| 8:47a |
реконструкция поля I
делал доклад и разбирался, запишу по свежим следам.
Конечная цель доказать такую теорему Зильбера: пусть абелева группа G
действует на абелеву группу A так, что каждая G-инвариантная подгруппа
конечна. Тогда существует определимое поле K, структура K-векторного
пространства на A, и вложение G в мультипликативную группу K, такое,
что её действие на A совпадает с действием K^\times.
Для этого нам понадобится ряд технических результатов, кульминацией
которого является теорема об indecomposables.
Подмножество X группы G называется неразложимым (indecomposable), если
для любой подгруппы H, X содержится либо в бесконечном количестве
H-косетов, либо в одном. Это понятие важно вот почему: содержащее 0 и
не неразложимое подмножество может генерировать неопределимые
группы. Например, рассмотрим аддитивную группу и множество {0,1},
порождающую Z.
Теорема (Зильбер). Пусть {X_i}, i \in I --- множество неразложимых
подмножеств группы G, причём каждое X_i содержит 0. Тогда порождённая
{X_i} группа порождена конечным их поличеством, связна, определима и
<X_i_1, ..., X_i_k> = X_i_1 ... X_i_k X_i_1, ..., X_i_k ("любой
элемент получается в два шага").
Доказательство этой теоремы в свою очередь опирается на понятие
почти стабилизатора.
Пусть G дествует на определимое множество Y, и X определимое
подмножество Y. Рассмотрим подгруппу группы G, которая "почти не
сдвигает" X, то есть такие g \in G, что размерность симметрической
разности gX и X строго меньше размерности X. Это действительно
подгруппа, причём определимая, что следует из определимости
размерности. Будем называть эту группу почти стабилизатором X.
Лемма 1: рассмотрим действие группы G на себе (левыми)
сдвигами. Размерность почти стабилизатора X не превосходит
размерности X.
Обозначим почти стабилизатор H. Докажем, что множество X содержит
множество которое почти совпадает с косетом H. Предположим, что не
содержит, тогда все косеты H пересекаются с X по множеству размерности
< dim H. Пересечение почти стабилизаторов всех X \cap aH должно быть
собственной подгруппой H по предположению, значит любой элемент h вне
этого пересечения обладает свойством dim hX \Delta X = dim X, что
противоречит определению H.
Лемма 2: если два подмножества X,Y группы G имеют дополнения меньшей
размерности, то XY=G.
Рассмотрим дополнение X, назовём его A, и рассмотрим почти
стабилизатор A. Так как размерность dim A < dim G, то найдётся элемент
y \in Y, не входящий в H, а значит dim yA \cap A < dim A. Применяя это
рассуждение индуктивно к A \cap yA, получим что A покрывается конечным
количеством сдвигов y_i A. Следовательно, G - XY пусто.
Доказательство теоремы про indecomposables:
Из-за конечности ранга найдётся конечное подмножество индексов такое,
что для Y=<X_i_1, ..., X_i_k>, dim Y = dim X_j Y для любого
j. Рассмотрим почти стабилизатор H какого-нибудь неприводимого
подмножества Y. Если H разбивает X_i на бесконечное количество
пересечений с H-косетами a_j H, то X_i Y содержит множество, которое
почти равно объединению непересекающихся a_j Y, то есть размерность
больше размерности Y, противоречие. Значит X_i разбивается косетами H
на конечное число кусков, а так как X_i indecomposable и содержит
единицу, то X_i содержится в H.
Как следствие, Y тоже содержится в H, а поскольку какое-то его
неприводимое подмножество почти фиксируется H, то Y фиксируется H
почти совпадает H. По Лемме 2, H=YY.
[окончание запощу видимо по возвращении из Ярославля] |