конференция «Колмогоров — 120».
https://event.msu.ru/kolmogorov120
.

(Read Comments |Comment on this)

Колмогоров-123 (soft cover = hard cover) (рабочий язык — русский)

Изданы новые книги, посвящённые А.Н. Колмогорову:
•Колмогоров в воспоминаниях
•А. Н. Колмогоров. Полная библиография его трудов и список публикаций, ему посвящённых
•Из эпистолярного наследия А. Н. Колмогорова. Письма к В. М. Тихомирову

via MIROS МИАН https://events.skoltech.ru/vrkolmogorov
0 https://biblio.mccme.ru/node/185120
1 https://biblio.mccme.ru/node/185121
2 https://biblio.mccme.ru/node/176846

26 апреля 2023 г. в рамках цикла мероприятий, посвященных 120-летию А. Н. Колмогорова, пройдет конференция «Колмогоров-120. МИАН».

Сайт конференции

Подробнее о других мероприятиях

(Read Comments |Comment on this)

УМН

УМН
УМный в гору не пойдёт
УМный гору обойдёт
ПоРА переиздать отдельной книжкой желательно факсимильно все публикации в УМН из разделов «От редакции» «Errata» «MisceLLаnEA» "Научно-популярные брошюры", особенно выделив «безымянные» сообщения, об авторстве которых можно только догадываться, например, перевOды Колмогорова из Гёте и прочих стишков из Винни-ТНЕ-Пук и все-все-все

AA
PS Дополнительная информация о выпуске
https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?jrnid=rm&wshow=issue&year=1936&volume=&issue=1&option_lang=rus
.

(Read Comments |Comment on this)

Вести с ПОлей XA-XA-XA-XA-XE-XИ-ХИ-ХО-ХО-ХО-ХО-XO-XO-XO-XO

https://www.mathnet.ru/php/organisation.phtml?orgid=748&option_lang=rus&fletter=%F5#AuthList

Поздравляем ведущего научного сотрудника МИАН Антона Сергеевича Трушечкина с присуждением премии Правительства Москвы молодым ученым за 2022 год в номинации «Математика, механика и информатика» за работу «Доказательство стойкости квантовой криптографии с практическим оборудованием».

Лауреаты премии

13 февраля 2023 г. начинается весенний семестр Научно-образовательной программы МЦМУ МИАН (НОЦ).

Расписание занятий

Доклады и лекции в базе данных Math-Net.Ru
1. Лекция 1. Квантовые вычисления
А. С. Трушечкин
Квантовые вычисления
7 февраля 2023 г. 13:10

(Read Comments |Comment on this)

ААМатематикА Бес ФорМУЛ, нОСкарТИнКАМи

From notifications

Alexander Adamchuk Adm in

Математики воскресили 13-ю проблему Гильберта

Автор оригинала: Stephen Ornes

Перевод

Вопрос Давида Гильберта о многочленах седьмой степени, долгое время считавшийся решённым, открыл исследователям новую сеть математических связей

Успех в математике достигается редко. Спросите хотя бы Бенсона Фарба.

«Проблема математики в том, что в 90% случаев вас ждёт неудача, и вам нужно быть человеком, умеющим это принимать», — сказал однажды Фарб за ужином с друзьями. Когда один из гостей, также математик, удивился тому, что Фарбу удаётся достигать успеха в целых 10% случаев, Фарб признал: «Нет, нет, я сильно преувеличил процент своих успехов».

Фарб, тополог из Чикагского университета, с радостью встретил последнюю свою неудачу – хотя, честно говоря, это не только его заслуга. Вопрос связан с задачей, парадоксальным образом одновременно решённой и нерешённой, открытой и закрытой.

Задача – это 13-я из 23 математических проблем, которые не были решены в начале XX века. Тогда немецкий математик Давид Гильберт составил этот список, который, по его мнению, определял будущее математики. Задача связана с решением полиномиальных уравнений седьмой степени. Полином – это последовательность членом уравнения, каждый из которых состоит из числового коэффициента и переменных, возведённых в степень; между собой члены связываются сложением и вычитанием. Седьмая степень означает самую большую экспоненту у всех переменных.

