Поиск оптимального поворота
Здравствуйте, уважаемые участники ru_math!

Я сейчас занимаюсь решением одной прикладной задачки по поиску оптимального поворота твердого тела при некоторых наложенных на вращения ограничениях. Возможных ограничений может быть много, и разбирать каждый случай по отдельности, вполне естественно, мне не хочется (тем более что многие комбинации ограничений довольно сложны для прямого разбора). Вдобавок, ограничений в некоторых ситуациях может быть больше чем доступных степеней свободы, и в этих случаях хотелось бы получить некоторое "приближенное" решение, которое хотя бы приблизительно соблюдало все поставленные условия. Поэтому я попытался записать все возможные ограничения в некоторой простой форме, которую в дальнейшем можно было бы "разбирать" универсальным алгоритмом. В итоге получилась следующая задачка:

Дано R^3 - трехмерное векторное пространство над полем действительных чисел.
В этом пространстве задан набор пар векторов (x_i, y_i) (i=1,...,n).
Требуется найти такой поворот в T, чтобы выполнялось \sum_i (Tx_i, y_i)^2 -> min

/ или, проще говоря, требуется найти такое T, чтобы после применения T к набору векторов {x_i} результирующие вектора оказались попарно бы ортогональными - или почти ортогональными - к соответствующим векторам из набора {y_i} /

Можно ли предложить здесь какое-нибудь хорошее решение? Буду рад любому совету или идее :)!

(Read Comments |Comment on this)

Определение размерности пространства по координатам принадлежащих ему точек

А вот, дорогие участники комьюнити, вопрос.

Прежде чем его задать, предупрежу честно: интерес мой ни с какой учёбой не связан, а связан с решением задачи из другой (не математической) научной области. Моё математическое образование ограничено двумя старшими классами матшколы, прошу учесть это при ответах :)

Итак. Представим себе, что нам дано множество точек и расстояния между некоторыми из них. Допустим для простоты, что даны расстояния между каждой парой точек.

В ряде случаев по этим расстояниям можно "угадать" размерность пространства, которому они принадлежат. Давайте допустим также для простоты, что это в любом случае евклидово пространство.

Скажем, между тремя точками Ы, Й и Ж следующие попарные расстояния:
|ЫЙ|=1
|ЙЖ|=1
|ЫЖ|=2
Размерность евклидова пространства, которому они принадлежат, очевидно равна единице.
Если
|ЫЖ|>2
то решений для евклидова пространства не существует.
Если
0<|ЫЖ|<2
то размерность искомого пространства равна двум.
Если
|ЫЖ|=0
то размерность искомого пространства опять равна единице.

Вопрос в следующем. Существует ли общее решение для множества точек конечной мощности N в случае, если заданы расстояния между каждой парой точек этого множества? А если не между каждой?

Под общим решением я разумею процедуру вычисления размерности пространства по заданным расстояниям между парами точек.

Спасибо.

(Read Comments |Comment on this)

"Российская газета" обратилась к теме кризиса на рынке авиаперевозок.

Сейчас в России действуют 18 авиакомпаний, из которых 20 выполняют основной объем авиаперевозок.

Источник: http://www.rg.ru/2008/08/21/samolet.html

(Read Comments |Comment on this)

А где в интернете есть хорошие форумы по обработке изображения(image processing) или по обработке сигналов, но для математиков. Ничего не могу найти. Спасибо!

(Read Comments |Comment on this)

рациональные функции роста
Вопрос возник в ходе обсуждений с markvs.

Пусть имеется группа G, порождённая конечной системой A. Тогда (производящая) функция роста этой группы (зависящая от выбора A) есть сумма степенного ряда

F(x) = b(0) + b(1)x + b(2)x^2 + ... + b(n)x^n + ... ,

где b(n) есть объём шара радиусом n в графе Кэли C(G,A), то есть количество элементов группы, представимых в виде произведения не более чем n элементов из A U A^{-1}.

