Maxim Mornev's Journal
 
[Most Recent Entries] [Calendar View] [Friends]

Below are the 20 most recent journal entries recorded in Maxim Mornev's LiveJournal:

    [ << Previous 20 ]
    Monday, February 8th, 2016
    4:27 pm
    Дикий модуль

    А вот вопросы по математике, несколько размытые, но все же.

    У меня есть коммутативное нетерово кольцо R со связным спектром, над ним модуль M. Известно следующее:

    (i) У Spec R существует конечная стратификация локально замкнутыми подсхемами, такая, что ограничение M на каждую страту локально свободное конечного ранга.

    (ii) При переходе на более глубокую страту ранг M падает.

    Условие (ii) влечет, что M не конечно порожден как R-модуль если стратификация нетривиальна1, и она таки бывает нетривиальной. Инстинкт говорит мне, что M всегда «конечно порожден в высшем смысле», просто он склеен из локально свободных кусков некоторым диким способом.

    Теперь вопросы. Встречаются ли такие модули в какой-нибудь науке? Можно ли придать смысл утверждению «M склеен из локально свободных кусков нестандартным способом», и описать этот способ?

    (Для простоты можно считать, что R это координатное кольцо гладкой аффинной кривой над полем.)


    1 Действительно, из (ii) следует, что функция, которая посылает точку 𝖕 ∊ Spec R в ранг M на k(𝖕) полунепрерывна снизу. Если M конечно порожден, то эта функция еще и полунепрерывна сверху, и значит постоянна, так что у нас была всего одна страта.

    [LJ]
    Friday, January 29th, 2016
    3:47 pm
    Хохшильд и штуки

    Обнаружил когомологии Хохшильда в науке про модули Дринфельда, и с успехом применил.

    (Все тензорные произведения без нижнего индекса будут над Fq).

    Зафиксируем Fq-алгебры R (база), и A (коэффициенты).

    Определение. A-модуль Дринфельда над R это R-группсхема E, снабженная действием A эндоморфизмами, и Зарисски-локально изоморфная Ga.

    В науке про модули Дринфельда рассматривают кольца коэффициентов следующего вида. Пусть C гладкая проективная геометрически связная кривая над Fq. Зафиксируем замкнутую точку ∞ ∊ C, и определим A = 𝓞C(C \ {∞}), ω = Ω
    1
    A/Fq
    .

    Пусть нам дан модуль Дринфельда E. Его «мотив» M(E) это модуль гомоморфизмов R-группсхем Hom(E, Ga). На M(E) есть структура A ⊗ End Ga-модуля: A действует через E, End Ga через Ga. Чтобы M(E) был хорошим (проективным конечного типа над AR) полезно предположить, что E имеет всюду постоянный ранг, что мы и сделаем. Я не буду вдаваться в детали, но по смыслу это что-то вроде гладкости для многообразий. В частности, гладких много.

    В науке про штуки важно уметь вычислить вот такую вещь:

    RHomA⊗EndGa(M(E), ωGa(R)).

    Здесь ωGa(R) это A ⊗ End Ga-модуль, на котором A действует через ω, а End Ga через Ga(R). Модуль ωGa(R) играет роль единичного объекта, а на весь RHom можно смотреть как на «мотивные гомологии M(E)».

    Хохшильд появляется в этой истории так:

    Лемма. RHomA⊗EndGa(M(E), ωGa(R)) = RHomAA(A, ωE(R)).

    В правой части A это диагональный AA-модуль. На ωE(R) левый сомножитель AA действует через ω, а правый через E(R) с его естественной структурой A-модуля.

    Доказательство леммы несложное. Возьмем бар-резольвенту M(E) как A-модуля, и бар-резольвенту диагонального модуля. Затем воспользуемся тем фактом, что M(E) = End GaR Hom0(E, Ga), где Hom0 обозначает группу R-линейных гомоморфизмов. Применим Hom'ы к резольвентам, погоняем модули внутри Hom'ов слева на право, и наступит катарсис. ∎

    Теорема. RHomA⊗EndGa(M(E), ωGa(R)) = E(R)[−1].

    Доказательство. Рассмотрим точную последовательность

    0 → ωE(R) → F E(R) → F E(R)/ωE(R) → 0.

