Геометрия Ext'ов, Брилли-Нётеры и всякое Чисто записать, по следам изучения литературы,
может, какому студенту сэкономит время.
А вот задачка о расслоениях E ранга 2 на проективной прямой вида 0->O->E->O(n)->0,
где O -- структурный пучок, O(n) -- серровский пучок, n>=2.
Такие расширения биективно соответствуют элементам множества Ext^1(O(n),O)= C^{n-1},
C -- компл. числа.
Разным расширениям, однако, могут соответствовать изоморфные расслоения.
Всякое 2-расслоение степени n на проективной прямой имеет вид O(a)+O(b), a+b=n,
более того, для такого E, полученного с помощью короткой точной последовательности
выше, h^0(E)<=h^0(O)+h^0(O(n))=n+2, т.е. таких потенциальных a и b есть только конечное число.
Т.е. естественно возникает вопрос о том, на какие подмножества
(которых конечное число и которые соответствуют в точности классам изоморфизма 2-расслоений)
разбивается наш Ext^1.
Это вопрос классический, для проективной прямой с ним никаких проблем нет,
и если начать гуглить, то стандартная техника описания таких подмножеств
проговаривается в статьях специалистов на уровне фольклора.
Идея в целом вчинить сначала, вообще говоря, грубую стратификацию Ext^1(O(n),O)=C^{n-1} по целочисленному параметру h^0(E).
В общем, её страты могут содержать много неизоморфных расслоений,
например, для положительных а,b h^0(O(a)+O(b))=a+b+2=n+2, т.е. все
такие расслоения сидят в одной страте h^0(E)=n+2. Далее, подкручивая
расширение на O(-k), 0->O(-k)->E(-k)->O(n-k)->0, мы получаем,
что для E(-k)=O(a-k)+O(b-k), если скажем a-k<0,b-k>0, то h^0(E(-k))=b-k+1,
что однозначно идентифицирует класс изоморфизма E(-k), тогда как Ext^1(O(n-k),O(-k))=Ext^1(O(n),O).
Т.е. подкрутка и дальнейшее подразбиение согласно числу
глобальных сечений подкрученного E(-k), могут вести к более дробной
стратификации, где уже страты однозначно соответствуют классам изоморфизма.
Хорошо, а как описать сами страты -- исходные или уточнённые?
Для расширений вида 0-> L_1 -> E -> L_2 ->0 используется естественное
линейное отображение D: Ext^1(L_2,L_1) -> Hom(H^0(L_2),H^1(L_1)):
здесь Ext^1(L_2,L_1) интерпретируется как H^1(
Hom(L_2,L_1)) и,
мысля элемент этого H^1 как 1-коцикл Чеха например, мы применяем его
к произвольному глобальному сечению из H^0(L_2), чтобы создать
1-коцикл Чеха с коэффициентами в L_1. Это отображение D,
конечно, может не быть ни инъективно, ни сюрьективно,
глобальных сечений у L_2 вовсе может не быть, или H^1(L_1) может быть
равен нулю, если кто-то вдарит по газам и подкрутит всё расширение на что-то
чересчур обильное.
Как нам помогает данное линейной отображение в деле задания страт?
А очень просто: применяя хвунктор взятия глобальных сечений к
нашему расширению, задаваемому элементом e\in Ext^1(L_2,L_1), мы получаем
длинную точную последовательность 0-> H^0(L_1)->H^0(E)->H^0(L_2)->H^1(L_2)->..
.,
в которой граничный гомоморфизм H^0(L_2)->H^1(L_2) это в точности D(e).
Далее, h^0(E)=h^0(L_1)+h^0(L_2)-rk D(e) и тут уже ясно, что
стратификация задаётся как прообраз стратификации
пространства Hom(H^0(L_2),H^1(L_1)) по рангу
содержащихся в нём операторов,
т.е. некими полиномиальными условиями. Ну, теперь далее подразбивая по
соотв. стратификациям для всевозможных подкруток, можно, видимо, получить
более-менее удовлетворительное алгебро-геометрическое подразбиение.
Проблема в самом общем случае заключается в том, что
неясно, как выглядит образ отображения D, как именно он пересекает эти полиномиальные страты
операторов, что важно для понимания устройства прообраза D.
Есть некоторое уточнение того, чем является образ D в случае, когда
L_2=K-L_1, где K -- канонiческое разслоенiе на нашей кривой (это довольно
общее соображение, работающее для кривой произвольного рода).
