maria_v

Замечания к вводной лекции -- 2

Замечание второе -- о простых числах.

Простое число -- это целое число, которое делится
только на себя и на 1, с точностью до знака.
Если ограничиться только натуральными (целыми
положительными) числами, то простое число делится
только на себя и на 1. Как уже говорилось,
Пифагор не любил таких чисел. Евклид относился
к ним либеральнее. В его книге есть доказательство,
что простых чисел в натуральном ряду бесконечно
много.

Сформулируем сначала Основную теорему арифметики:
любое натуральное число, кроме 0 (напоминание: некоторые
начинают отсчет натуральных чисел с 0, а другие -- с 1),
единственным образом разлагается на простые множители.

То есть, если натуральное число n = p₁p₂... p_k
можно представить также в виде n = q₁q₂... q_l,
то k=l, а q₁, q₂..., q_k
суть не что иное, как перестановка из чисел
p₁, p₂, ..., p_k.

Здесь мы наметим примерный ход доказательства.

З2.1 Пусть натуральные числа a и b взаимно просты
(это означает, что у них нет общих делителей, кроме 1).
Пусть, кроме того, произведение ab делится на p,
где p -- простое число. Доказать, что в этом случае
a делится на p или b делится на p.

(Указание: если a не делится на p, то его можно
представить в виде a = pk + r, где r < p, r, k --
натуральные. Если b не делится на p, то и b
можно представить в аналогичном виде: b = pl + s,
s < p, l, s -- натуральные.)

После того, как это утверждение доказано,
нужно взять произвольное n и рассмотреть два его
разложения на простые множители:

n = p₁p₂... p_k = q₁q₂... q_l

Пусть сначала n таково, что все эти сомножители
различны. Возьмем, например, q₁ и рассмотрим
произведение двух чисел p₁(p₂... p_k).
По доказанному, одно из этих двух чисел делится на q₁.
Если p₁ делится на q₁, то
p₁ = q₁, потому что p₁,
как простое, делится только на себя и на 1.
Если же p₁ не делится на q₁,
то (p₂... p_k) делится на q₁.
После этого можно повторить процесс, отщепив от
произведения уже p₂. В какой-то момент
нам придется либо прийти к противоречию, либо
обнаружить p_i, совпадающее с q₁.
После этого в двух разложениях числа n можно сократить
на общий множитель справа и слева и продолжать
процедуру.

Еще короче было бы договориться сразу сократить
на все общие сомножители, а потом рассуждать от
противного.

З2.2 Предположить, что в равенстве
p₁p₂... p_k = q₁q₂... q_l
все сомножители -- строго различные простые натуральные
числа, и на все общие сомножители мы уже сократили,
и прийти к противоречию.

То, что в разложении натурального числа n одно и
то же число может встречаться несколько раз,
например, 24 = 2x2x2x3 = 2³x3,
несколько загромождает рассуждения в общем
случае, но в принципе они те же. Нужно только
уточнить, что

З2.3 Если p^k делится на q,
p и q просты, то p = q.

Как уже упоминалось, единственность разложения
на простые множители -- довольно нетривиальное свойство
кольца целых чисел (надо оговорить, конечно, что
-6 = (-2)x3 = 2x(-3), то есть, в случае целых чисел
единственность имеет место лишь с точностью до знака).
В свое время будет приведен пример очень похожей
конструкции, в которой, однако, единственность
разложения на простые множители не будет иметь
места.

Следуя рекомендации пользователя phantom,
приведем здесь евклидово доказательство бесконечности
ряда простых чисел.

Предположим, что количество простых чисел конечно
и равно N. Выпишем их все в порядке возрастания:
p₁, p₂, ..., p_N.

Рассмотрим число M = p₁p₂ ... p_N + 1.
Оно раскладывается (да еще и единственным образом)
на простые множители.

Заметим, что среди простых делителей числа M
не может быть ни одного числа из нашего списка.

З2. 4 Почему M = p₁p₂ ... p_N + 1
не делится ни на одно из чисел p₁, p₂, ..., p_N?

После того, как ответ на вопрос 32.4 найден,
мы приходим к выводу о существовании еще по крайней
мере одного простого числа, большего p_N.
Итак, мы предположили, что простых чисел всего
N -- конечное число, и пришли к противоречию.

Наконец, в порядке практикума по Алгоритму Евклида
(см. вводную лекцию),

З2.5 Один фальшивомонетчик задолжал другому 13
фальшивых рублей. Как им рассчитаться, если у них
на руках есть только купюры в 26 и в 37 рублей?
(Ответ должен иметь вид: должник отдает заимодавцу
столько-то (число) таких-то купюр, получает сдачу
столько-то (число) таких-то купюр.)