    Здесь обозначает пополненное тензорное произведение (топология на R дискретная). Левая стрелка индуцирована вложением ωωA FF. Модуль справа изоморфен HomFq(A, E(R)), на котором левый сомножитель AA действует через A, а правый через E(R). Его нулевые когомологии Хохшильда это HomA(A, E(R)) = E(R).

    Применим к этой точной последовательности RHomAA(A, −). На среднем модуле получится ацикличный комплекс потому что AAA (F A) = 0. Возьмем длинную точную последовательность когомологий et voilà.

    (Доп: еще нужно воспользоваться тем фактом, что M(E) проективный как AR-модуль, и значит у него как у A ⊗ End Ga-модуля есть каноническая проективная резольвента длины 2.)∎

    (Это я так готовлюсь к встрече с Ленни).

    [LJ]
    Tuesday, November 10th, 2015
    11:48 pm
    Эпическое

    Баргав Бхатт рассказал сегодня на воркшопе:

    Предложение. (Бхатт) Пусть A — конечно порожденная Fp-алгебра. Тогда глобальная размерность Aperf конечна.

    Классик науки, что тут уточнять.

    Из этого предложения можно вывести теорему Кунца (Kunz) про то, что локальное нетерово кольцо над Fp регулярно тогда и только тогда, когда фробениус-пуллбэк точный. Это круто: оригинальное доказательство Кунца опиралось на обскурную, неконцептуальную технику.

    [LJ]
    Monday, August 3rd, 2015
    7:17 pm
    Hail Satan

    Лоренцо Рамеро, of Gabber–Ramero fame, оказывается, пишет учебник по коммутативной алгебре. Вот такой:  )
    Слава Сатане! Я в текст заглянул лишь мельком, но книга с такой обложкой просто обязана быть хорошей.

    [LJ]
    Friday, June 12th, 2015
    12:02 am
    Об остатках

    Случайно наткнулся на исключительно простое и, видимо, малоизвестное доказательство китайской теоремы об остатках. Запишу for public benefit.

    Теорема. Пусть R — кольцо, I1, ... InR идеалы, такие, что Ii + Ij = R для любых ij. Тогда комплекс

    0 → I1I2... InRΠ
    n
    i=1
    R/Ii → 0

    точен.

    Доказательство. Обозначим этот комплекс C(I1, ... In). Если SR — мультипликативная система, то C(I1, ..., In)S = C(I1RS, ..., InRS). Пусть 𝖕 ∊ Spec R. По условию теоремы не более чем один из идеалов I1R𝖕, ... InR𝖕 собственный. Как следствие, комплекс C(I1R𝖕, ... InR𝖕) точен.∎

    UPD: Ага, это доказательство вполне известно (см. упражнение 2.6 в книге Айзенбада по коммутативной алгебре).

    [LJ]
    Sunday, May 3rd, 2015
    11:30 pm
    Мочизуки, Богомолов

    Недавно Шиничи Мочизуки опубликовал текст про сравнение своего подхода к abc и доказательства геометрической версии неравенства Шпиро, принадлежащего Богомолову: [ref]. Любопытно.

    Мочизуки до сих пор активно работает над текстами по abc. Насколько могу понять, он планирует завершить эту работу до конца десятилетия.

    [LJ]
    Sunday, April 12th, 2015
    11:16 pm
    Фасцинативный грех

    Упс. На Ютьюбе обнаружился обскурный французский неофолк про Новороссию.

    [yt]

    Оккультное гностическое колорадство!  )

    [ ]

    Current Music: Bnei Elohim
    Friday, January 9th, 2015
    2:13 am
    Две проекции

    Благословенный [info]maniga рассказал мне про вот такую теорему:

    Теорема. Пусть k это поле, C неприводимая геометрически приведенная1 кривая над k, не обязательно гладкая или проективная. Если XC × C это замкнутая неприводимая геометрически приведенная кривая над k, то одна из двух проекций pi: XC этальна в общей точке.

    Пойнт, конечно, в положительной характеристике, где есть всюду разветвленный Фробениус, и его график.