А вопрос вот какой. Пусть группа G имеет рациональную функцию роста относительно системы порождающих A; верно ли, что функция роста останется рациональной при замене системы порождающих на любую другую конечную?

Возможны варианты вопроса: то же самое можно спросить про свойство функции роста быть алгебраической. Также можно задать аналогичные вопросы для алгебр, подходящим образом определив для них функцию роста.

(Read Comments |Comment on this)

недоаппроксимация
кросс-пост отсуда

Доброго времени суток.

Начальство подкинуло задачку, и мне, не математику, довольно тяжко.
Суть в следующем - необходимо получить 2 функции (2 и 3 степени)
и чтобы выполнялись следующие условия:

1. Пересечения: кривая 2й степени имеет корни 0 и 41, кривая 3й степени имеет корни 0 и 30 (третий меньше 0 и не интересует). Товарищи получают эти кривые при помощи полиномов Лагерра соответственно в виде:
F2 = k1*L1 + k2*L2,
F3 = k'1*L1 + k'2*L2 + k'3*L3

Это условие я выполнил так: k1=1/21, k2=20/21, k'1=0, k'2=0, k'3=1.

UPDATE: Конечная цель - получить два вектора длинной 42, и на которых должны выполняться эти условия2 и 3.
Но исходные функции должны иметь заданные корни.



2. SUM[i=0..41](F2(i)) = 0 AND SUM[i=0..41](F3(i)) = 0
(я решил это как F = F - MEAN(F))

3. SUM[i=0..41](F2(i) * F3(i)) = 0

Как раз с 3м условием проблемы: не знаю как трансформировать кривые, чтобы оно выполнялось?

Спасибо!

(Read Comments |Comment on this)

Производные пределы в абелевых категориях
Где можно почитать об обращении в нуль производных функторов пределов и копределов в абелевых категориях при достаточно общих предположениях о категории индексов и самой абелевой категории?

(Read Comments |Comment on this)

SL(3,R)/SL(3,Z)
Интересует как выглядит объект SO(3)\SL(3,R)/SL(3,Z) на бесконечности. Можно как-то просто понять как там этот касп (каспы?) устроены геометрически. Как описывается граница на бесконечности? Размерность кажется 5, если правильно посчитал. Можно это модулярное многообразие себе как-то бодро представлять как в размерности 2?

спасибо!

(Read Comments |Comment on this)

к сведению ферматистов
Теперь в моде гипотеза Каччетты-Хэггквиста.
Ну, например, самая популярная версия: если у нас есть 3n вершин, и из каждой выходят стрелки в n из них, то найдется ориентированный цикл длины 3 или меньше.
В общем виде: если вершин rs, и из каждой выходит r, то найдется цикл длины не более s.
Прелесть, как и у теоремы Ферма, в том, что условие легко понять.
И вот результат: в Архиве уже лежит доказательство :)

(Read Comments |Comment on this)

Евклид vs Дирихле
Будем говорить, что многочлен P(x) с целыми коэффициентами доказывает (a,b), если все простые делители его значений в целых точках, кроме, может, конечного числа, имеют вид an+b.
Легко понять, что если какой-то многочлен доказывает (a,b), то простых чисел вида an+b бесконечно много.
n-й многочлен деления круга доказывает (n,1).
А еще какие пары можно так доказать?

(Read Comments |Comment on this)

Сообщество "Школа Шрейдера"

Ровно 10 лет назад умер Юлий Анатольевич Шрейдер. В память о нем сегодня открыто сообщество "Школа Шрейдера", призванное объединить коллег, соавторов, родственников, друзей Шрейдера, а также всех тех, кто интересуется его идеями, изучает их, развивает и использует. Приглашаю в сообщество всех, кому вышеизложенное может показаться интересным! На этой площадке будут выкладываться материалы, так или иначе связанные со Шрейдером и его идеями: его работы, библиографические заметки о его творчестве, работы его коллег и ссылки на них. Форум открыт как для обсуждения творчества Шрейдера, в частности, проблемы собрания и публикации его наследия и воспоминаний о нем, идей, связанных со шрейдеровским творчеством, так и для предложений по развитию самого сообщества. Будем надеяться, что сообщество заживет интересной конструктивной жизнью!