Математики уже научились ловко и быстро решать уравнения второго, третьего и в некоторых случаях, четвёртого порядка. В эти формулы – в том числе и в знакомую квадратичную формулу для второй степени – входят алгебраические операции, то есть арифметические действия и извлечение корней. Но чем больше экспонента, тем запутаннее уравнение, и решать его становится всё сложнее. 13-я проблема Гильберта – это вопрос, можно ли выразить решение уравнения седьмого порядка через набор сложений, вычитаний, умножений, делений и алгебраических функций от максимум двух переменных.

Ответ: вероятно, нет. Однако для Фарба это не просто вопрос решения сложного алгебраического уравнения. Он сказал, что 13-я проблема – одна из самых фундаментальных проблем математики, поскольку она поднимает глубокие вопросы: насколько сложны полиномы, и как это измерить? «Целый слой современной математики был изобретён для того, чтобы лучше понимать корни полиномов», — сказал Фарб.

Эта проблема затянула его и математика Джесси Вольфсона из Калифорнийского университета в Ирвине в математическую кроличью нору, ходы которой они изучают до сих пор. Она также привлекла к их раскопкам Марка Кисина, специалиста по теории чисел из Гарварда и старого друга Фарба.

Фарб признал, что они пока не решили 13-ю проблему Гильберта, и даже не приблизились к решению. Однако они раскопали почти исчезнувшие математические стратегии, и изучили связи проблемы с различными областями знаний, включая комплексный анализ, топологию, теорию чисел, теорию представлений и алгебраическую геометрию. Они применили собственные подходы, в частности, объединив полиномы с геометрией и сузив диапазон возможных ответов на вопрос Гильберта. Также их работа предлагает способ классификации полиномов по метрикам сложности – аналог классов сложности, имеющих отношение к нерешённой задаче равенства классов P и NP.

«Они на самом деле смогли извлечь из интереса более интересную его версию» по сравнению с теми, что изучались ранее, сказал Дэниел Литт, математик из университета Джорджии. «Они показывают математическому сообществу множество естественных и интересных вопросов».

Открыли, закрыли и снова открыли

Многие математики уже считали проблему решённой. В конце 1950-х гениальный советский учёный Владимир Игоревич Арнольд и его наставник Андрей Николаевич Колмогоров опубликовали свои доказательства. Для большинства математиков работа Арнольда-Колмогорова закрыла этот вопрос. Даже в Википедии – не истине в последней инстанции, но довольно разумном посреднике в поисках знаний – до последнего времени задача была отмечена как решённая.

Однако пять лет назад Фарб наткнулся на несколько интригующих строчек в эссе за авторством Арнольда, где знаменитый математик размышляет над своей работой и карьерой. Фарб с удивлением узнал, что Арнольд описывает 13-ю проблему как открытую, и сорок лет пытался решить задачу, которую он вроде бы уже решил.

«Существуют научные работы, где просто повторяется тезис о решённости проблемы. Они явно не понимают самой проблемы», — сказал Фарб. В то время он работал вместе с Вольфсоном, бывшим тогда постдоком, над проектом в области топологии. Когда он поделился найденными в работе Арнольда сведениями, Вольфсон подключился к проекту. В 2017 году во время семинара, посвящённого 50-летию Фарба, Кисин услышал доклад Вольсфона и с удивлением понял, что их идеи, касающиеся полиномов, связаны с вопросами его работы по теории чисел. Он присоединился к их команде.

Причина путаницы с этой проблемой вскоре стала ясна: Колмогоров и Арнольд решили только один из её вариантов. В их решении фигурировали непрерывные функции – такие, у которых нет резких разрывов, или точек перегиба. Среди таких функций – знакомые операции вроде синуса, косинуса, экспоненты, а также более экзотические.

Однако не все исследователи согласны с тем, что Гильберта интересовали именно они. «Многие математики считают, что Гильберт имел в виду алгебраические, а не непрерывные функции», — сказал Зиновий Рейхштейн, математик из университета Британской Колумбии. Фарб и Вольфсон работают над проблемой, которую, как они считают, и хотел изучить Гильберт.

Фарб сказал, что 13-я проблема – это калейдоскоп. «Раскрываешь эту штуку – и чем больше изучаешь, тем больше направлений и идей она открывает, — сказал он. – Она приоткрывает дверь к целому массиву задач, показывает всю прекрасную паутину математики».

Корни проблемы

Математики игрались с полиномами с момента изобретения самой математики. На каменных табличках 3000-летней давности видно, как вавилонские математики использовали формулу для решения полиномов второго порядка. Это был клинописный предшественник той самой квадратичной формулы, которую сегодня учат на уроках математики. Формула

показывает, как найти корни полинома – то есть, значения x, при которых выражение ax2+bx+c, полином второй степени, становится равным нулю.