В этом случае det E = K, Hom(H^0(L_2),H^1(L_1))=Hom(H^0(L_2),H^0(L
_2)^*)
и двойственность Серра переводит наше расширение 0->L_1->E->L_2->0 соотв. e \in Ext^1(L_2,L_1)
в расширение того же вида 0->L_1->E^*(K)->L_2->0, соотв. -е \in Ext^1(L_2,L_1), т.е.
двойственность Серра действует на Ext^1(L_2,L_1) умножением на -1.
(про появление минуса рассказывается, напр. в статье Atiyah, Complex analytic connections ...,
если кому-то лень самостоятельно).
Дальше, при взятии двойственного по Серру расширения граничный дифференциал
D(e) дуализируется в D(e)^*=-D(e^*)=-D(-e)=D(e), т.е. D(e) это симметрический оператор,
что уже рубит вполовину размерность всего Hom(H^0(L_2),H^0(L_2)^*).
Чтобы избежать утомительной нумерологии, можно разогреть
сытный небольшой пример с матоверплова,
https://mathoverflow.net/questions/253779/isomorphism-classes-of-sheaves-which-arise-as-extensionsрассмотрим пространство расширений вида 0->O(-2)->E->O(2)->0 на проективной прямой,
Ext^1(O(2),O(-2))=H^0(O(2))=C^3. Здесь det E=0, D: C^3-> Hom(C^2,C^2), E=O(a)+O(b),
a+b=0, пусть a<=0,b>=0.
Тогда, если a<0, то h^0(E)=b+1<=3, и таких имеется ровно O(-2)+O(2), O(-1)+O(1),
ну и если a=0, то h^0(E)=2. Таким образом, имеем 2 грубые страты: h^0(E)=2,
она содержит O(-1)+O(1) и O+O, и h^0(E)=3, она в точности соответствует O(-2)+O(2).
Ну, чтобы подразбить первую страту более точно, подкрутим расширение на O(-1),
получив 0->O(-3)->E(-1)->O(1)->0. Как обычно Ext^1(O(1),O(-3))=Ext^1(O(2),O(-2))=C^3.
Но теперь h^0(O(-2)+O)=1 и h^0(O(-3)+O(1))=2, так что рефинеман имеет место быть.
Теперь страты описываются в точности условием на ранг D(e): e\in Ext^1(O(1),O(-3))
идёт в (x y, y z) \in S^2 H^0(O(1)) и страта h^0(E(-1))=0 (E=O+O) это страта
симметричных операторов полного ранга 2, det D(e)<>0, т.е. открытое подмножество в C^3,
страта h^0(E(-1))=1 (E=O(-1)+O(1)) это страта симметричных операторов ранга 1, т.е. det D(e)=xz-y^2=0,
что задаёт невырожденную квадрику в C^3, и страта h^0(E(-1))=2 (E=O(-2)+O(2)),
это страта состоящая из нулевого оператора D(e), ровно одна точка в C^3.
Надо сказать, что D в данном случае инъективен, т.к. Ker D={e \in Ext(O(1),O(-3))| rk D(e) =0},
т.е. h^0(E(-1))=h^0(O(-3))+h^0(O(1))=2, что однозначно говорит, что e соотв. E(-1)=O(-3)+O(1),
а в Ext(O(1),O(-3)) только e=0 соответствует этому расщепимому расширению.
----
Литература:
[Oxbury, Pauly, Previato]
https://arxiv.org/pdf/alg-geom/9701010.pdf,
статья Мукаи в сборнике Maruyama, Moduli of vector bundles,
Тюрин, "циклы, кривые, векторные поля на алг . поверхности" там что-то,
и т.п.
---
Вот вместо чтения книг по анализу и группам Ли прокрастинирую
с этими экстами и прочим. Выглядит симпатично, в принципе, но
иллюзий, что я когда-нибудь смогу профессионально этим заниматься, как-то нет.
Разобрать школьный-студенческий пример -- ну, почему нет,
а что-то большее -- эт вряд ли.
Мне бы надо учиться разбираться в задачах типа
недавно решённой плотной упаковки шаров,
в задачках из Jacob's ladder to higher geometry
Марселя Берже, и т.п., а не всеми этими черноящичными искусствами,
которые никакой геометрией, понятно, не являются.
Вот даже тот же Рома Михайлов,
при всём уважении, пропагандирует свою область
как "мягкие методы", мол, "топология", "деформировать можно".
Но ведь на самом деле он ничего в своих работах не деформирует, а ищет
симметрии в таблицах алгебраических структур,
довольно алгебраическими методами, пользуясь гомотопическими
конструкциями именно как стандартными заготовками, ведущими к таким-то
и таким-то группам/точным/спектральным последовательностям и т.п.
От так от, будьте бдительны, не поддавайтесь на пропаганду.