    Доказательство.Пусть 𝓘 это пучок идеалов X в C × C, j: XC × C вложение. Рассмотрим точную последовательность дифференциалов

    𝓘/𝓘2j*ΩC×C/k → ΩX/k → 0.

    Пусть qi: C × CC это проекции. Поскольку ΩC×C/k = q
    *
    1
    ΩC/kq
    *
    2
    ΩC/k
    , pi = qij, мы заключаем, что j*ΩC×C/k = p
    *
    1
    ΩC/kp
    *
    2
    ΩC/k
    . Более того, правая стрелка в точной последовательности выше является прямой суммой отображений дифференциалов p
    *
    i
    ΩC/k → ΩX/k
    , индуцированных морфизмами pi.

    Пусть μX это общая точка. Можем считать, что обе проекции pi: XC доминантны, т.е. pi(μ) = η, где η это общая точка C. Локализуем точную последовательность выше в μ. Правая стрелка принимает вид

    p
    *
    1
    Ωk(η)/kp
    *
    2
    Ωk(η)/k → Ωk(μ)/k.

    k(η) является геометрически приведенной k-алгеброй, и значит трансцендентное расширение kk(η) сепарабельно в смысле Stacks 030O (см. Stacks 0322). Как следствие, dimk(η) Ωk(η)/k = trdeg k(η)/k = 1 (Stacks 07E1). Аналогично dimk(μ) Ωk(μ)/k = 1. Отображение одномерных векторных пространств либо нулевое, либо изоморфизм. Если оба отображения p
    *
    i
    Ωk(η)/k → Ωk(μ)/k
    нулевые, то их прямая сумма не сюръективна: противоречие.∎


    1 Если поле k совершенно, то любая приведенная схема над k является геометрически приведенной (Stacks 00I4).

    [LJ]
    Monday, January 5th, 2015
    3:49 am
    Фробениус-инвариантные замкнутые подсхемы [3]

    Упс. Придумал короткое доказательство теоремы про фробениус-инвариантную замкнутую подсхему, для случая когда база это поле. It is outrageous! Но приятно. Из случая поля относительно простым способом выводится случай произвольной связной локально нетеровой базы (поле артиново кольцо полное локальное нетерово кольцо общий случай).

    Теорема. Пусть K — поле, содержащее Fq, Λ — алгебра над Fq, не обязательно конечного типа, F: KK — абсолютный q-Фробениус. Пусть I ⊂ Λ ⊗Fq K — идеал. Если идеал, порожденный idΛFq F(I) равен I, то I порожден элементами, лежащими в Λ ⊂ Λ ⊗Fq K.

    Доказательство. Заменой Λ на Λ/(I ∩ Λ) мы переходим к случаю I ∩ Λ = 0. Докажем, что I = 0.

    Выберем базис {ej}jJ для Λ как векторного пространства над Fq, и рассмотрим соответствующий базис Λ ⊗Fq K как векторного пространства над K. Отображение idΛFq F действует в этом базисе возведением координат в степень q. Пусть f = u1e1 + u2e2 + ... + unen это ненулевой элемент I. Без ограничения общности можем считать, что все ui ненулевые, а n минимально. По условию элемент g = u
    q
    1
    e1 + ... + u
    q
    n
    en
    принадлежит I. Элемент gu
    q−1
    n
    fI
    представляется линейной комбинацией менее чем n базисных векторов, и значит, равен нулю. Заключаем, что для всех i от 1 до n − 1 верно равенство u
    q
    i
    = u
    q−1
    n
    ui
    . Поделив обе стороны на u
    q
    n
    видим, что частное ui и un лежит в FqK. Другими словами u
    −1
    n
    f ∊ Λ
    , откуда f = 0. ∎

    [LJ]
    Tuesday, December 23rd, 2014
    12:25 am
    Фробениус-инвариантные замкнутые подсхемы [2]

    Теорема из поста про Фробениус-инвариантные замкнутые подсхемы таки верна над произвольными связными локально нетеровыми базами. Недели две назад придумал сложное доказательство, через faithfully flat descent и индукцию по размерности. Но вот, наконец, нашелся простой аргумент. Ключом к доказательству является следующая симпатичная лемма.