Со временем математики, естественно, заинтересовались вопросом о том, существуют ли такие чёткие и ясные формулы для полиномов высших порядков. «Многотысячелетняя история этой проблемы заключается в том, чтобы прийти к чему-то такому же мощному, простому и эффективному», — сказал Вольфсон.

Чем выше степень полинома, тем более громоздкими они становятся. В книге 1545 года «Ars Magna» [«Великое искусство»] итальянский эрудит Джероламо Кардано опубликовал формулы для поиска корней полиномов третьей и четвёртой степеней.

Корни кубического полинома ax3+bx2+cx+d=0 можно найти по следующей формуле:

Формула для полинома четвёртой степени выглядит ещё хуже.

«С ростом степени растёт и сложность, вырисовывается гора сложностей», сказал Курт Макмаллен из Гарварда. «Как нам покорить эту гору?».

Итальянский математик Паоло Руффини в 1799 году утверждал, что полиномы 5-й и больших степеней нельзя решить при помощи арифметических операций и извлечения корней. В 1824 году это доказал норвежский математик Нильс Хенрик Абель. Иначе говоря, подобной формулы для полинома пятой степени не существует. К счастью, появились другие идеи, предлагавшие способы изучать полиномы высших степеней, которые можно упростить через подстановку. К примеру, в 1786 году шведский юрист Эрланд Бринг показал, что любое уравнение вида ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0 можно переписать в виде px5+qx+1=0, где p и q – комплексные числа, величину которых определяют a, b, c, d, e и f. Этот факт открыл новые подходы к скрытым свойствам полиномов.

В XIX веке Уильям Роуэн Гамильтон продолжил работы Бринга и других. В числе прочего он показал, что для поиска корней полинома шестой степени понадобятся лишь обычные арифметические операции, квадратные и кубические корни и алгебраическая формула, зависящая только от двух переменных.

В 1975 году американский алгебраист Ричарт Брауэр из Гарварда ввёл идею «степени резольвенты», описывающую минимальное количество членов, необходимых для описания полинома некоторой степени. Менее чем через год после этого Арнольд и японский специалист по теории чисел Горо Шимура в другой работе ввели почти такое же определение.

В модели Брауэра, первой попытке систематизации правил таких подстановок, 13-я проблема Гильберта – это вопрос о том, возможно ли, чтобы у полиномов седьмой степени степень резольвенты была меньше 3. Позднее он выдвинул сходные гипотезы по поводу полиномов шестой и восьмой степеней.

Однако в основе всех этих вопросов лежит более общий: каково наименьшее количество параметров, необходимое для поиска корней любого полинома? До какого нижнего предела можно дойти?

Визуальное мышление

Естественный подход к этому вопросу – представить себе, как выглядят полиномы. Полином можно записать как функцию – к примеру, f(x)=x2−3x+1, — и построить её график. Тогда поиски корней сводятся к тому, что функция становится равной нулю там, где её кривая пересекает ось х.

Чем выше степень полинома, тем сложнее его график. Функции третьего порядка с тремя переменными выдают гладкие но перекрученные поверхности в трёх измерениях. Зная, в какие места этих поверхностей смотреть, математики могут многое узнать о лежащей в их основе полиномиальной структуре.

В результате в попытках понять полиномы задействуется множество методов из алгебраической геометрии и топологии – разделов математики, фокусирующихся на том, что происходит с фигурами, когда они деформируются, сжимаются, растягиваются или ещё как-то изменяются без разрывов. «Анри Пуанкаре, по сути, изобрёл топологию, и чётко сказал, что сделал это, чтобы понять алгебраические функции, — сказал Фарб. – В то время люди с трудом изучали эти фундаментальные связи».

Сам Гильберт раскрыл особенно интересную связь, применив геометрию к этой проблеме. К тому времени, как он составил свой список проблем в 1900-м году, у математиков уже был большой набор трюков, позволявших понижать степени полиномов, но они всё равно не могли продвинуться дальше. Однако в 1927 году Гильберт описал новый трюк. Начал он с определения всех возможных способов упростить полиномы девятой степени, и нашёл среди них семейство особых кубических поверхностей.

