Блин, ну нельзя ж такие ссылки в конце рабочего дня подкидывать!:))
Такое ощущение создалось, что из ушей дым повалит от аЦЦкой деятельности серого вещества:)

(Reply to this) (Thread)

а если подкидывать в начале дня, то вообще весь день к чорту. Лучше, конечно, вообще не подкидывать, но мне интересно и ждать до завтра не хочется :)
Я вчера подумал вечером и заснул незаметно.
Зато придумал такое расположение бесконечного количества точек на конечной площади, при котором условие выполняется и не на одной прямой. Это, конечно, совсем не то, но интересно.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

Случайно не вложенные друг в друга равносторонние треугольники?

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ага :)

(Reply to this) (Parent) (Thread)

У себя тоже задачку повесил, пусть тусовка подключается.

На самом деле, с треугольниками мы, возможно, к чему-то приблизились - попытка замкнуть на себя конечное множество приводит к бесконечному нарастанию числа точек. Как бы это формализовать? Истина где-то рядом, да.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

там написано, что решение может дать и восьмиклассник. Может, пойти от этого? Нам тогда про бесконечности не рассказывали, про множества тоже. А зато рассказывали про треугольники и геометрию.
Мне кажется, там что-то с суммами площадей треугольников и свойствами медиан/биссектрис/высот.

(Reply to this) (Parent)

ПОсмотрю вечером учебник по геометрии. Чует мое сердце - от обратного надо. Доказать, что не паралельны - легко. ПОдумаю, как доказать, что они пересекаются больше чем в одной точке :)

(Reply to this) (Thread)

я как-то даже не могу придумать, как сформулировать обратное условие. То есть рассмотрим такое множество, где точки не лежат на одной прямой, их число конечно, прямая, проходящая через две из них, проходит и через хотя бы ещё одну - и докажем, что это невозможно, приведя всё это к нарушению какой-то аксиомы. Вариант.

(Reply to this) (Parent)

А с окружением их выпуклым многогранником и отсечением угла решение не проходит?

(Reply to this) (Thread)

про выпуклый многоугольник я вчера думал :)
Но если на каждом ребре многоугольника поставить ещё по точке, то уж для вершин многоугольника условие точно выполнится. А что внутри этого многоугольника, какая там сияющая структура точек - неизвестно.

(Reply to this) (Parent)

то есть у меня возникло ощущение, что многоугольник нам ничего не даёт. Не могу доказать, что так, но вот чую.
Даже не знаю, с какой стороны ещё копнуть.

(Reply to this) (Parent) (Thread)

очень сволочная задачка какая-то.
я вчера тоже думал про многоугольник.
пытался загнать эту задачу в угол. добиться противоречия с условием о конечном количестве точек.
ничего не вышло ;(

(Reply to this) (Parent) (Thread)

ага. И у меня тоже.

(Reply to this) (Parent)

а применить известную аксиому для н=2 и дальше по индукции

(Reply to this) (Thread)

=)

(Reply to this) (Parent)

не, индукция там не работает, в комментах исходного поста это обсудили уже :)

(Reply to this) (Parent)

Да, действительно "что решить её можно в рамках школьной программы", геометрически, в 4 очевидных утверждения.