Galois characterisation of elementary classes of fields Интересуюсь последнее время деятельностью Кёнигсмана, и просматриваю его
статью »
Schlanke koerper (slim fields)«. Такое ощущение, что Пуаза
незримо пристуствовал в комнате, покуда авторы сочиняли этот научный труд,
честное слово. В статье вводится терминология "размер поля", который
может быть XS, S, M или L (числовые поля --- L). Ирония понятна, есть
же "large fields". Там ещё много игры слов (Koerper=и "поле", и "тело"
по-немецки).
"Some of the non-mathematical content of the terminology has been lost
in translation from the German."
А ещё Кёнигсман (следуя Попу) получил такой весьма поразительный
результат. Пусть F/K расширение полей, конечно порождённых над Q_p,
такие, что морфизм ограничения абсолютных групп Галуа G_F \to G_K есть
изоморфизм. Тогда K --- элементарная подструктура (в теор-модельном
смысле, в языке колец) F. Это следует из характеризации теорий конечно
порождённых расширений Q_p Кёнигсманом (если абсолютные группы Галуа
изоморфны, то элементарно эквивалентны) плюс model completeness этих
теорий, которая была известна давно. [upd.: а для real closed fields и то,
и другое вообще известно с середины прошлого века, это
теорема Артина-Шрайераплюс элиминация кванторов Тарского)].
Из этого, например, с пол-пинка выводится, что если у проекции G_F \to
G_K, где F --- поле рац, функций многообразия X над K и K как выше,
есть сечение, то у многообразия X есть K-точка. Это ослабленная версия
birational section conjecture (полная это когда есть однозначное соответствие
между сечениями проекции и K-точками X). Что занятно, обычная (не-birational)
section conjecture, то есть когда вместо групп Галуа этальные \pi_1, для R неверна
(Сулливан показал, что сечения тогда соответствуют компонентам связности
X(R)).
В случае кривых рода 2 и больше нехитрым аргументом из этого
выводится (birational) section conjecture (!), про это написано в соответствующей
статье (Lemma 1.7). Офигеть вообще.