Гильберт уже знал, что на каждой гладкой кубической поверхности – замысловатой фигуре, описываемой полиномом третьей степени – содержится ровно 27 прямых, вне зависимости от того, насколько перекрученной она выглядит. Эти прямые сдвигаются с изменением коэффициентов полиномов. Он понял, что зная положение одной из них, можно упростить полином девятой степени и найти его корни. Формуле требовалось всего четыре параметра – в современных терминах это значило, что степень резольвенты не превышает 4.

«Потрясающее озарение Гильберта состояло в том, что это чудо геометрии, происходящее из совершенно другого мира, можно было использовать, чтобы уменьшить степень резольвенты до 4», — сказал Фарб.

Движение к паутине связей

Когда Кисин помогал Фарбу и Вольфсону разбираться в задаче, они поняли, что общепринятое мнение о решённости 13-й проблемы Гильберта убило весь интерес в геометрическом подходе к степени резольвенты. В январе 2020 года Вольфсон опубликовал работу, оживившую этот подход. Она расширила геометрическое обращение Гильберта с полиномами девятой степени до более общей теории.

Гильберт сконцентрировался на кубических поверхностях для поисков решения полиномов девятой степени, содержавшего всего одну переменную. Но что насчёт полиномов более высоких степеней? Чтобы решить эту задачу сходным образом, подумал Вольфсон, можно заменить кубическую поверхность некоей «гиперповерхностью» высшего порядка, сформированной этими полиномами высших степеней со множеством переменных. Геометрия подобных поверхностей изучена не так хорошо, но за последние несколько десятилетий математики доказали, что в некоторых случаях на них всегда можно найти прямые.

На любой гладкой кубической поверхности, неважно, насколько она перекручена или свёрнута, можно найти ровно 27 прямых линий. Гильберт использовал этот геометрический факт для создания формулы корней полинома девятой степени. Джесси Вольфсон развил эту идею далее, используя прямые на «гиперповерхностях» высших степеней для создания формул для более сложных полиномов.

Идею Гильберта использовать прямые на кубической поверхности можно развить до прямых, находящихся на этих «гиперповерхностях» высших степеней. Вольфсон использовал этот метод для нахождения новых, более простых формул для полиномов определённых степеней. Получается, что даже если представить себе полином 100-й степени у вас не получится, вы можете найти его корни, «просто» найдя плоскость на многомерной кубической гиперповерхности (в данном случае она будет иметь 47 измерений).

При помощи этого нового метода Вольфсон подтвердил найденную Гильбертом величину степени резольвенты для полиномов девятой степени. А для полиномов некоторых других степеней – в особенности, степеней выше 9 – его метод сужает диапазон возможных значений степени резольвенты.

Так что это не прямая атака на 13-ю проблему Гильберта, а подход к полиномам в целом. «Они нашли некие смежные вопросы и смогли достичь прогресса в них, надеясь, что это прольёт свет на оригинальный вопрос», сказал Макмаллен. И их работа указывает новые пути работы с этими математическими конструкциями.

Общая теория степени резольвенты также показывает, что гипотезы Гильберта касательно уравнений шестого, седьмого и восьмого порядка эквивалентны другим задачам, известным в, казалось бы, не связанных с полиномами областях математики. Степень резольвенты, по словам Фарба, предлагает способ выстроить эти проблемы по алгебраической сложности, а не группировать их по классам сложности.

И хотя теорию породила 13-я проблема Гильберта, математики не уверены, что она способна решить открытый вопрос по поводу полиномов седьмой степени. Она касается гигантских неизученных математических масштабов в невообразимых измерениях, но при меньших значениях степеней сталкивается с непреодолимыми препятствиями, и не в состоянии определить для них степени резольвенты.

Для Макмаллена отсутствие продвижения – несмотря на намёки на прогресс – интересно само по себе. Из этого следует, что в задаче таятся секреты, которые современная математика просто неспособна объять. «Мы не смогли подступиться к этой фундаментальной проблеме – это означает, что мы не заходили в какие-то тёмные области», — сказал он.

«Для её решения потребуются совершенно новые идеи», — сказал Рейхштейн, разработавший собственную идею по упрощению полиномов, концепцию, которую он называет «основным измерением». «Предугадать, откуда они появятся, невозможно».

