| 3:08p |
густопсовый выхолощеный бурбакизм
кажется, я обречён всегда возвращаться к теории Галуа и обнаруживать,
что я в ней ничего не понимаю.
вот если определять группу Галуа (расширения полей) по-гротендичьи, то
мы смотрим на Y \times_X Y как на схему над Y (X,Y - спектры наших
полей, морфизм из Y в X), и обнаруживаем, что это G-торсор для
конечной группы G, причём тривиальный. то есть я всегда думал про G
как про абстрактную группу, но ведь можно думать, что это самая что ни
на есть групповая схема над Y. но тут какая-то интуитивная нестыковка
получается: по идее группа Галуа должна быть групповой схемой над X! а
откуда взять эту X-структуру канонически? непонятно.
то есть X-структура по идее необходима, чтобы определить абсолютную
группу Галуа: если все группы Галуа конечных расширений есть групповые
схемы над X, то мы берём обратный предел, получаем про-групповую схему
над X (а если X-структуры нет, ничего не поделаешь). тут кстати,
возникает следующий вопрос: над какой минимальной схемой определена
эта про-группа? потому что например в случае Spec R, абсолютная группа
Галуа совсем маленькая и ясно, что (как-то неканонически) у неё есть
структура Z-групповой схемы. почему так? непонятно.
всё это выглядит как какой-то густопсовый выхолощеный бурбакизм, и
помноженный на бессонницу дико портит настроение. |