Comments

Замечания к вводной лекции -- 1

Замечание первое -- о комбинаторике.

Лингвисты говорят, что слово "вероятность" в разных
языках исходно имело не тот смысл, в котором оно
употребляется в математике. Вероятность в языке
связана со степенью человеческого доверия, то есть,
ближе к "правдоподобности". Допустим, некто имеет
полную информацию о том или ином объекте или событии;
он может соврать, говоря о нем, или скрыть часть
информации. А слушатель судит о том, насколько
вероятен его рассказ -- иногда по признакам, мало
относящимся к событию или даже к рассказу.

Если же некто бросает кости -- он не знает заранее,
что получится, и рассказать ему об этом некому.
Из хорошо перетасованной колоды карт, если она
не крапленая, вероятность вытащить пиковую даму,
по-видимому, равна 1/52. А вероятность вытащить
сперва пиковую, а потом бубновую?

З1.1 Какова вероятность вытащить сначала пиковую,
а потом сразу бубновую даму из хорошо перетасованной
колоды карт?

31.2 Изменим задачу. Пусть некто хорошо перетасовал
колоду, вынул из нее пиковую даму, внимательно
ее рассмотрел, вернул в колоду, потянул карту
и вытащил бубнобую даму. Какова вероятность этого
гипотетического события -- всего в целом?

Возьмем теперь две шестигранные кости, на гранях
которых написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пусть
некто бросает две кости. Интуитивно ясно, что
вероятность выбросить две шестерки, получив
в сумме 12 очков, меньше, чем вероятность выбросить,
к примеру, 7 очков. На каждой кости все исходы
(1, 2, 3, 4, 5, 6) равновероятны, но 12 будет
только если выпало 6 и 6, а сумму 7 можно получить
разными способами: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1,
то есть, вероятность выпадения суммы 7, по-видимому,
в 6 раз больше, чем вероятность выпадения суммы 12.

Чтобы определить вероятность выпадения той или иной
суммы, нужно сперва описать пространство всех
возможных (если нам повезет, равновероятных)
исходов. А потом сосчитать, сколько из них
предоставляют данную сумму. Разделить число
нужных нам исходов на число всех возможных
исходов -- вот и будет искомая вероятность.
Конечно, если исходы, составляющие пространство,
сами равновероятны.

З1.3 Для двух шестигранных костей (пространство
исходов -- множество упорядоченных пар (m,n),
где числа m и n целые и меняются от 1 до 6)
определить:
(а) сколько всего равновероятных исходов;
(б) какова вероятность набрать сумму 4;
(в) какова вероятность набрать сумму 9.

Давайте временно отложим теорию азартных игр
и будем раскладывать шары по ячейкам. С этого
физики часто начинают разговор о статистике.

Пусть имеется n пронумерованных ячеек и шары,
тоже пронумерованные.

Сколькими способами можно разместить какой-нибудь
один выбранный нами шар по n ячейкам? Ясно, что
таких способов всего n.

А два шара -- например, шары 1 и 2? Первый шар
можно положить в любую из n ячеек. Для второго
остается n-1 незанятых мест. На каждое из n
возможных размещений первого шара приходится
n-1 способов разместить второй. n раз по n-1
дает всего n(n-1) способов разместить два
пронумерованных шара по n ячейкам.

З1.4 Сколько существует способов разместить
m пронумерованных шаров по n ячейкам, m <= n?

А что будет, если стереть с шаров номера?

З1.5 Сколькими способами можно разместить
m одинаковых шаров по n ячейкам?

В задаче З1.5 мы как бы просто помечаем ячейки:
выбрали мы ее под шар или нет. То есть, это
способ пометить m ячеек из n возможных -- иными
словами, мы считали число m-элементных подмножеств
n-элементного множества.

А вот вопрос, важный в теории кодирования:

З1.6 Над казино горят пять лампочек: 1,2,3,4,5.
Штирлиц договорился с сообщником передавать ему
сигналы, стреляя в лампочки из рогатки. Если все
горят -- один сигнал, если первая не горит, а
остальные горят -- другой,..., если горят только
3 и 5 -- еще какой-то сигнал, и так далее.
Может и все разбить. Сколько всего сигналов
может передать Штирлиц?

Еще важнее этот вопрос в теории множеств, а также
для наших целей, в разговоре о числах.