(Read Comments |Comment on this)

преобразования
Если взять интеграл от функции, умноженной на экспоненту, получится хорошо известное преобразование Лапласа, которое взаимно однозначно. А если вместо экспоненты взять другую функцию? При каких условиях тоже будет взаимно однозначное соответствие? Возьмем, например, такое преобразование: h(r) = интеграл от 0 до +бесконечности (или от 0 до 1, другой вариант) от f(x)/(1+rx), r>0. Будет ли это преобразование взаимно однозначным? Существуют ли какие-либо легко проверяемые универсальные критерии?

(Read Comments |Comment on this)

Renyi Ma, "A Proof of the Hodge Conjecture" ( Прямая трансляция из <a href="http://lj.ross
19:05 18.08.2008
Renyi Ma, "A Proof of the Hodge Conjecture"
http://arxiv.org/abs/0808.1402
Renyi Ma, "A Proof of the Hodge Conjecture"

"In this paper, we give a proof of the
famous Hodge conjecture."

Рассуждение индуктивное и довольно бредовое,
например, в шаге 4 доказательства на стр. 5,
он пишет сначала, что класс A примитивен, а
затем представляет алгебраическим циклом класс
\Lambda A, который должен быть равен нулю в силу
примитивности, и из такого представления
выводит, что A тоже представим циклом.

Renyi Ma пишет много статей
по симплектической геометрии, слова вроде все
правильные, я собирался посмотреть, но так
и не собрался.

На все его труды (которых 12 штук) в архиве.орг
есть ровно одна ссылка, его же собственная.

Привет

Добавить комментарий на ljr_math@LJR

Все комментарии на на ljr_math@LJR

rss2lj

(Read Comments |Comment on this)

Замощение плоскости полимино
Может, кто знает.
Рассмотрим замощение плоскости одной фигуркой полимино (состоит из квадратиков, как в тетрисе). Любое такое замощение пока мне удавалось раскрасить тремя красками (фигурки, имеющие общий отрезок границы, должны быть раскрашены разными цветами). Простейший пример замощения, когда требуется три цвета - кирпичная кладка.

Вопрос: верно ли, что трех цветов достаточно для раскраски произвольного замощения одной фигуркой полимино? Что вообще известно на эту тему?

(Read Comments |Comment on this)

решенная задачка
Рассказал avva:

100 узников, по очереди каждый заходит в комнату с 100 шкатулками, в каждой из которых есть имя одного узника (имена не повторяются и все встречаются). Каждый узник открывает не больше 50 шкатулок. Если нашел свое имя - хорошо, нет - плохо. После этого все шкатулки закрываются и никакой информации оставшимся узникам передать нельзя (и содержимое шкатулок менять тоже нельзя, и нельзя их переставлять).
Если хотя бы один не нашел свое имя, убивают всех. Доказать, что они могут договориться так, чтобы было не меньше 30% вероятности успеха.

Мне известно о существовании примерно двух-трех людей, которые эту задачку решили сами. Вы можете заметно увеличить это число, если
а) решите ее; и
б) не будете рассказывать в комментах решения, если вы его знали раньше.
И в) если уж в комментах появится решение, то я об этом в явном виде напишу прямо здесь:

[Уже рассказано решение]

Диалог из комментариев:
- Позвольте на всякий случай уточняющий вопрос: узники, которые еще не входили в комнату со шкатулками, вообще не имеют никакой информации о том, что происходило в комнате до них? Или все же в условии есть какая-то недоговоренность, например, что узники видят, что происходит в комнате?
- Уточняю: не имеют вообще никакой. Они не видели, что там происходило, и не могут узнать, что там делали предыдущие и что они нашли.