Но троица не отступается. «Я не собираюсь сдаваться, — сказал Фарб. – Эта задача определённо стала моим белым китом. Она заставляет меня не останавливаться в этой паутине связей, и окружающей её математике».

https://habr.com/ru/post/544266/.

polynomials

Mathematicians Resurrect Hilbert’s 13th Problem

Long considered solved, David Hilbert’s question about seventh-degree polynomials is leading researchers to a new web of mathematical connections.

Stephen Ornes

Contributing Writer

January 14, 2021

Success is rare in math. Just ask Benson Farb.

“The hard part about math is that you’re failing 90% of the time, and you have to be the kind of person who can fail 90% of the time,” Farb once said at a dinner party. When another guest, also a mathematician, expressed amazement that he succeeded 10% of the time, he quickly admitted, “No, no, no, I was exaggerating my success rate. Greatly.”

Farb, a topologist at the University of Chicago, couldn’t be happier about his latest failure — though, to be fair, it isn’t his alone. It revolves around a problem that, curiously, is both solved and unsolved, closed and open.

The problem was the 13th of 23 then-unsolved math problems that the German mathematician David Hilbert, at the turn of the 20th century, predicted would shape the future of the field. The problem asks a question about solving seventh-degree polynomial equations. The term “polynomial” means a string of mathematical terms — each composed of numerical coefficients and variables raised to powers — connected by means of addition and subtraction. “Seventh-degree” means that the largest exponent in the string is 7.

Mathematicians already have slick and efficient recipes for solving equations of second, third, and to an extent fourth degree. These formulas — like the familiar quadratic formula for degree 2 — involve algebraic operations, meaning only arithmetic and radicals (square roots, for example). But the higher the exponent, the thornier the equation becomes, and solving it approaches impossibility. Hilbert’s 13th problem asks whether seventh-degree equations can be solved using a composition of addition, subtraction, multiplication and division plus algebraic functions of two variables, tops.

The answer is probably no. But to Farb, the question is not just about solving a complicated type of algebraic equation. Hilbert’s 13th is one of the most fundamental open problems in math, he said, because it provokes deep questions: How complicated are polynomials, and how do we measure that? “A huge swath of modern mathematics was invented in order to understand the roots of polynomials,” Farb said.

The problem has led him and the mathematician Jesse Wolfson at the University of California, Irvine into a mathematical rabbit hole, whose tunnels they’re still exploring. They’ve also drafted Mark Kisin, a number theorist at Harvard University and an old friend of Farb’s, to help them excavate.

They still haven’t solved Hilbert’s 13th problem and probably aren’t even close, Farb admitted. But they have unearthed mathematical strategies that had practically disappeared, and they have explored connections between the problem and a variety of fields including complex analysis, topology, number theory, representation theory and algebraic geometry. In doing so, they’ve made inroads of their own, especially in connecting polynomials to geometry and narrowing the field of possible answers to Hilbert’s question. Their work also suggests a way to classify polynomials using metrics of complexity — analogous to the complexity classes associated with the unsolved P vs. NP problem.

“They’ve really managed to extract from the question a more interesting version” than ones previously studied, said Daniel Litt, a mathematician at the University of Georgia. “They’re making the mathematics community aware of many natural and interesting questions.”

Open and Shut, and Open Again

Many mathematicians already thought the problem was solved. That’s because a Soviet prodigy named Vladimir Arnold and his mentor, Andrey Nikolyevich Kolmogorov, published proofs of it in the late 1950s. For most mathematicians, the Arnold-Kolmogorov work closed the book. Even Wikipedia — not a definitive source, but a reasonable proxy for public knowledge — until recently declared the case closed.

But five years ago, Farb came across a few tantalizing lines in an essay by Arnold, in which the famous mathematician reflected on his work and career. Farb was surprised to see that Arnold described Hilbert’s 13th problem as open and had actually spent four decades trying to solve the problem that he’d supposedly already conquered.

“There are all these papers that would just literally repeat that it was solved. They clearly had no understanding of the actual problem,” Farb said. He was already working with Wolfson, then a postdoctoral researcher, on a topology project, and when he shared what he’d found in Arnold’s paper, Wolfson jumped in. In 2017, during a seminar celebrating Farb’s 50th birthday, Kisin listened to Wolfson’s talk and realized with surprise that their ideas about polynomials were related to questions in his own work in number theory. He joined the collaboration.

The reason for the confusion about the problem soon became clear: Kolmogorov and Arnold had solved only a variant of the problem. Their solution involved what mathematicians call continuous functions, which are functions without abrupt discontinuities, or cusps. They include familiar operations like sine, cosine and exponential functions, as well as more exotic ones.