Comments

натуральные и целые числа

Что такое число?

Пифагор жил две с половиной тысячи лет назад и думал,
что число -- это бог. Числа имеют сакральный смысл
во всех известных религиях: никого не удивляет, что
четные числа, по Пифагору, женские, а нечетные --
мужские (у креационистов обычно "2" -- женское число
и число Дьявола сразу). Пифагор, однако, полагал, что
все вещи суть числа, и поэтому знал о них еще больше.
Правда, о самом Пифагоре и пифагорейцах мало что
известно с достоверностью.

Говорят, что число 9 у пифагорейцев было символом
постоянства, потому что сумма цифр числа, кратного
9, тоже делится на 9. (Вот число 81 делится на 9,
и сумма его цифр 8+1 = 9 тоже делится на 9.)

Упражнение 1 Доказать, что число делится на
9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится
на 9. (То же верно и для числа 3.)

Говорят также, что число 8 в пифагорейском сообществе
считалось числом смерти, потому что кратные восьми
имеют уменьшающуюся сумму цифр. В ряду
8, 16, 24, 32, 40 суммы цифр равны, соответственно,
8, 7, 6, 5, 4 -- а дальше они опять увеличиваются.
Однако, давайте обозначим сумму цифр числа x через
S(x), и применим эту операцию к числам 48, 56, 64 дважды.
Получим S(48) = 12, но S(S(48)) = S(12) = 3,
S(S(56)) = S(11) = 2, S(S(64)) = S(10) = 1, так что
теперь ряд продолжился почти до самого торжества
смерти, и скрытое стремление к ней в числах, кратных 8,
проступило наружу.

Упражнение 2 Постараться понять, почему
с числом 8 так получилось.

На самом деле, указанные свойства чисел 8 и 9 имеют
смысл лишь в десятеричной системе исчисления.

До сих пор речь шла только о натуральных числах:
1, 2, 3, 4, 5, ... Множество натуральных чисел
можно задать аксиоматически. Соответствующий
набор аксиом называется --- аксиомы Пеано. В них
постулируется, что 1 --- натуральное число; что
если a --- натуральное число, то a + 1 -- тоже
натуральное число; что если a и b --- натуральные
числа, и a не равно b, то a + 1 не равно b + 1;
что у числа "1" нет "предыдущего" (такого натурального
c, что c + 1 = 1) --- иногда, правда, отсчет
натуральных чисел начинают с 0, и тогда у "1"
есть предыдущее число "0", а у "0" предыдущего
нет. Еще аксиомы Пеано постулируют принцип
математической индукции: если натуральное
число 1 обладает некоторым свойством, и для любого
натурального числа a, обладающего этим свойством,
верно, что следующее за ним число a + 1 тоже
им обладает, тогда все натуральные числа обладают
этим же свойством.

Пронаблюдаем принцип математической индукции в
действии. Докажем, например, следующее утверждение
про зрителей в кинотеатре. Пусть в кинотеатре
имеется n пронумерованных кресел, и для просмотра
фильма в зал приведено n зрителей. Сколькими способами
можно рассадить их по местам? Утверждается, что это
число равно n! = 1 x 2 x 3 x...x n. (Обозначение n!
читается "n факториал". По определению полагают
0! = 1 -- это может выглядеть странно, но это удобно.)

Доказательство по индукции

1) Если n = 1, то речь идет об одном зрителе
в одноместном зале. Он может занять это место
ровно 1! = 1 способом, так что для n = 1
утверждение верно.

2) Пусть для n = k предположение индукции справедливо,
то есть, в k-местном зале k зрителей можно разместить
k! различными способами. Посмотрим, что это влечет
за собой для n = (k+1) зрителя в (k+1)-местном зале.
Принесем в k-местный зал еще одно кресло и приведем
еще одного зрителя. Любого из (k+1) имеющихся теперь
зрителей можно посадить в новое кресло. После того,
как это сделано, оставшихся k зрителей, согласно
предположению индукции, можно рассадить по старым
k креслам k! различными способами. Значит, на каждое
из (k+1) возможных вариантов для нового кресла
приходится k! способов заполнения остальных кресел,
причем, все эти варианты различны. Итак, способов
заполнить весь зал получается (k+1) x k! = (k+1)!

Итак, согласно последней аксиоме Пеано, это означает,
что исходное утверждение о количестве способов рассадить
n зрителей по n местам верно для любого натурального
n; это количество равно n!