(Read Comments |Comment on this)

Завораживающая картинка.


Взято у relf.

(Read Comments |Comment on this)

нерешенная задачка
Тут, с некоторым успехом, произошло обсуждение одной олимпиадной задачки.

Условие:
В каждой вершине графа стоит светофор, красный/зеленый. В каждую следующую секунду каждый светофор, если среди соседних с ним более половины не его цвета, меняет свой цвет (иначе остается тем же). Докажите, что через некоторое время картинка либо перестанет меняться, либо будет меняться с периодом 2 секунды.
Решение.

Но я не об этом. Оказалось, что там в окрестности есть еще два интересных вопроса.
1. Выбрать какое-то N и придумать бесконечную серию конечных графов, в каждом из которых вначале не более N красных вершин, а в конце все красные.
2. А теперь изменим правила. Вершина становится красной, если среди ее соседей доля красных не менее C,
где С > 1/2 (иначе становится зеленой). Можно ли придумать такую же серию, как и в задаче 1?

Задача 1 решена вот в этой статье, и там же сказано, что 2 ни для какого C не решена (разве что доказано, что для достаточно больших значений C это невозможно).
Статья очень приятная; рекомендую.

(Read Comments |Comment on this)

Знал да забыл...
Есть категория, есть морфизмы g: B->C, h:A->C; как называется такой f: A->B что h = g o f?

(Read Comments |Comment on this)

Geometry of minimal energy Yang-Mills connections ( Прямая трансляция из <a href="http://l
04:33 11.08.2008
Geometry of minimal energy Yang-Mills connections
Занятное
http://arxiv.org/abs/0808.0667
Geometry of minimal energy Yang-Mills connections
Mark A. Stern

Если на римановом n-многообразии задана (n-4)-форма
\rho, с ней можно связать инстантоны; это расслоения,
кривизна которых удовлетворяет *F = F \wedge \rho

Полезно рассматривать не любые формы, а калибрации,
то есть замкнутые k-формы, которые на каждом k-мерном
подпространстве ограничены формой риманова объема.
В этом случае инстантоны минимизируют квадрат модуля
кривизны.

Модельный случай - 4-мерное многообразие, где \rho
равно 1 или -1, в этом случае инстантоны - автодуальные
и антиавтодуальные расслоения.

Конечно, не всякое расслоение, минимизирующее
кривизну - инстантон.

Стерн доказывает, что расслоение, минимизирующее
квадрат модуля кривизны, является инстантоном, с точности
до подкрутки на линейное, в двух интересных случаях

1. Компактное однородное 4-многообразие
2. G_2-многообразие, с параллельной G_2-структурой.

G_2-многообразие есть 7-мерное многообразие,
наделенное невырожденной 3-формой \rho, стабилизатор
которой компактен; в этом случае, стабилизатор
является компактной G_2, и задает риманову метрику.
G_2-структура параллельна, если \rho параллельна
относительно связности Леви-Чивита. В этом случае,
\rho является калибрацией, и с ней можно связать
инстантоны. Стерн доказывает, что других минимизирующих
энергию расслоений не бывает.

Привет

Добавить комментарий на ljr_math@LJR

Все комментарии на на ljr_math@LJR

rss2lj

(Read Comments |Comment on this)

Школьное преподавание (гладкость)
Недавно я был в одной физико-математической школе, меня попросили помочь принимать у детей (восьмиклассников) небольшой зачёт. В частности, дети рисовали параболы, и некоторые рисовали их так, что в вершине парабола была негладкая. Мне сказали, что на это не стоит обращать внимания, так как «производными мы с ними ещё не занимались». Я считаю, тем не менее, что от восьмиклассников уже следует требовать, чтобы парабола, которую они рисуют, была гладкой; уж по крайней мере гладкость в вершине не должна «резко отличаться» от гладкости в остальных точках. Хотелось бы узнать мнение общественности по этому поводу. Спасибо.

(Read Comments |Comment on this)