    Лемма. Пусть X локально нетерова схема, Z1, Z2X замкнутые подсхемы. Z1 и Z2 изоморфны как схемы над X тогда и только тогда, когда для любого артинова локального кольца R и морфизма Spec RX пуллбэки Zi на Spec R изоморфны как схемы над Spec R.

    Доказательство. Достаточно предположить, что X = Spec R это аффинная схема. Пусть I1, I2R идеалы, соответствующие Z1 и Z2.

    Можем считать, что I1I2. Действительно, если условие теоремы соблюдается для I1, I2, то оно соблюдается и для I1, I1 + I2, аналогично, для I2, I1 + I2. Получаем, что I1 = I1 + I2 = I2. Взяв фактор по I1 мы видим, что достаточно рассмотреть случай I1 = 0. Теперь наша лемма звучит так: если идеал IR обнуляется в любой R-алгебре S, являющейся артиновым кольцом, то I нулевой.

    Достаточно убедиться, что I равен нулю во всех локализациях R𝖕, 𝖕 ∊ Spec R. Пусть R это локальное нетерово кольцо с максимальным идеалом 𝖒. По условию образ I в R/𝖒n равен нулю для всех n ⩾ 1, т.е. I ⊂ ⋂n⩾1 𝖒n, так что наша лемма следует из теоремы пересечения Крулля. ∎

    [LJ]
    Wednesday, December 17th, 2014
    7:19 pm
    К текущ.

    «Во френдленте русофобы порвали три баяна.»

    Надеюсь, что у подонка Малофеева скоро кончатся деньги на поигрульки в оккультную политику.

    [LJ]
    Tuesday, December 16th, 2014
    11:37 pm
    Бесконечно порожденный

    Басс: бесконечно порожденный проективный модуль над связным нетеровым кольцом всегда свободен.

    !!

    [LJ]
    Friday, December 12th, 2014
    11:53 pm
    Определитель

    Текст [info]shkrobius@lj'а навел на мысль.

    Как доказать, что старшая внешняя степень векторного пространства V одномерна? Пусть у него базис v1, ..., vn. Нужно найти полилинейную альтернированную форму от n переменных, которая не обнуляется на v1 ∧ ... ∧ vn. Эта форма есть буквально определитель от матрицы, столбцы которой это аргументы-векторы. Пишем формулу для определителя, проверяем, что она задает альтернированную форму, вычисляем значение, и вуаля.

    Это доказательство существенным образом использует явное выражение для определителя. Я долго думал, что по-другому нельзя, но это не так. Есть бесформульное доказательство, через структуру внешнего умножения, и теорию категорий. В качестве побочного эффекта получается тождество Вандермонда! Доказательство такое.

    Пусть k это поле (доказательство работает и для произвольного коммутативного кольца k).

    Определение 1. Ассоциативная Z-градуированная k-алгебра A с единицей называется градуированно коммутативной1, если

    (1) любой четный элемент коммутирует с любым другим,

    (2) квадрат любого нечетного элемента равен нулю.

    Если a, bA нечетные, то 0 = (a + b)2 = ab + ba, так что для любых чистых элементов a, bA верна формула ab = (−1)deg(a)deg(b)ba. Эта формула эквивалентна условиям (1), (2), если 2 не является делителем нуля в k. Если 2 = 0 в k, то градуированно коммутативная k-алгебра это коммутативная k-алгебра с градуировкой, в которой квадраты нечетных элементов нулевые.

    Утверждение 1. Внешняя алгебра Λ*V над k-модулем V является градуированно коммутативной.

    Доказательство. Если u, v ∊ Λ*V чистые тензоры, т.е. внешние произведения элементов V, то uv = (−1)deg(u)deg(v)vu. Следовательно (1) верно. Для доказательства (2) заметим, что квадрат любого чистого тензора нулевой, так что, если ui чистые нечетные тензоры, то (Σi ui)2 = Σi,j uiuj = Σi<j uiuj + ujui = 0.

    Пусть GC(k) это категория градуированно коммутативных k-алгебр. Для AGC(k) обозначим A1 модуль элементов степени 1.

    Утверждение 2. HomGC(k)*V, A) = Hom(V, A1).