В советское время принцип математической индукции
обычно формулировали так: если первая в очереди ---
женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то
все в очереди --- женщины.

Упражнение 3 Доказать методом мат. индукции,
что для любого натурального n выполняется равенство
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.

Определение Арифметической прогрессией
называется такая последовательность чисел
a₁, a₂, a₃, ...,
a_n, ..., что для любого натурального n
справедливо соотношение a_n+1 = a_n + d,
где d --- некоторое число, называемое разностью
арифметической прогрессии.

Упражнение 3а Получить формулу суммы
первых n членов арифметической прогрессии

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n
(через a₁ и d) и доказать ее.

Упражнение 4 Докажите методом математической
индукции, что для любого натурального n

1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ - 1

Определение Последовательность чисел a₁,
a₂, a₃, ..., a_n, ...,
называется геометрической прогрессией, если для
любого натурального n верно a_n+1 =
a_n x q, где q --- некоторое заданное число,
называемое знаменателем геометрической прогрессии.

Упражнение 4а Получите формулу для суммы первых
n членов геометрической прогрессии (через a₁
и q) и докажите ее.

Упражнение 5 Пусть имеется n пронумерованных карточек
с портретами красавиц, строго различных. Красавицы лежат
в ящике. Некто не глядя достает из ящика m < n красавиц
и поочередно выкладывает на стол. Сколько вариантов
различных наборов по m красавиц возможны в этом случае?
Наборы считаются различными, если:

(а) порядок важен: наборы 123 и 213 считаются различными
(вопрос о числе упорядоченных наборов
A_n^m);

(b) порядок неважен: наборы 123 и 213 считаются
одинаковыми (вопрос о числе подмножеств длины m у
множества из n элементов C_n^m).

Упражнение 6 Пусть C_n^m ---
число m-элементных подмножеств n-элементного множества
из упражнения 5б. Доказать, что
(a + b)ⁿ = aⁿ + C_n¹a^n-1b + ... + C_n^ma^n-mb^m + ... + bⁿ
(бином Ньютона)

Упражнение 7 По определению C_n⁰ = 1
(в теории множеств есть пустое множество, которое считается
подмножеством любого множества, так что число 0-элементных
подмножеств n-элементного множества равно 1).
Доказать, что

C_n⁰ + C_n¹ + ... + C_n^m + ... +
+ C_n^n-1 + C_nⁿ = 2ⁿ

Натуральные числа вместе с операциями над ними можно
целиком задать аксиоматически, а потом из свойств
операций умножения и сложения выводить, например,
возможность сократить на число --- т. е. строго
доказывать, что если a + b = c + b, то a = c,
но мы этого делать не будем. Это, кстати, действительно
трудно: труднее всего доказывать очевидное.
Вместо этого, помимо множества натуральных чисел
N, рассмотрим множество целых чисел Z
(добавим к 1, 2, ... еще 0 и отрицательные числа).
Греки ни нуля, ни отрицательных чисел не знали,
что породило огромный раздел в средневековой
схоластике: все доказательства бытия Божьего,
опирающиеся на самоочевидность "первопричины",
или "перводвигателя", подразумевали, что числовой
ряд, у которого нет начального элемента, помыслить
невозможно.

А мы его сейчас помыслим. Это ряд
... -2, -1, 0, 1, 2, ...
В терминах операций сложения и умножения, обладающих,
как известно, свойствами

ассоциативности:
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)

дистрибутивности:
(a + b)c = ac + bc

а также коммутативности:
a + b = b + a
ab = ba,

мы помыслили о разрешимости такого вот уравнения:

x + a = b.

Что касается множества натуральных чисел N,
в нем это уравнение разрешимо не всегда. Например,
уравнение
x + 3 = 1
не имеет решения в натуральных числах. А вот для целых
чисел оно всегда разрешимо:
если x + a = b, причем a, b --- целые, то x = b - a ---
вполне определенное целое число.

Число 0 есть решение уравнения a + x = a (или x + a = a,
что то же в силу коммутативности сложения).

В терминах операции сложения, число (-a) является
обратным к числу a:

a + (-a) = 0,

а операция вычитания обратна к операции сложения.

Сделаем небольшое отступление о бесконечности.

Задача. Имеется гостиница с бесконечным
числом номеров: 1, 2, ...
Все номера в ней заняты. К метрдотелю является
посетитель и просит поселить его в гостиницу.
Как быть? Ведь все номера заняты. В гостинице
с конечным числом номеров, пусть даже очень
большим, посетителю пришлось бы отказать.
Иное дело бесконечноместная гостиница.
Решение: метрдотель попросит гостя из
первого номера переселиться во второй, из
второго в третий, из номера k --- в номер k+1
и так далее. Таким образом ни один постоялец
не останется без места, а первый номер освободится.

