Аксиома выбора неверна (from
cornellmath, посредством
комментов Хеллера, вольный перевод мой)
При обсуждении корректности
Аксиомы Выбора, самый распространенный аргумент, почему ей не следует доверять без оглядки -
парадокс Банаха-Тарского. Все же, меня он никогда особенно не тревожил. Аргумент против Аксиомы выбора, который действительно взволновал меня, я впервые услышал в Olivetti Club, нашем научном коллоквиуме. Это расширенная версия одной элементарной логической задачи, так что давайте сначала взглянем на нее.
"100 узников выстроены в ряд так, что каждый может видеть всех, кто находится перед ним. Вертухай надевает либо белую, либо черную шляпу на голову каждого из узников, а затем, начиная с конца линии, спрашивает каждого узника, какого цвета его шляпа (т.е., сначала он спрашивает узника, который видит всех остальных). Каждый узник слышит ответы других и узнает, когда они ошибаются или отвечают правильно. Если все узники могут договориться об одной стратегии заранее, какой будет наилучшая стратегия?"
Ответ к этой задаче вскоре будет дан, но прежде - условие упомянутого обобщения:
"Счетное число узников расположены на натуральных числах, лицом в положительном направлении (т.е. каждый видит бесконечное число узников). Узникам надевают шляпы и каждого спрашивают цвет его шляпы. Однако, в качестве усложнения задачи, узники не слышат прыдущих ответов и не знают, были ли они верны. В этой новой ситуации, какая должна быть стратегия?"
( Интуитивно кажется, что никакой стратегии здесь быть не может... )