    Доказательство. Hom(V, A1) = HomAlg(k)(TV, A), где Alg(k) это категория ассоциативных градуированных k-алгебр, TV это тензорная алгебра над V. Пусть f: TVA гомоморфизм. Если xTV элемент степени 1, то f(x)2 = 0, так что f факторизуется через идеал квадратов, и задает единственный гомоморфизм f: Λ*VA.∎

    Пусть A, B — градуированно коммутативные k-алгебры. Снабдим тензорное произведение Ak B умножением по формуле

    (a1b1) ⋅ (a2b2) = (−1)deg(a2)deg(b1)a1a2b1b2,

    и градуировкой deg(ab) = deg a + deg b.

    Утверждение 3. Ak B это градуированно коммутативная k-алгебра.

    Доказательство. Ассоциативность проверяется прямо. Градуированная коммутативность выводится из следующих тождеств:

    (i) если aA, bB, то ab = (a ⊗ 1) ⋅ (1 ⊗ b),

    (ii) если aA, a'A, b'B, x = a'b', то (a ⊗ 1) ⋅ x = (−1)deg(a)deg(x)x ⋅ (a ⊗ 1), и аналогично для 1 ⊗ b. ∎

    Утверждение 4. Ak B является копроизведением A и B в категории градуированно коммутативных k-алгебр.

    Доказательство. Ясно. ∎

    Следствие 1. Λ*(VW) = Λ*Vk Λ*W.

    Доказательство. Функтор Λ* коммутирует с копроизведением, потому что он левый сопряженный.∎

    Следствие 2. Если V это свободный k-модуль ранга n, то ранг ΛrV равен (
    n
    r
    )
    .

    Следствие 3. Тождество Вандермонда: (
    n + m
    r
    ) = Σp+q=r (
    n
    p
    )(
    m
    q
    )
    .


    1 Или «суперкоммутативной», но я не люблю «супер».

    [LJ]
    Sunday, November 30th, 2014
    8:03 pm
    Bhatt-Scholze

    Запишу быстро мысль про статью Бхатта-Шольце [1], пока не забыл. Доказательство предложения 3.4.4 и леммы 3.4.14 можно упростить. Идея та же самая (in a replete topos производный предел сосредоточен в степенях 0, 1), но форма прозрачнее. Запишу на английском, потому что не знаю русской терминологии (местами ее нет).

    Proposition 3.4.4. Let 𝓧 be a replete topos, R ∊ 𝓧 a ring, IR an ideal. A complex KD(𝓧, R) is derived I-complete if and only if its cohomology is so.

    Proof. Fix xI(𝓧). Let C = T(K, x), and take the associated cohomology long exact sequence:


    Here we use exactness of countable products in a replete topos. So Hn(C) = 0 for all n if and only if 1 − τ is an isomorphism. By exactness of products it is equivalent to vanishing of T(Hn(K), x) for all n. Replacing 𝓧 with 𝓧|U we obtain what we need.∎

    Lemma 3.4.14. Let 𝓧 be a replete topos, R ∊ 𝓧 a ring, IR an ideal. The category of derived I-complete R-modules is a weak Serre subcategory of the category of all R-modules.

    Proof. Let f: MN be a morphism of derived I-complete modules, and let C be its cone. Clearly C is derived I-complete. Hence ker f = H−1(C), and coker f = H0(C) are derived I-complete by proposition 3.4.4. Closure of derived I-complete R-modules under extensions is clear.∎

    References

    [1] Bhargav Bhatt, Peter Scholze. The pro-étale topology for schemes, arXiv:1309.1198.

    [LJ]
    Monday, November 17th, 2014
    11:30 pm
    Фробениус-инвариантные замкнутые подсхемы

    Я давно ничего не писал. Потому что доказывал теоремы! А теперь напишу: Паша С. попросил.

    Между тем, со времен последнего поста много чего случилось. Доказал вот такую теорему. Если базовая Fq-схема X локально нетерова, а схема коэффициентов Λ почти конечного типа над Fq, то штуки Каца над X с коэффициентами в Λ плоские над X. Если дополнительно потребовать, что X связна, а Λ конечного типа над Fq, то ненулевые штуки Каца будут строго плоскими над X. Это непростая теорема! Еще выяснилось, что штуки Каца науке давным-давно известны (в чем я не сомневался) под именем coherent unit 𝓞
    Λ
    F,X
    -modules, из книги [1] Эмертона-Кисина. Прямо в таком виде, с произвольными коэффициентами Λ. А теорема про строгую плоскость, похоже, неизвестна.