Упражнение 8 Пусть имеются две гостиницы
A и B, в каждой бесконечное число номеров. Гостиница
B сгорела, но ее постояльцы, к счастью, не пострадали.
Теперь их нужно разместить в гостинице A так, чтобы
не пришлось никого выселять из нее. Как это сделать?
(Все номера в гостинице A заняты; так же обстояли
дела и в гостинице B до пожара.)

После выполнения этого упражнения станет ясно,
что во множестве целых чисел Z и во множестве
натуральных чисел N, по сути, одинаковое
число элементов. Не потому, что бесконечное, а
потому, что между тем и другим существует
взаимно-однозначное соответствие.

Поговорим теперь об операции умножения. Обратной
к ней была бы операция деления. Чтобы разрешить
уравнение ax = b (в случае ненулевого a), целых
чисел уже не хватит: нам придется вводить
рациональные. Но перед тем попробуем рассмотреть
операцию деления на множестве целых чисел.

Делителем целого числа n называется такое число
k, что уравнение n = kx имеет решение в целых
числах. Разумеется, n всегда делится на 1, на
(-1), на n и на (-n); обычно говорят, что
n и (-n) --- это несобственные делители
числа n. Но бывают и другие случаи, например,
все четные числа делятся на 2.

Ненависть к числу 13, по-видимому, происходит
от Пифагора: это число не имеет несобственных
делителей, кроме 1 и (-1) (простое), да еще
окружено такими хорошими числами, как 12 и 14
(и не стыдится). Число 13, как и 17, у
пифагорейцев считалось очень плохим. Из-за
любви к составным числам пифагорейцы не
страдали обычной для греков мизогинией,
зато оказались сторонниками копирайта (это
проявилось в истории иррациональных чисел, до
которых мы еще не дошли).

Итак, целые числа бывают простые и составные;
простые делятся только на себя и на 1 (с точностью
до знака), а составные имеют делители помимо этого.
Простые числа, кроме 2, все нечетны. Считается,
что "0" делится на любое целое число, кроме "0".
(А число "1" --- наоборот, ни на что, кроме себя,
не делится, поэтому оно ни простое, ни составное.)

Разделить целое m на целое n с остатком значит
найти такое целое k, что m = nk + r, где r < |n|,
r неотрицательно.

Говорят, что целое число d есть общий делитель целых
чисел m и n, если m делится на d и n тоже делится на d.
Наибольший из общих делителей m и n обозначается
НОД(m,n).

Упражнение 9 Доказать, что если d --- общий
делитель чисел m и n, то НОД(m,n) делится на d.

Общим кратным целых чисел m и n называется целое
число k такое, что k делится на m и k делится на n.
Наименьшее положительное (то есть, большее нуля)
общее кратное чисел m, n обозначается НОК(m,n).

Упражнение 10 Доказать, что если k --- общее
кратное чисел m, n, то k делится на НОК(m,n).

Последнее, о чем мы поговорим в этот раз --- так
называемый Алгоритм Евклида.

Пусть m, n --- неотрицательные целые числа, m > n.
Рассмотрим переход от пары чисел (m, n) к паре
чисел (n, r), где r есть остаток от деления m на n.
По определению r < n.

Упражнение 11 Доказать, что если m делится на d
и n делится на d, то r также делится на d.

Алгоритм Евклида заключается в применении операции
(m, n) --> (n, r) --> (r, r_1) --> ...
(r_1 есть снова остаток при делении n на r) до тех
пор, пока на некотором шаге не приходят к паре (d,0),
где слева стоит d > 0, а справа 0, как видно из записи.

Упражнение 12 Доказать, что Алгоритм Евклида
завершится (именно парой вида (d,0)) для любых целых
неотрицательных m, n.

Упражнение 13 Доказать, что d из последней
пары (результат применения Алгоритма Евклида) есть
НОД(m, n).

Из уважения к Пифагору,

Упражнение 14 Рассмотрим уравнение
mx + ny = 1, где m, n --- заданные целые числа,
а x, y --- неизвестные, но тоже целые. Доказать,
что это уравнение имеет решения в целых числах
тогда и только тогда, когда НОД(m,n) = 1.
(В этом случае говорят, что m и n взаимно просты.)

Comments