But researchers disagree on whether Hilbert was interested in this approach. “Many mathematicians believe that Hilbert really meant algebraic functions, not continuous functions,” said Zinovy Reichstein, a mathematician at the University of British Columbia. Farb and Wolfson have been working on the problem they believe Hilbert intended ever since their discovery.

Hilbert’s 13th, Farb said, is a kaleidoscope. “You open this thing up, and the more you put into it, the more new directions and ideas you get,” he said. “It cracks open the door to a whole array, this whole beautiful web of math.”

The Roots of the Matter

Mathematicians have been probing polynomials for as long as math has been around. Stone tablets carved more than 3,000 years ago show that ancient Babylonian mathematicians used a formula to solve polynomials of second degree — a cuneiform forebear of the same quadratic formula that algebra students learn today. That formula, x=–b±b2–4ac√2a, tells you how to find the roots, or the values of x that make an expression equal to zero, of the second-degree polynomial ax2+bx+c.

Over time, mathematicians naturally wondered if such clean formulas existed for higher-degree polynomials. “The multi-millennial history of this problem is to get back to something that powerful and simple and effective,” said Wolfson.

The higher polynomials grow in degree, the more unwieldy they become. In his 1545 book Ars Magna, the Italian polymath Gerolamo Cardano published formulas for finding the roots of cubic (third-degree) and quartic (fourth-degree) polynomials.

The roots of a cubic polynomial written ax3+bx2+cx+d=0 can be found using this formula:

Image of formula to find cubic polynomial

The quartic formula is even worse.

“As they go up in degree, they go up in complexity; they form a tower of complexities,” said Curt McMullen of Harvard. “How can we capture that tower of complexities?”

The Italian mathematician Paolo Ruffini argued in 1799 that polynomials of degree 5 or higher couldn’t be solved using arithmetic and radicals; the Norwegian Niels Henrik Abel proved it in 1824. In other words, there can be no similar “quintic formula.” Fortunately, other ideas emerged that suggested ways forward for higher-degree polynomials, which could be simplified through substitution. For example, in 1786, a Swedish lawyer named Erland Bring showed that any quintic polynomial equation of the form ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0 could be retooled as px5+qx+1=0 (where p and q are complex numbers determined by a, b, c, d, e and f). This pointed to new ways of approaching the inherent but hidden rules of polynomials.

In the 19th century, William Rowan Hamilton picked up where Bring and others had left off. He showed, among other things, that to find the roots of any sixth-degree polynomial equation, you only need the usual arithmetic operations, some square and cube roots, and an algebraic formula that depends on only two parameters.

In 1975, the American algebraist Richard Brauer at Harvard introduced the idea of “resolvent degree,” which describes the lowest number of terms needed to represent the polynomial of some degree. (Less than a year later, Arnold and Japanese number theorist Goro Shimura introduced nearly the same definition in another paper.)

In Brauer’s framework, which represented the first attempt to codify the rules of such substitutions, Hilbert’s 13th problem asks us if it’s possible for seventh-degree polynomials to have a resolvent degree of less than 3; later, he made similar conjectures about sixth- and eighth-degree polynomials.

But these questions also invoke a broader one: What’s the smallest number of parameters you need to find the roots of any polynomial? How low can you go?

Thinking Visually

A natural way to approach this question is to think about what polynomials look like. A polynomial can be written as a function — f(x)=x2−3x+1, for example — and that function can be graphed. Then finding the roots becomes a matter of recognizing that where the function has value 0, the curve crosses the x-axis.

Higher-degree polynomials give rise to more complicated figures. Third-degree polynomial functions with three variables, for example, produce smooth but twisty surfaces embedded in three dimensions. And again, by knowing where to look on these figures, mathematicians can learn more about their underlying polynomial structure.

We haven’t been able to address this fundamental problem; that means there’s some dark area we haven’t pushed into.

Curt McMullen, Harvard University

As a result, many efforts to understand polynomials borrow from algebraic geometry and topology, mathematical fields that focus on what happens when shapes and figures are projected, deformed, squashed, stretched or otherwise transformed without breaking. “Henri Poincaré basically invented the field of topology, and he explicitly said he was doing it in order to understand algebraic functions,” said Farb. “At the time, people were really wrestling with these fundamental connections.”