    Речь будет о следующей симпатичной теореме.

    Теорема. Пусть X связная регулярная схема над Fq, p: XFq ее структурный морфизм, σ: XX абсолютный q-Фробениус, Λ квазипроективная схема над Fq, 𝓧 = Λ ×Fq X. Рассмотрим схему Y = Spec Γ(X, 𝓞X)σ, где σ обозначает взятие σ-инвариантов. Пусть p: XY это морфизм индуцированный вложением Γ(Y, 𝓞Y) ⊂ Γ(X, 𝓞X).

    Если
    Z ⊂ 𝓧 замкнутая подсхема, такая, что σ*ZZ над 𝓧, то существует единственная замкнутая подсхема Z0 ⊂ Λ ×Fq Y Z0 ⊂ Λ, такая, что Zp*Z0 над 𝓧.

    Несколько замечаний:

    UPD: Я слишком сильно замахнулся, на схемы с произвольным π0: они этим аргументом не покрываются. Но для связных схем все работает.

    (1) Если X связна то Γ(X, 𝓞X)σ = Fq, так что Y = Spec Fq. В некотором смысле Y это грубый фактор X по действию q-Фробениуса.

    (2) Если X это спектр поля K, а Λ это спектр полиномиальной алгебры Fq[t1, ..., tn], то теорема утверждает следующее. Пусть IK[t1, ..., tn] идеал, такой, что идеал, порожденный (idΛFq σ)(I) равен I. Тогда I порожден многочленами с коэффициентами в Fq.

    (3) Аккуратно, это не вполне descent statement.

    (4) Верна ли эта теорема для произвольной локально нетеровой схемы X, я не знаю. Она верна, если X это спектр артинова кольца, так что препятствие не в нильпотентах, а непонятно в чем.

    UPD: теперь знаю, верна для связной.

    (5) Если схема коэффициентов Λ проективна над Fq, то теорема верна для произвольной локально нетеровой базы X — см. доказательство.

    (6) Теорема верна для произвольной локально нетеровой базы X, если dim Z = 0. В этом случае шаг (ii) доказательства не нужен, т.к. Z автоматически замкнута в Λ ×Fq X.

    (7) Аналогичное утверждение для когерентных пучков неверно. Возьмем Λ = Spec Fq, а в качестве X выберем эллиптическую кривую над Fq с нетривиальным (q − 1)-кручением, q > 2. На X существуют нетривиальные линейные расслоения 𝓛, такие, что σ*𝓛 = 𝓛q = 𝓛 ⊗ 𝓛q−1 ≅ 𝓛, но на Y = Spec Fq нетривиальных линейных расслоений нет.

    (8) Если X это спектр поля K, то обобщенная теорема для когерентных пучков верна для Λ = Spec Fq, Λ = A
    1
    Fq
    . Верна ли она для Λ = A
    n
    Fq
    , n > 1, непонятно. Скорее всего, нет.

    Доказательство. (i) Предположим, что Λ проективна над Fq. Заметим, что 𝓞Z является штукой Каца над X с коэффициентами в Λ. Как следствие, пучок 𝓞Z плоский над 𝓞X (см. выше мелким шрифтом). Доказательство этой теоремы я объясню как-нибудь в другой раз.

    Пусть H это схема Гильберта Λ над Fq. Поскольку Z плоская над X, она задает элемент H(X), инвариантный относительно композиции с σ: XX. Последнее в точности означает, что морфизм XH факторизуется через p: XY p: XFq. Легко убедиться, что такая факторизация единственна.

    (ii) Сведем случай произвольного квазипроективного Λ к проективному. Выберем проективную компактификацию Λ → Λ, и рассмотрим теоретико-схемное замыкание Z схемы Z в Λ ×Fq X. Тут intermezzo: нам потребуется теорема Кунца:

    Пусть X локально конечномерная нетерова схема. Морфизм σ: XX плоский тогда и только тогда, когда X регулярна.

