| 12:51a |
телега про "неабелеву теорию ходжа"
почти стыдно эту ерунду записывать, но ведь забуду же.
В общем подоплёка такая: посмотрим пристально на группу H^1(X, \C).
Это на самом деле касательное пространство к character variety,
которое классифицирует представления \pi_1(X) в \C^\times. Почему:
H^1(X,\C^\times) по Гуревичу и формуле универсальных коэффициентов то
же самое, что и Hom(\pi(X), \C^\times) (зацените, как перекликается с
теорией Куммера, кстати). Касательное пространство это вестимо
гомоморфизмы в алгебу Ли \C^\times. Само character variety можно
воспринимать как пространство модулей локальных систем со слоем \C.
Что говорит теория Ходжа? Говорит, что H^1(X,\C) разваливается в
прямую сумму H^0(X, \Omega^1) и H^1(X, O_X). Первая штука изоморфна
касательному пространству к якобиану (который
H^0(X,\Omega^1)^*/H_1(X,Z)), то есть описывает деформации
линейных расслоений, вторая --- Higgs field. То есть теория Ходжа
говорит нам, что пространство модулей плоских линейных расслоений и
"расслоений Хиггса" локально устроены одинаково. Расслоения Хиггса это
пары (E, \phi), где \phi элемент H^0(X, End(E) \otimes \Omega^1),
удовлетворяющий \phi \wedge \phi = 0 (то есть для линейный расслоений
просто 1-форма).
"Неабелева теория Ходжа" это когда рассматривают расслоения ранга >1,
вроде как структурная группа неабелева, там тоже пространства модулей
векторных расслоений с плоской связностью и расслоений Хиггса
локально устроены одинаководаже и глобально устроены одинково.
И называется это Kobayashi-Hitchin correspondence, а "неабалева теория Ходжа"
это маркетинговый термин, похоже. Кажется есть варианты утверждения
и для любых редуктивных групп, а не только для GL_n/SL_n. |