Hilbert himself unearthed a particularly remarkable connection by applying geometry to the problem. By the time he enumerated his problems in 1900, mathematicians had a vast array of tricks to reduce polynomials, but they still couldn’t make progress. In 1927, however, Hilbert described a new trick. He began by identifying all the possible ways to simplify ninth-degree polynomials, and he found within them a family of special cubic surfaces.

Hilbert already knew that every smooth cubic surface — a twisty shape defined by third-degree polynomials — contains exactly 27 straight lines, no matter how tangled it appears. (Those lines shift as the coefficients of the polynomials change.) He realized that if he knew one of those lines, he could simplify the ninth-degree polynomial to find its roots. The formula required only four parameters; in modern terms, that means the resolvent degree is at most 4.

“Hilbert’s amazing insight was that this miracle of geometry — from a completely different world — could be leveraged to reduce the [resolvent degree] to 4,” Farb said.

Toward a Web of Connections

As Kisin helped Farb and Wolfson connect the dots, they realized that the widespread assumption that Hilbert’s 13th was solved had essentially closed off interest in a geometric approach to resolvent degree. In January 2020, Wolfson published a paper reviving the idea by extending Hilbert’s geometric work on ninth-degree polynomials to a more general theory.

Hilbert had focused on cubic surfaces to solve ninth-degree polynomials in one variable. But what about higher-degree polynomials? To solve those in a similar way, Wolfson thought, you could replace that cubic surface with some higher-dimensional “hypersurface” formed by those higher-degree polynomials in many variables. The geometry of these is less understood, but in the last few decades mathematicians have been able to prove that hypersurfaces always have lines in some cases.

Hilbert’s idea of using a line on a cubic surface to solve a ninth-degree polynomial can be extended to lines on these higher-dimensional hypersurfaces. Wolfson used this method to find new, simpler formulas for polynomials for certain degrees. That means that even if you can’t visualize it, you can solve a 100-degree polynomial “simply” by finding a plane on a multidimensional cubic hypersurface (47 dimensions, in this case).

With this new method, Wolfson confirmed Hilbert’s value of the resolvent degree for ninth-degree polynomials. And for other degrees of polynomials — especially those above degree 9 — his method narrows down the possible values for the resolvent degree.

Thus, this isn’t a direct attack on Hilbert’s 13th, but rather on polynomials in general. “They kind of found some adjacent questions and made progress on those, some of them long-standing, in the hopes that that will shed light on the original question,” McMullen said. And their work points to new ways of thinking about these mathematical constructions.

This general theory of resolvent degree also shows that Hilbert’s conjectures about sixth-degree, seventh-degree and eighth-degree equations are equivalent to problems in other, seemingly unrelated fields of math. Resolvent degree, Farb said, offers a way to categorize these problems by a kind of algebraic complexity, rather like grouping optimization problems in complexity classes.

Even though the theory began with Hilbert’s 13th, however, mathematicians are skeptical that it can actually settle the open question about seventh-degree polynomials. It speaks to big, unexplored mathematical landscapes in unimaginable dimensions — but it hits a brick wall at the lower numbers, and it can’t determine their resolvent degrees.

For McMullen, the lack of headway — despite these signs of progress — is itself interesting, as it suggests that the problem holds secrets that modern math simply can’t comprehend. “We haven’t been able to address this fundamental problem; that means there’s some dark area we haven’t pushed into,” he said.

“Solving it would require entirely new ideas,” said Reichstein, who has developed his own new ideas about simplifying polynomials using a concept he calls essential dimension. “There is no way of knowing where they will come from.”

But the trio is undeterred. “I’m not going to give up on this,” Farb said. “It’s definitely become kind of the white whale. What keeps me going is this web of connections, the mathematics surrounding it.”

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe.../.

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-probe.../#.

AA

(Read Comments |Comment on this)

Кстати, эмулятор эллиптического пространства, если кто ещё не видел

https://mega.nz/file/igo0zDBC#JgIYMtie3UmKXgDgtWBKzXE25xPA-qvZuKMKQ3y8fFk

Работает только под Windows, под Linux мне лень отлаживать (всё равно всё перепишу на функциональном языке). Два года назад выложил на dxdy, в результате пришлось оттуда уйти, потому что негоже быть умнее модератора. Главное в науке - субординация и дисциплина, как объяснял лично мне великий Кацнельсон.