    Это базовый факт коммутативной алгебры в положительной характеристике. Импликация «X регулярна σ плоский» это простое упражнение (hint: сведите все к случаю локального кольца, перейдите к пополнению, и воспользуйтесь структурной теорией Коэна). Обратная импликация гораздо глубже, но нам она не потребуется.

    Итак, по теореме Кунца морфизм σ плоский, и, как следствие, σ* коммутирует со взятием теоретико-схемного замыкания [Stacks 081I]: σ*Z есть замыкание σ*Z0Z0. По универсальному свойству теоретико-схемного замыкания получаем, что σ*ZZ над Λ ×Fq X. Шаг (1) показывает, что Z обладает нужным нам свойством, а значит им обладает и Z. ∎

    References

    [1] Matthew Emerton, Mark Kisin. The Riemann-Hilbert correspondence for unit F-crystals, Asterisque 293 (2004)

    [LJ]

    Current Music: Gaë Bolg - Dies Irae
    Monday, September 15th, 2014
    2:16 pm
    Шольце, штуки

    Кстати, Петер Шольце сейчас читает лекции про штуки в смешанной характеристике, в Беркли [1]. Обновляющийся конспект Джареда Вайнштейна можно найти тут [2].

    [LJ]
    Friday, August 8th, 2014
    2:18 am
    Wednesday, August 6th, 2014
    7:54 pm
    Гомотопическая алгебра

    А вот есть книга Квиллена «Гомотопическая Алгебра», замечательная. Через три года у нее золотой юбилей: 50 лет с момента выхода. Поэтому вопрос: что стоит почитать, чтобы познакомиться c современным состоянием дел? Тот же вопрос интересует и про тезис Иллюзи по кокасательному комплексу.

    [LJ]
    Thursday, July 31st, 2014
    8:51 pm
    Артин-Рис и смерть экстов

    А вот лемма, полезная, если надо что-нибудь продолжить на границу.

    Лемма. Пусть R — нетерово кольцо, IR — идеал, MR-модуль конечного типа, NR/I-модуль конечного типа, α ∊ Ext1(M, N). Для всех достаточно больших n ⩾ 0 образ α в Ext1(InM, N) равен нулю.

    Доказательство. Пусть класс α представляется точной последовательностью 0 → NEM → 0. Отображение InEInM сюръективно для любого n. По лемме Артина-Риса I(NIn−1E) = NInE для всех достаточно больших n. Поскольку I(NIn−1E) ⊂ IN = 0, отображение InEInM биективно. Обратное отображение расщепляет последовательность 0 → NE'InM → 0, представляющую образ α в Ext1(InM, N).∎

    Не понимаю пока, как ее продолжить на Extn. Для Ext0 = Hom лемма очевидна: можно взять IM.

    UPD: Лемму можно усилить так:

    Лемма+. Пусть R — нетерово кольцо, IR — идеал, MR-модуль конечного типа, NR/I-модуль конечного типа. Существует такое n ⩾ 0, что естественное отображение Ext1(M, N) → Ext1(InM, N) нулевое.

    Доказательство. Рассмотрим подмодули ker(Ext1(M, N) → Ext1(InM, N)) ⊂ Ext1(M, N) для всех n ⩾ 0. Они образуют возрастающую фильтрацию. По доказанному выше, эта фильтрация исчерпывающая. Поскольку Ext1(M, N) нетеров, фильтрация стабилизируется на каком-то n.∎

    [LJ]
    Thursday, July 10th, 2014
    7:22 pm

    Дугин на BBC, front page. Фотогеничный.

    «He has been labelled the brains behind President Putin's wildly popular annexation of Crimea.»

    Уже вижу, как новый Goodrick-Clarke пишет «The Occult Roots of Putinism».

    UPD. Vice в апреле этого года:

    > The ideologue, who is known for his proximity to fascism, believes that
    > Russia is currently undergoing a “conservative revolution” that will see any
    > liberal traits extinguished and a new ideologically-driven land emerge under
    > Putin.

    UPD2: The Occult Roots of Putinism в картинках, via [info]tiphareth:

     )

    [ ]
[ << Previous 20 ]
About LJ.Rossia.org