3:18p |
трихотомия х.-з. вот все считают, что трихотомия зильбера для геометрий зарисского такой крутой результат, сложный, достижение. в действительности, мало кто понимает, что требование элиминации кванторов в аксиоматике _очень_ сильное, оно де факто ограничивает применимость результата случаями, где поле и так присутствует в структуре в каком-то виде (как в strongly minimal множествах в DCF). то есть нужно мало того, что ввести топологию на декартовых степенях универсума, надо ещё доказать, что любое определимое множество --- конструктивно в этой топологии. практически любая структура какого-то условно геометрического происхождения, про которую только и известно, что она не локально модулярная, не вписывается в этот подход, по крайней мере, никто не знает как.
в конце 80-х–начале 90-х было несколько попыток рассматривать разные редукции поля и доказывать для них трихотомию (если быть точным, только последний, не локально модулярный случай). редукции в основном были игрушечные, то есть что-то типа поле, сложение и ещё что-то, не определимое только с помощью сложения, что гарантирует немодулярность (что-то нелинейное). так вот даже когда есть сложение доказать элиминацию кванторов непосредственно никто, кажется, и не пытался, она получается только пост-фактум, когда выясняется, что структура поля восстанавливается. если нет сложения, то вообще ничего неизвестно (по модулю диссертации Рабинович, которой с таким же успехом могло бы и не быть, так как никто не может её понять).
так что на самом деле трихотомия хрущовского-зильбера по состоянию дел на текущий момент скорее такой успокоительный результат, основания. "всё так и должно быть". |