(Read Comments |Comment on this)

Вопрос о роли Общей Топологии.
Насколько я понимаю, в математической среде существует консенсус, что это тупиковая и малозначительная ветвь математики(в смысле - законченная, нет важных тем для исследований; а так конечно основные понятия ОТ - фундамент во многих областях). Лично мне(но надо понимать, что моя квалификация очень низка и потому у меня по это вопросу "мнение") кажется весьма странным исследования, в которых играет роль мощность множеств, на которых определена топология. В Союзе ОТ держалась на авторитете и влиянии ПСа, после его смерти сошла на нет, за рубежом тем более.
Но. Насколько я вижу из упоминаний мне попадавшихся, общие топологи сыграли большую роль в замечательном прогрессе весьма важной области - распознавании изображений. Ведь это произошло за последние лет 15 - до этого не было практически ничего - а сейчас замечательно работает посиск по изображению в поисковиках.
Вопрос такой - действительно ли общие топологи тут сыграли важную роль, и если так - какие-то конкретные знания или общая геометрическая интуиция?

(Read Comments |Comment on this)

а кто знает/или композирует/ меню на Grand- ОБЪЕД на Съезд МатемаТИКам 2022-го года?

"Сегодня 3 ноября. В этот день в 1891 году на заседании Московского математического общества Николай Жуковский сделал доклад «О парении птиц»." iris_sibirica https://iris-sibirica.livejournal.com/4658474.html
.
ЖУковсКИЙ наверное и «О жарении птиц» докладал на Обществе. общественники могли б сравнить, что им по вкусу боле подходяще — пареное или жареное, а то и пряженое. а вот как соловьиные язычки готовят по-ЖУковски?

https://www.gastronom.ru/text/francuzskij-delikates-kotoryj-edjat-s-salfetkoj-na-golove-1012731
.
AA

(Read Comments |Comment on this)

563

обратил внимание что ПРОстое число 563 представимо в виде суммы 3-х квадратов простых чисел 563 = p^2 + q^2 + r^2, а его квадрат представим в виде суммы последовательных трёх простых чисел 563^2 = P + Q + R.  интересно, много ли простых чисел с такими же свойствами?

PS исправил условие, включив слово последовательных и слово квадратов
исправленному верить
AA

(Read Comments |Comment on this)

Каkов период десятичной ДРоби 1/((10^10)-1)^2 ?

сегодня возился во всякими древними числами и вот набрёл на довольно неожиданное десятичное разложение. 

хотел было посмотреть на периодическую дробь и длину её периода опредеделить на глазоk, 

а тут такая вылазит последовательность натуральных чисел и нулей и не видно им конца. 

Каkов период десятичной ДРоби 1/((10^10)-1)^2 ?

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× 10^-20

(Read Comments |Comment on this)

Help
Дорогие коллеги, помогите, если можете, получить доступ (нужно довольно срочно)
к книге М.С Пинскера "Информация и информационная устойчивость случайных величин и процессов, Изд. АН СССР, М. 1960. (1960)
или ее американский перевод
M. S. Pinsker: Information and Information Stability of Random Variables and Processes. San Francisco: Holden‐Day Inc., 1964. Pp. xii + 243. Translated and annotated by Amiel Feinstein.

Заранее очень признателен

(Read Comments |Comment on this)

Топологический вопрос о проективном пространстве
Можно ли на каждой прямой трёхмерного проективного пространства выбрать точку, чтобы точка от прямой зависела непрерывно? При желании трёхмерное проективное пространство можно представить как шар, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки сферы. Тогда прямые изображаются кусками окружностей любой кривизны, лежащих внутри шара и пересекающих его поверхность в диаметрально противоположных точках (включая диаметры и "экваторы" - большие окружности на сфере). Думаю, что нельзя, но бывают всякие чудеса (вроде слоения Риба).

P.S. Подумал: возьмём для простоты проективную плоскость, она устроена как сфера с отождествлёнными диаметрально противоположными точками. Большие окружности на сфере превращаются в прямые на проективной плоскости. Каждой точке сферы ("полюсу") соответствует большая окружность ("экватор", полярная прямая). Допустим, можно на каждой прямой непрерывно выбрать точку. Тогда для каждой точки ("полюса") выберем точку на его "экваторе", проведём через них прямую и получим причёсывание ежа (поле касательных прямых, непрерывно зависящих от точки-полюса). Для сферы это невозможно, а для проективной плоскости?

(Read Comments |Comment on this)